Studio dei punti critici in due variabili con Hessiano nullo

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Studio dei punti critici in due variabili con Hessiano nullo #99926

avt
leon
Punto
Devo svolgere lo studio dei punti critici di una funzione in due variabili con hessiano nullo:

f(x,y) = x^(3)(2x+y)^(2)(y-2x)

e barrare quale delle seguenti risposte è quella corretta:

A) infiniti punti di massimo relativo, nessun punto di minimo relativo e infiniti punti di sella;

B) un solo punti critico che è di sella;

C) nessuna delle altre risposte è giusta;

D) infiniti punti critici, tutti di massimo relativo;

E) infiniti punti si massimo relativo, uno solo di sella e nessun minimo relativo.

So che la risposta giusta è la A).

Dovrebbe essere un esercizio a Hessiano nullo.
Sul vostro sito ho letto e rifatto un sacco di esercizi su massimo e minimo con Hessiano nullo in due variabili,
il procedimento è semplice e chiaro, in sintesi:

1) si fa la derivata parziale prima rispetto a x e y e la si pone uguale a 0 (perché porre il gradiente nullo, mi fa trovare i punti critici).

2) Calcolo il determinate dell'Hessiano (avrò tre casi possibili in base ai segni, massimo minimo o sella, più un quarto caso in cui non si può dir nulla, ovvero quando il determinante è nullo).

3) Nel caso di Hessiano nullo uso il metodo del segno (che è l'unico che mi porta ad una conclusione certa), mi calcolo cosa succede nell'intorno della funzione variazione, e in base al valore che questa funzione assume nell'intorno (segni positivi e/o negativi) e quindi saprò se avrò a che fare con un punto di max, min o sella.

Dove ho difficoltà

Incontro difficoltà nei calcolo iniziale della funzione data, nel momento che devo calcolarmi le derivate prime, non so se:

- mi conviene trasformarla in qualcosa;

- lasciarla com'è e derivare;

- svolgere il quadrato e le moltiplicazioni e poi derivare;

Domanda: in tutti i casi so come derivare, ma come faccio a capire quale strada è più conveniente per procedere con i calcoli?

Ho provato nei vari modi su elencati, ma quando ho finito di derivare ho 5 termini con esponenti in diversi gradi e contenenti o solo la x o solo la y o entrambe le variabili e non so come procedere, mi sembra tutto molto complicato... e mi blocco...

Se non ho capito male arrivato a questo punto mi conviene raccogliere in modo che poi ho delle moltiplicazioni così posso porle uguali a 0, ma non son sicuro e tutto diventa molto complicato, non so se sono io o è complicato l'esercizio. emt

Arrivato a questo punto come posso procedere?

Ho bisogno di tutti i passaggi di svolgimento per capire dove sbaglio, acquisire più fiducia, fino ad arrivare a dire perché la prima è la risposta esatta, ma anche di qualche consiglio "di approccio mentale" perché come ho detto, quando le cose diventano complicate mi blocco e perdo sicurezza. Purtroppo non seguo le lezioni, studio a distanza e completamente da solo.

Mi sento preparato nella teoria, ma un asino nel fare i conti (eppure faccio valanghe di esercizi)...

Grazie in anticipo!
 
 

Studio dei punti critici in due variabili con Hessiano nullo #99931

avt
Ifrit
Amministratore
Ciao Leon!

Il nostro intento è studiare la funzione di due variabili

f(x,y) = x^3(2x+y)^(2)(y-2x)

nel senso che dobbiamo determinare i suoi eventuali punti critici.

Il primo passo prevede di calcolare le derivate parziali del primo ordine, avvalendoci delle usuali regole di derivazione studiate ad Analisi 1.

f_(x)(x,y) e f_(y)(x,y)

Calcolo della derivata rispetto a x

Per esplicitare l'espressione della derivata rispetto a x di f(x,y) = x^3(2x+y)^(2)(y-2x) occorre avvalersi della formula di derivazione del prodotto

f_(x)(x,y) = (partial)/(partial x)[x^3(2x+y)^(2)(y-2x)] = (partial)/(partial x)[x^3]·(2x+y)^2·(y-2x)+;+x^3·(partial)/(partial x)[(2x+y)^2](y-2x)+;+x^3·(2x+y)^2·(partial)/(partial x)[y-2x] = (•)

A questo punto usiamo la regola per la derivata di una potenza per calcolare

(partial)/(partial x)[x^3] e (partial)/(partial x)[(2x+y)^2]

che valgono rispettivamente:

(partial)/(partial x)[x^3] = 3x^2 ; mentre ; (partial)/(partial x)[(2x+y)^2] = 2(2x+y)·(partial)/(partial x)[2x+y] = 2(2x+y)·2

La derivata di y-2x è praticamente immediata.

Alla luce di ciò, (•) diventa:

= 3x^2(2x+y)^2(y-2x)+x^3·2(y+2x)·2(y-2x)+x^3(2x+y)^2(-2) =

Ottenuta questa espressione, conviene mettere in evidenza i fattori comuni ai tre addendi, così da facilitarci la risoluzione del sistema che dovremo impostare in seguito.

= x^2(2x+y)[3(2x+y)(y-2x)+4x(y-2x)-2x(2x+y)] =

Non ci resta che sviluppare le operazioni all'interno delle parentesi quadre

= x^2(2x+y)[3(y^2-4y^2)+4xy-8x^2-4x^2-2xy] = x^2(2x+y)[3y^2-12x^2+4xy-8x^2-4x^2-2xy] =

Sommiamo i monomi simili così da ottenere l'espressione della derivata di f(x,y) rispetto a x

= x^2(2x+y)[3y^2-24x^2+2xy]


Derivata rispetto a y

Esplicitiamo l'espressione della derivata rispetto a y: le regole di derivazione sono sempre le stesse.

f_(y)(x,y) = (partial)/(partial y)[x^3(2x+y)^2(y-2x)] = (partial)/(partial y)[x^3]·(2x+y)^2·(y-2x)+;+x^3·(partial)/(partial y)[(2x+y)^2]·(y-2x)+;+x^3(2x+y)^2(partial)/(partial y)[y-2x] = (• •)

Poiché stiamo derivando rispetto alla variabile y, il primo addendo della somma è praticamente nullo, perché

(partial)/(partial y)[x^3] = 0

(Nota: y vede x come una costante, per questo la precedente derivata è zero.)

Per quanto concerne la derivata di (2x+y)^2 usiamo la regola per la derivata di una potenza

(partial)/(partial y)[(2x+y)^2] = 2(2x+y)

Per quanto concerne la derivata di y-2x, il risultato è pressoché immediato:

(partial)/(partial y)[y-2x] = 1

In definitiva, l'espressione (• •) diviene:

(• •) = x^3·2(2x+y)·(y-2x)+x^3(2x+y)^2 =

Come per la derivata rispetto a x, procediamo per raccoglimento totale; mettiamo cioè in evidenza i fattori comuni ai due addendi:

= x^3(2x+y)[2(y-2x)+(2x+y)] = x^3(2x+y)[2y-4x+2x+y] = x^3(2x+y)[3y-2x]

Note le derivate, possiamo determinare i punti critici impostando il sistema avente per equazioni le derivate del primo ordine uguagliate a zero.

f_(x)(x,y) = 0 ; f_(y)(x,y) = 0

per cui

x^2(2x+y)[3y^2-24x^2+2xy] = 0 ; x^3(2x+y)[3y-2x] = 0


Risoluzione del sistema

Risolviamo il sistema analizzando la seconda equazione, vale a dire

x^3(2x+y)[3y-2x] = 0

Osserviamo, infatti, che la prima equazione del sistema è più elaborata da esaminare per via della presenza del fattore 3y^2-24x^2+2xy.

In accordo con la legge di annullamento del prodotto, il prodotto x^3(2x+y)[3y-2x] è zero se almeno uno dei fattori che lo compongono è nullo:

x^3 = 0 ∨ 2x+y = 0 ∨ 3y-2x = 0

Esaminiamo singolarmente le equazioni, partendo dalla prima:

x^3 = 0 → x = 0

Per la seconda, isoliamo al primo membro y

2x+y = 0 → y = -2x

Facciamo lo stesso per la terza

3y-2x = 0 → y = (2)/(3)x

Abbiamo scoperto che la seconda equazione del sistema è soddisfatta se e solo se:

x = 0 , y = -2x , y = (2)/(3)x

A questo punto sostituiamo le espressioni ottenute nella prima equazione.

Se x = 0, l'equazione

x^2(2x+y)[3y^2-24x^2+2xy] = 0

si tramuta nell'identità 0 = 0, pertanto il sistema è soddisfatto da tutti i punti (x_0,y_0) aventi ascissa nulla:

(x_0,y_0) = (0,y_(0)) con y_(0)∈R

Nel piano cartesiano, questi punti costituiscono una retta di punti critici per f(x,y) (è l'asse delle ordinate).

Se y = -2x, l'equazione

x^2(2x+y)[3y^2-24x^2+2xy] = 0

degenera ancora nell'identità 0 = 0, pertanto i punti nella forma

(x_0,y_0) = (x_0,-2x_0) con x_0∈R

Nota: sono punti che appartengono alla retta di equazione y = -2x e individuano una seconda retta di punti critici per f(x,y).

Se y = (2)/(3)x, l'equazione

x^2(2x+y)[3y^2-24x^2+2xy] = 0

si tramuta in

x^2(2x+(2)/(3)x)[3((2)/(3)x)^2-24x^2+2x((2)/(3)x)] = 0

da cui, svolgendo i semplici calcoli, otteniamo:

-(512 x^5)/(9) = 0 → x = 0

Sostituiamo x = 0 nell'espressione y = (2)/(3)x, ricavando così il punto critico

(x_0,y_0) = (0,0)

che però appartiene alle rette dei punti critici determinate in precedenza.

Riassumendo, i punti critici associati a f(x,y) sono:

(x_0,y_0) = (0,y_0) con y_(0)∈R ; e ; (x_0,y_(0)) = (x_0,-2x_0) con x_(0)∈R


Classificazione dei punti critici

A questo punto bisogna classificare i punti critici: in questa circostanza il metodo dell'Hessiana per i massimi e minimi è completamente inutile, perché l'Hessiano associato è nullo. (Si veda lezione su Hessiano nullo).

L'alternativa prevede di studiare il segno della funzione variazione

Δ f(x,y) = f(x,y)-f(x_0,y_0)

dove (x_0,y_0) è un punto critico per f(x,y).

Prima di procedere osserviamo che:

- se (x_0,y_(0)) = (0,y_0) con y_(0)∈R, la funzione variazione coincide con f(x,y), infatti:

Δ f(x,y) = f(x,y)-f(0,y_0) = x^3(2x+y)^2(y-2x)-0 = x^3(2x+y)^2(y-2x)

- se (x_0,y_0) = (x_0,-2x_0) con x_0∈R, la funzione variazione è uguale a f(x,y), infatti:

Δ f(x,y) = f(x,y)-f(x_0,-2x_0) = x^3(2x+y)^2(y-2x)-0 = x^3(2x+y)^2(y-2x)

perciò studiare il segno delle due funzioni variazione equivale a studiare il segno di f(x,y).


Studio del segno della funzione variazione

Consideriamo la disequazione

Δ f(x,y) ≥ 0 → x^3(2x+y)^2(y-2x) ≥ 0

Essa consente di determinare le regioni del piano cartesiano in cui Δ f(x,y) è positiva o nulla: per studiarla dovremo esaminare i segni di ciascun fattore, dopodiché sarà sufficiente avvalersi della regola dei segni per ricavare i segni della funzione variazione.

Il fattore x^3 è positivo o nullo se e solo se x ≥ 0

x^3 ≥ 0 → x ≥ 0

Il fattore (2x+y)^2 è certamente positivo o nullo per ogni (x,y) del piano, per via del quadrato.

(2x+y)^2 ≥ 0 per ogni (x,y)∈R^(2)

Il fattore y-2x è positivo o nullo se e solo se y ≥ 2x, ossia per i punti che nella parte di piano superiore alla retta di equazione y = 2x

y-2x ≥ 0 → y ≥ 2x

Rappresentando sul piano cartesiano le regioni del piano in cui Δ f(x,y) è positiva o nulla (in blu) e quelle in cui è negativa (in rosso), otteniamo la seguente immagine


studio_del_segno_funzione_variazione
In rosso le regioni in cui Δ f(x,y) < 0, in blu quelle in cui Δ f(x,y) ≥ 0


nella quale abbiamo tracciato le rette dei punti critici.

Per ciascun punto della retta y = -2x,

(x_0,y_0) = (x_0,-2x_0) con x_(0) ne 0

che invade la regione del piano di colore rosso esiste un intorno I_(δ)(x_0,-2x_0) in cui la funzione variazione è negativa o nulla:

Δ f(x,y) ≤ 0 → f(x,y)-f(x_0,-2x_0) ≤ 0

da cui

f(x,y) ≤ f(x_0,-2x_0) per ogni (x,y)∈ I_(δ)(x_0,-2x_0), con x_0 ne 0

per cui (x_0,-2x_0) con x_0 ne 0 sono punti di massimo relativo.

Se x_(0) = 0, il punto (x_0,-2x_0) coincide con l'origine degli assi, i cui intorni sono tali che la funzione variazione cambia di segno, pertanto (0,0) è un punto di sella.

Esaminiamo i punti critici nella forma:

(x_0,y_(0)) = (0,y_(0)) con y_(0)∈R

Poiché in ogni loro intorno, la funzione variazione Δ f(x,y) è a segno variabile, possiamo concludere che (0,y_(0)) sono punti di sella.


Alcuni suggerimenti per il futuro

Purtroppo non esiste un metodo unico e sicuro per stabilire la natura dei punti critici: ok, esiste il metodo dello studio della funzione variazione, ma può portare con sé una mole imbarazzante di calcoli (non è questo il caso).

Ogni problema è una storia a sé e richiede una buona dose di malizia matematica, che si acquisisce svolgendo un buon numero di esercizi.

L'unico consiglio che posso darti è: "Sii testardo!". emt

In bocca al lupo.
Ringraziano: leon
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Os