Esercizio trigonometria area figura mistilinea

Come posso risolvere questo problema di Trigonometria sull'area di una figura mistilinea con archi e un quadrato?

Determina l'area della regione colorata in figura. Gli archi tracciati per ottenere la figura sono quarti di circonferenza, ciascuno avente il centro in uno dei vertici del quadrato. La misura del lato del quadrato è .

Ciao dave0111,

per la risoluzione dell'esercizio faremo riferimento all'immagine:


consideriamo il quadrato di lato come in figura e affibbiamo i nomi ai vertici.

Proprio perché il lato del quadrato è , necessariamente:



Indichiamo inoltre con i punti di intersezione tra i quattro archi di circonferenza.

Il nostro obiettivo consiste nel calcolare l'area della figura formata dai quattro "petali".

Per determinarla possiamo procedere per differenza: in altri termini, calcoleremo l'area del quadrato, dopodiché sottrarremo a essa le aree dei quattro triangoli mistilinei di vertici



e l'area del quadrato mistilineo .

Osserviamo che, per questioni di simmetria, i triangoli mistilinei hanno la medesima area, per cui basterà calcolarne una e moltiplicare in seguito per quattro.

Calcolo dell'area di un triangolo mistilineo

Calcoliamo l'area del triangolo mistilineo di vertici per differenza: essa è data dall'area dell'intero quadrato di lato a cui sottraiamo l'area del settore circolare , l'area del triangolo di vertici e l'area del settore circolare .

Notiamo che i segmenti sono rispettivamente:

- il raggio della circonferenza di centro in ;

- il raggio della circonferenza di centro in

di conseguenza hanno la medesima lunghezza e valgono entrambi , ossia:



Ciò garantisce che:

- il triangolo è più precisamente un triangolo equilatero;

- gli angoli sono congruenti e hanno ampiezza pari a (sono gli angoli di un triangolo equilatero);

- gli angoli misurano perché angoli complementari con rispettivamente.

Grazie a queste informazioni possiamo calcolare l'area del triangolo equilatero con la formula



Le aree dei settori circolari valgono:



Questi valori consentono di calcolare l'area del triangolo mistilineo



Area del quadrato mistilineo

Teniamo da parte questa informazione e continuiamo con la risoluzione occupandoci del calcolo dell'area del quadrato mistilineo .

La strategia risolutiva prevede di calcolare l'area del segmento circolare di estremi , vedendola come differenza tra l'area del settore circolare di vertici e il triangolo isoscele di vertici .

Nota l'area del segmento circolare, calcoliamo l'area del quadrato di vertici e infine sommiamo i contributi: l'area del quadrato mistilineo è data dalla somma tra l'area del quadrato e il quadruplo dell'area del segmento circolare di estremi .

Osserviamo che l'angolo misura , per cui l'area del settore circolare è:



Per quanto concerne l'area del triangolo isoscele, il suo calcolo richiede un pizzico di trigonometria: in particolare faremo riferimento al teorema sulla formula dell'area di un triangolo qualsiasi: esso asserisce che l'area di un triangolo è uguale al semiprodotto di due suoi lati per il seno dell'angolo compreso. In questo caso, noi conosciamo sia che (entrambi uguali ad perché raggi della medesima circonferenza) e l'ampiezza dell'angolo tra essi compreso , pertanto:



Ora possiamo calcolare l'area del segmento circolare di estremi



Calcoliamo l'area del quadrato , per la quale abbiamo bisogno del lato .

Esso si può calcolare applicando i teoremi trigonometrici sul triangolo rettangolo di vertici , il cui angolo in ha ampiezza pari alla metà di



Grazie ai teoremi trigonometrici sui triangoli rettangoli, scopriamo che:



di conseguenza



Dalle formule di duplicazione inverse,



per cui l'area del quadrato si riscrive nella forma:



Note l'area del segmento circolare e quella del quadrato di vertici , possiamo calcolare l'area del quadrato mistilineo



Area dei petali

Finalmente possiamo calcolare l'area dei petali del "fiore": basta sottrarre all'area del quadrato di vertici quelle dei 4 triangoli mistilinei e quella del quadrato mistilineo:



come volevamo.