Esercizio trigonometria area figura mistilinea

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Esercizio trigonometria area figura mistilinea #99767

avt
dave0111
Punto
Come posso risolvere questo problema di Trigonometria sull'area di una figura mistilinea con archi e un quadrato?

Determina l'area della regione colorata in figura. Gli archi tracciati per ottenere la figura sono quarti di circonferenza, ciascuno avente il centro in uno dei vertici del quadrato. La misura del lato del quadrato è a.

problema area fiore in quadrato
 
 

Esercizio trigonometria area figura mistilinea #99771

avt
Ifrit
Amministratore
Ciao dave0111,

per la risoluzione dell'esercizio faremo riferimento all'immagine:

svolgimento problema area fiore in quadrato

consideriamo il quadrato di lato a come in figura e affibbiamo i nomi A,\ B, \ C\ \mbox{e}\ D, ai vertici.

Proprio perché il lato del quadrato è a, necessariamente:

AB=BC=CD=DA=a

Indichiamo inoltre con E,\ F, \ G\ \mbox{e}\ H i punti di intersezione tra i quattro archi di circonferenza.

Il nostro obiettivo consiste nel calcolare l'area della figura formata dai quattro "petali".

Per determinarla possiamo procedere per differenza: in altri termini, calcoleremo l'area del quadrato, dopodiché sottrarremo a essa le aree dei quattro triangoli mistilinei di vertici

A, \ B\ \mbox{e}\ G; \ \ \ \ B, \ C\ \mbox{e} \ H; \ \ \ \ C, \ D\ \mbox{e}\ E; \ \ \ D, \ A\ \mbox{e}\ F

e l'area del quadrato mistilineo E, \ F,\ G\ \mbox{e}\ H.

Osserviamo che, per questioni di simmetria, i triangoli mistilinei hanno la medesima area, per cui basterà calcolarne una e moltiplicare in seguito per quattro.

Calcolo dell'area di un triangolo mistilineo

Calcoliamo l'area del triangolo mistilineo di vertici C, D\ \mbox{ed}\ E per differenza: essa è data dall'area dell'intero quadrato di lato a a cui sottraiamo l'area del settore circolare AED, l'area del triangolo di vertici A,E,B e l'area del settore circolare BEC.

Notiamo che i segmenti AE \ \mbox{e} \ BE sono rispettivamente:

- il raggio della circonferenza di centro in A;

- il raggio della circonferenza di centro in B

di conseguenza hanno la medesima lunghezza e valgono entrambi a, ossia:

AE=BE=AB=a

Ciò garantisce che:

- il triangolo ABE è più precisamente un triangolo equilatero;

- gli angoli B\hat{A}E\ \mbox{e} \ A\hat{B}E sono congruenti e hanno ampiezza pari a 60^{\circ} (sono gli angoli di un triangolo equilatero);

- gli angoli D\hat{A}E\ \mbox{e}\ E\hat{B}C misurano 30^{\circ} perché angoli complementari con B\hat{A}E\ \mbox{e} \ A\hat{B}E rispettivamente.

Grazie a queste informazioni possiamo calcolare l'area del triangolo equilatero con la formula

\mbox{Area}_{ABE}=\frac{\sqrt{3}}{4}a^2

Le aree dei settori circolari valgono:

\mbox{Area}_{settore \ AED}=\mbox{Area}_{settore\ BEC}=\frac{\pi a^2}{360^{\circ}}\cdot 30^{\circ}=\frac{\pi a^2}{12}

Questi valori consentono di calcolare l'area del triangolo mistilineo DEC

\\ \mbox{Area}_{T.mistilineo\ DEC}=\mbox{Area}_{Quadrato\ ABCD}-\mbox{Area}_{ABE}-2\mbox{Area}_{settore \ AED}=\\ \\ =a^2-\frac{\sqrt{3}}{4}a^2-2\cdot\frac{\pi a^2}{12}=\\ \\ \\ =a^2-\frac{\sqrt{3}}{4}a^2-\frac{\pi a^2}{6}

Area del quadrato mistilineo

Teniamo da parte questa informazione e continuiamo con la risoluzione occupandoci del calcolo dell'area del quadrato mistilineo EFGH.

La strategia risolutiva prevede di calcolare l'area del segmento circolare di estremi FE, vedendola come differenza tra l'area del settore circolare di vertici FBE e il triangolo isoscele di vertici FBE.

Nota l'area del segmento circolare, calcoliamo l'area del quadrato di vertici EFGH e infine sommiamo i contributi: l'area del quadrato mistilineo è data dalla somma tra l'area del quadrato EFGH e il quadruplo dell'area del segmento circolare di estremi EF.

Osserviamo che l'angolo F\hat{B}E misura 30^{\circ}, per cui l'area del settore circolare è:

\mbox{Area}_{settore \ BFE}=\frac{\pi a^2}{360^{\circ}}\cdot 30^{\circ}=\frac{\pi a^2}{12}

Per quanto concerne l'area del triangolo isoscele, il suo calcolo richiede un pizzico di trigonometria: in particolare faremo riferimento al teorema sulla formula dell'area di un triangolo qualsiasi: esso asserisce che l'area di un triangolo è uguale al semiprodotto di due suoi lati per il seno dell'angolo compreso. In questo caso, noi conosciamo sia BE che BF (entrambi uguali ad a perché raggi della medesima circonferenza) e l'ampiezza dell'angolo tra essi compreso (30^{\circ}), pertanto:

\\ \mbox{Area}_{BFE}=\frac{BE\cdot BF\sin(30^{\circ})}{2}= \\ \\ \\ =\frac{a^2\cdot\frac{1}{2}}{2}=\frac{a^2}{4}

Ora possiamo calcolare l'area del segmento circolare di estremi FE

\\ \mbox{Area}_{segmento\ circolare}=\mbox{Area}_{settore \ BEF}-\mbox{Area}_{BEF}=\\ \\ =\frac{\pi a^2}{12}-\frac{a^2}{4}

Calcoliamo l'area del quadrato EFGH, per la quale abbiamo bisogno del lato EF.

Esso si può calcolare applicando i teoremi trigonometrici sul triangolo rettangolo di vertici BEI, il cui angolo in B ha ampiezza pari alla metà di F\hat{B}E

I\hat{B}E=\frac{F\hat{B}E}{2}=\frac{30^{\circ}}{2}=15^{\circ}

Grazie ai teoremi trigonometrici sui triangoli rettangoli, scopriamo che:

EF=2 IE=2BE\sin(15^{\circ})=2a\sin(15^{\circ})

di conseguenza

\mbox{Area}_{Quadrato \ EFGH}=EF^2=4a^2\sin^2(15^{\circ})=(\bullet)

Dalle formule di duplicazione inverse,

\sin^2(\alpha)=\frac{1-\cos(2\alpha)}{2}\ \ \ \mbox{per ogni} \ \alpha\in\mathbb{R}

per cui l'area del quadrato si riscrive nella forma:

(\bullet)=4a^2\left(\frac{1-\cos(30^{\circ})}{2}\right)=\\ \\ \\ =4a^2\left(\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{4}\right)=\\ \\ \\ = (2-\sqrt{3})a^2

Note l'area del segmento circolare e quella del quadrato di vertici EFGH, possiamo calcolare l'area del quadrato mistilineo

\\ \mbox{Area}_{Q.\ mistilineo}=\mbox{Area}_{Q.\ EFGH}+4\mbox{Area}_{segmento \ circolare}=\\ \\ =(2-\sqrt{3})a^2+4\cdot \left(\frac{\pi a^2}{12}-\frac{a^2}{4}\right)=\\ \\ \\ =a^2-\sqrt{3}a^2+\frac{\pi a^2}{3}

Area dei petali

Finalmente possiamo calcolare l'area dei petali del "fiore": basta sottrarre all'area del quadrato di vertici ABCD quelle dei 4 triangoli mistilinei e quella del quadrato mistilineo:

\mbox{Area}_{Fiore}=\mbox{Area}_{Quadrato \ ABCD}-4\mbox{Area}_{DCE}-\mbox{Area}_{Q.\ mistilineo}=\\ \\ =a^2-4\cdot\left( a^2-\frac{\sqrt{3}}{4}a^2-\frac{\pi a^2}{6}\right)-\left(a^2-\sqrt{3}a^2+\frac{\pi a^2}{3}\right)= \\ \\ \\ =a^2\left(\frac{\pi}{3}+2\sqrt{3}-4\right)

come volevamo.
Ringraziano: Galois, CarFaby
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Os