Esercizio disequazione biquadratica di grado 4

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Esercizio disequazione biquadratica di grado 4 #99651

avt
Iago00
Punto
Salve, vorrei capire quale soluzioni nelle disequazioni risolte come biquadratiche sono accettabili a seconda del verso della disequazione, magari con questo esercizio:

3x^4-14x^2+8>0

Grazie.
 
 

Esercizio disequazione biquadratica di grado 4 #99653

avt
Ifrit
Ambasciatore
Ciao Iago00,

per risolvere la disequazione biquadratica

3x^4-14x^2+8>0

bisogna operare la sostituzione t=x^2 da cui segue che t^{2}=x^{4}.

Queste sostituzione consente di scrivere la disequazione data come segue:

3t^2-14t+8>0

In buona sostanza, la sostituzione ha permesso di ricondurci a una disequazione di secondo grado che risolviamo con la strategia standard.

Per prima cosa calcoliamo le soluzioni dell'equazione di secondo grado associata

3t^2-14t+8=0

Indichiamo con a,\ b \ \mbox{e} \ c rispettivamente il coefficiente di t^2, quello di t e il termine noto

a=3 \ \ \ , \ \ \ b=-14 \ \ \ ,\ \ \ c=8

e calcoliamo il discriminante con la formula

\Delta= b^2-4ac= (-14)^2-4\cdot 3\cdot 8=100

Le soluzioni dell'equazione associata sono quindi

\\ t_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-(-14)\pm\sqrt{100}}{2\cdot 3}= \\ \\ \\ =\frac{14\pm 10}{6}=\begin{cases}\frac{14-10}{6}=\frac{2}{3}=t_1 \\ \\ \frac{14+10}{6}=4=t_2\end{cases}

In accordo con la teoria delle disequazioni di secondo grado, la disequazione in t

3t^2-14t+8>0

è soddisfatta per valori esterni, ossia per i valori

t<t_1 \ \ \ \vee \ \ \ t>t_2

vale a dire

t<\frac{2}{3} \ \ \ \vee \ \ \ t>4

Attenzione! Dobbiamo ripristinare l'incognita x tenendo conto della sostituzione effettuata.

Poiché t=x^{2}, le relazioni

t<\frac{2}{3}\ \ \ \vee \ \ \ t>4

si traducono nelle seguenti disequazioni di secondo grado "pure"

x^2<\frac{2}{3}\ \ \ \vee \ \ \ x^2>4

Dalla prima relazione otteniamo

x^{2}<\frac{2}{3} \ \ \ \to \ \ \ -\sqrt{\frac{2}{3}}<x<\sqrt{\frac{2}{3}}

Dalla seconda ricaviamo invece

x^{2}>4 \ \ \ \to \ \ \ x<-2 \ \ \ \vee \ \ \ x>2

A questo punto non ci resta che unire le soluzioni delle singole disequazioni e scrivere il risultato finale.

x<-2 \ \ \ \vee \ \ \ -\sqrt{\frac{2}{3}}<x<\sqrt{\frac{2}{3}}\ \ \ \vee \ \ \ x>2

È fatta!

Addendum: la questione sul verso della biquadratica in realtà non deve essere né diventare un problema. emt

In buona sostanza, lo studio di una disequazione biquadratica richiede la teoria delle disequazioni di secondo grado e nulla più: è la sostituzione t=x^2 che facilita la risoluzione perché passiamo, appunto, da una disequazione di quarto a una di secondo e che ci autorizza a sfruttare la teoria che già conosciamo.

Nel momento in cui ripristiniamo l'incognita x, otteniamo sempre e comunque disequazioni di secondo grado "pure" facilmente risolvibili. emt
Ringraziano: CarFaby, Iago00
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Os