Problema di trigonometria e geometria analitica

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Problema di trigonometria e geometria analitica #99567

avt
kemiosabe
Punto
Buongiorno,

non riesco a risolvere il seguente problema di trigonometria e di geometria analitica:

siano A\ \mbox{e} \ B due punti tali che AB = 6. In un opportuno sistema di riferimento cartesiano ortogonale, scrivi l'equazione del luogo dei punti P tali che A\hat{P}B = \alpha con \cos(\alpha)=-\frac{4}{5}.

Ho impostato il problema scegliendo il riferimento cartesiano in cui A(-3,0)\ \mbox{e}\ B(3,0).

Soluzione:

\\ x^{2}+y^{2}-8y-9 = 0\ \ \ \mbox{per}\ y\le 0, \\ \\ x^{2}+y^{2}+8y-9 = 0\ \ \ \mbox{per}\  y\ge 0

Ringrazio anticipatamente per la risposta.
 
 

Re: Problema di trigonometria e geometria analitica #99568

avt
Ifrit
Amministratore
Ciao kemiosabe,

per risolvere il problema, conviene metterci comodi scegliendo un sistema di riferimento Oxy.

Possiamo supporre, senza perdita di generalità, che:

- A\ \mbox{e} \ B siano punti appartenenti all'asse delle ascisse, per cui le loro coordinate sono della forma

A(x_{A},0)\ \ \ \mbox{e} \ \ \ B(x_{B},0)

- l'origine O(0,0) del sistema di riferimento sia il punto medio del segmento di estremi A\ \mbox{e} \ B, cosicché la semisomma delle ascisse di A\ \mbox{e} \ B sia uguale a zero:

\frac{x_{A}+x_{B}}{2}=0

Dal dato del problema AB=6, ricaviamo, inoltre, la condizione

x_{B}-x_{A}=6

Con i due vincoli, possiamo costruire il sistema lineare nelle incognite x_{A}\ \mbox{e}\ x_{B}

\begin{cases}\dfrac{x_{A}+x_{B}}{2}=0\\ \\ x_{B}-x_{A}=6\end{cases}

da cui, usando il metodo di sostituzione, otteniamo immediatamente che:

x_{A}=-3 \ \ \ \mbox{e} \ \ \ x_{B}=3

Le coordinate di A \ \mbox{e di} \ B sono, pertanto:

A(-3,0) \ \ \ \mbox{e} \ \ \ B(3,0)

Il nostro compito consiste nell'esprimere l'equazione del luogo geometrico dei punti del piano P(x,y) tali che l'angolo A\hat{P}B sia uguale ad \alpha con

\cos(\alpha)=-\frac{4}{5}

Prima di continuare, osserviamo che il coseno di un angolo è negativo nel momento in cui l'angolo è compreso tra \frac{\pi}{2}\ \mbox{e} \ \frac{3\pi}{2}, per cui

\frac{\pi}{2}< \alpha< \frac{3\pi}{3}

Osserviamo inoltre che ABP è un triangolo, pertanto la somma dei suoi angoli interni è \pi e, di conseguenza, l'angolo \alpha dovrà essere minore di \pi.

In definitiva, l'angolo \alpha deve sottostare al vincolo:

\frac{\pi}{2}<\alpha<\pi

Sfruttando la relazione fondamentale della goniometria

\sin^2(\alpha)+\cos^2(\alpha)=1 \ \ \ \mbox{per ogni} \ \alpha\in\mathbb{R}

determiniamo il seno di \alpha:

\sin^2(\alpha)=1-\cos^2(\alpha) \ \ \ \to \ \ \ \sin(\alpha)=\pm\sqrt{1-\left(-\frac{4}{5}\right)^2}

da cui

\sin(\alpha)=\pm\sqrt{1-\frac{16}{25}}=\pm\sqrt{\frac{9}{25}}=\pm\frac{3}{5}

Nell'intervallo \frac{\pi}{2}< \alpha< \pi, il seno è positivo, per cui dovremo lavorare con il segno +, ossia:

\sin(\alpha)=\frac{3}{5}

Bene, teniamo da parte queste informazioni (ci serviranno in seguito) e apriamo una breve parentesi di carattere teorico.

Il dato dell'esercizio A\hat{P}B=\alpha suggerisce che \alpha è l'angolo (ottuso) formato dalla retta passante per A\ \mbox{e}\ P e dalla retta passante per B\ \mbox{e} \ P, per cui saremmo tentati di usare la formula per l'angolo tra due rette:

\tan(\gamma)=\left|\frac{m_{AP}-m_{BP}}{1+m_{AP}m_{BP}}\right|

dove m_{AP}\ \mbox{e} \ m_{BP} sono rispettivamente il coefficiente angolare della retta passante per A\ \mbox{e} \ P e quello della retta passante per B\ \mbox{e} \ P.

C'è solo un piccolo problema: nella formula, \gamma è l'angolo acuto generato dalle rette, mentre il nostro \alpha è l'ottuso.

Poco male, basta prendere in considerazione l'angolo

\gamma=\pi-\alpha

e lavorare con esso.

Calcoliamo il valore della tangente dell'angolo \gamma, avvalendoci opportunamente delle formule per gli archi associati:

\\ \tan(\gamma)=\tan(\pi-\alpha)=\frac{\sin(\pi-\alpha)}{\cos(\pi-\alpha)}=\\ \\ \\ =\frac{\sin(\alpha)}{-\cos(\alpha)}=\frac{3}{5}\cdot\frac{5}{4}=\frac{3}{4}

Ottimo! Questo valore ci sarà utile per scrivere l'equazione del luogo geometrico, però non basta! Abbiamo bisogno anche del coefficiente angolare della retta che passa per A(-3,0)\ \mbox{e} \ P(x,y) e di quello della retta che passa per B(3,0) \ \mbox{e} \ P(x,y):

m_{AP}=\frac{y_P-y_A}{x_P-x_A}=\frac{y}{x+3}\ \ \ \mbox{e} \ \ \ m_{BP}=\frac{y_P-y_B}{x_P-x_B}=\frac{y}{x-3}

Rimpiazziamo le espressioni nella formula

\tan(\gamma)=\left|\frac{m_{AP}-m_{BP}}{1+m_{AP}\cdot m_{BP}}\right|

che diventa

\frac{3}{4}=\left|\frac{\frac{y}{x+3}-\frac{y}{x-3}}{1+\frac{y}{x+3}\cdot\frac{y}{x-3}}\right|

Svolgiamo i calcoli all'interno del valore assoluto cosicché ricaviamo l'equazione

\frac{3}{4}=\left|\frac{-6y}{x^2+y^2-9}\right|

Osservato che il valore assoluto del quoziente è uguale al quoziente dei valori assoluti, la relazione si tramuta in:

\frac{3}{4}=\frac{6|y|}{|x^2+y^2-9|}

Esprimiamola in forma normale moltiplicando in croce

3(|x^2+y^2-9|)=24|y|

A questo punto dividiamo i membri per 3 e scriviamo l'equazione:

|x^2+y^2-9|=8|y|

Attenzione! I punti P(x,y) del luogo devono essere interni alla circonferenza di equazione x^{2}+y^{2}-9=0, necessariamente

x^2+y^2-9<0 \ \ \ \mbox{per ogni punto del luogo}

Se così non fosse, l'angolo A\hat{P}B sarebbe acuto o tuttalpiù retto.

In accordo con la definizione di valore assoluto,

|x^2+y^2-9|=-(x^2+y^2-9) \ \ \ \mbox{per ogni punto del luogo}

per cui siamo autorizzati a riscrivere

|x^2+y^2-9|=8|y|

nella forma:

-(x^2+y^2-9)=8|y| \ \ \ \to \ \ \ x^2+y^2-9=-8|y|

Sempre in forza della definizione di valore assoluto, possiamo concludere che:

- se y>0, |y|=y e l'equazione diviene

x^2+y^2-9=-8y \ \ \ \to \ \ \ x^2+y^2+8y-9=0

- se y<0, |y|=-y e l'equazione diviene

x^2+y^2-9=8y \ \ \ \to \ \ \ x^2+y^2-8y-9=0

Abbiamo finito!
Ringraziano: Galois, CarFaby, kemiosabe

Re: Problema di trigonometria e geometria analitica #99569

avt
nuvolarossa
Punto
Salve ad essere pignoli i punti di ordinata nulla vanno esclusi.

Re: Problema di trigonometria e geometria analitica #99570

avt
Ifrit
Amministratore
Ciao nuvolarossa, sì, infatti i punti P(x,y) devono essere interni alla parte di piano limitata dalla circonferenza di equazione \Gamma: x^2+y^2-9=0.

I punti cui fai riferimento sono (-3,0)\ \mbox{e} \ (3,0) che però non sono interni alla parte limitata da \Gamma, bensì giacciono su \Gamma.
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Os