Problema di trigonometria e geometria analitica

Buongiorno,

non riesco a risolvere il seguente problema di trigonometria e di geometria analitica:

siano due punti tali che . In un opportuno sistema di riferimento cartesiano ortogonale, scrivi l'equazione del luogo dei punti tali che con .

Ho impostato il problema scegliendo il riferimento cartesiano in cui

Soluzione:



Ringrazio anticipatamente per la risposta.

Ciao kemiosabe,

per risolvere il problema, conviene metterci comodi scegliendo un sistema di riferimento .

Possiamo supporre, senza perdita di generalità, che:

- siano punti appartenenti all'asse delle ascisse, per cui le loro coordinate sono della forma



- l'origine del sistema di riferimento sia il punto medio del segmento di estremi , cosicché la semisomma delle ascisse di sia uguale a zero:



Dal dato del problema , ricaviamo, inoltre, la condizione



Con i due vincoli, possiamo costruire il sistema lineare nelle incognite



da cui, usando il metodo di sostituzione, otteniamo immediatamente che:



Le coordinate di sono, pertanto:



Il nostro compito consiste nell'esprimere l'equazione del luogo geometrico dei punti del piano tali che l'angolo sia uguale ad con



Prima di continuare, osserviamo che il coseno di un angolo è negativo nel momento in cui l'angolo è compreso tra , per cui



Osserviamo inoltre che è un triangolo, pertanto la somma dei suoi angoli interni è e, di conseguenza, l'angolo dovrà essere minore di .

In definitiva, l'angolo deve sottostare al vincolo:



Sfruttando la relazione fondamentale della goniometria



determiniamo il seno di :



da cui



Nell'intervallo , il seno è positivo, per cui dovremo lavorare con il segno , ossia:



Bene, teniamo da parte queste informazioni (ci serviranno in seguito) e apriamo una breve parentesi di carattere teorico.

Il dato dell'esercizio suggerisce che è l'angolo (ottuso) formato dalla retta passante per e dalla retta passante per , per cui saremmo tentati di usare la formula per l'angolo tra due rette:



dove sono rispettivamente il coefficiente angolare della retta passante per e quello della retta passante per .

C'è solo un piccolo problema: nella formula, è l'angolo acuto generato dalle rette, mentre il nostro è l'ottuso.

Poco male, basta prendere in considerazione l'angolo



e lavorare con esso.

Calcoliamo il valore della tangente dell'angolo , avvalendoci opportunamente delle formule per gli archi associati:



Ottimo! Questo valore ci sarà utile per scrivere l'equazione del luogo geometrico, però non basta! Abbiamo bisogno anche del coefficiente angolare della retta che passa per e di quello della retta che passa per :



Rimpiazziamo le espressioni nella formula



che diventa



Svolgiamo i calcoli all'interno del valore assoluto cosicché ricaviamo l'equazione



Osservato che il valore assoluto del quoziente è uguale al quoziente dei valori assoluti, la relazione si tramuta in:



Esprimiamola in forma normale moltiplicando in croce



A questo punto dividiamo i membri per 3 e scriviamo l'equazione:



Attenzione! I punti del luogo devono essere interni alla circonferenza di equazione , necessariamente



Se così non fosse, l'angolo sarebbe acuto o tuttalpiù retto.

In accordo con la definizione di valore assoluto,



per cui siamo autorizzati a riscrivere



nella forma:



Sempre in forza della definizione di valore assoluto, possiamo concludere che:

- se , e l'equazione diviene



- se , e l'equazione diviene



Abbiamo finito!

Salve ad essere pignoli i punti di ordinata nulla vanno esclusi.

Ciao nuvolarossa, sì, infatti i punti devono essere interni alla parte di piano limitata dalla circonferenza di equazione .

I punti cui fai riferimento sono che però non sono interni alla parte limitata da bensì giacciono su .