Disequazione parametrica di secondo grado

Salve, mi sono approcciato da poco alla matematica, avendo solo delle risicate basi scolastiche.
Ora mi trovo in difficoltà con le disequazioni parametriche ad esempio questa:



Grazie anticipatamente.

Ciao Iago00,

quella che proponi è effettivamente una disequazione di secondo grado in , con parametro , abbastanza veloce da risolvere.

Osserviamo infatti che



è effettivamente una disequazione di secondo grado pura, infatti manca il termine in . In questa circostanza, la procedura risolutiva prevede di isolare l'incognita al primo membro, trasportando il termine noto al secondo.



Ci siamo ricondotti a una disequazione nella forma:



dove è un numero reale, in base al segno del quale si prospettano i seguenti scenari:

- se è un numero reale positivo o nullo, la disequazione è soddisfatta per i seguenti valori



- se è un numero reale negativo, la disequazione è soddisfatta per ogni .

Torniamo alla nostra disequazione:



e osserviamo immediatamente che, a prescindere dai valori assunti da , è una quantità positiva o al più nulla, pertanto dobbiamo rifarci al primo scenario e scrivere:



dove è il simbolo matematico che individua il connettivo logico "or".

Possiamo semplificare il risultato, avvalendoci delle proprietà dei radicali, in particolare quella relativa alla radice di un prodotto che consente di scrivere la radice quadrata di un prodotto di quantità non negative come prodotto delle radici dei singoli fattori.



Questa formula ci autorizza a scrivere la seguente uguaglianza



In virtù della definizione di valore assoluto, inoltre, possiamo scrivere l'identità



che consente di scrivere l'insieme delle soluzioni nella forma più semplice:



al variare di . Abbiamo finito.