Tre semplici problemi con le equazioni

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Tre semplici problemi con le equazioni #99529

avt
Leondrago
Punto
Salve, non riesco a tradurre in equazioni i problemi, mi potete spiegare il metodo? Grazie in anticipo.

1. Determina due numeri pari consecutivi sapendo che i \frac{3}{2} del primo superano di 4 il secondo. [12;\ 14]

2. Un segmento è i \frac{7}{9} dell altro e la loro somma è 48\mbox{ cm}. Quanto misurano i due segmenti? [27\mbox{ cm};\ 21\mbox{ cm}]

3. Calcola quanti anni hanno Carlo e Giulio sapendo che fra loro ci sono 3 anni di differenza, che Carlo è il più piccolo e che , insieme, hanno 21\ \mbox{anni}. [9;\ 12]
 
 

Tre semplici problemi con le equazioni #99530

avt
Ifrit
Ambasciatore
Ciao Leondrago, purtroppo non esiste un metodo univoco che consenta di risolvere questa categoria di problemi, tuttalpiù posso fornirti alcuni consigli da seguire.

1. Leggi attentamente il testo, più volte se necessario.

2. Individua l'elemento che svolge il ruolo di incognita e indicalo con una lettera: la classica x va più che bene.

3. [È la parte più difficile] Interpreta il testo del problema e traducilo nel linguaggio matematico. Operativamente, analizzerai con molta attenzione ciascuna frase del problema con l'obiettivo di esplicitare la cosiddetta relazione risolvente: un'equazione di primo grado nell'incognita scelta.

Dopo questo breve preambolo, occupiamoci degli esercizi.

Esercizio 1

Determina due numeri pari consecutivi sapendo che i \frac{3}{2} del primo superano di 4 il secondo.

I protagonisti di questo esercizio sono due numeri pari consecutivi.

Se indichiamo con x il primo numero, il suo consecutivo pari si ottiene sommando 2 a al primo, ossia: x+2.

Ora che abbiamo espresso i due numeri in termini dell'incognita x, traduciamo l'espressione

"i \frac{3}{2} del primo superano di 4 il secondo"

"I \frac{3}{2} del primo (è il nostro x) superano di 4 il secondo (è il nostro x+2)" si traduce nell'equazione risolvente

\frac{3}{2}x=x+2+4

che, sommando 2\ \mbox{e} \ 4 e moltiplicando i due membri per 2, diventa:

3x=2(x+6) \ \ \ \to \ \ \ 3x=2x+12

Trasportiamo al primo membro 2x

3x-2x=12

e sommiamo i monomi simili, ricavando la soluzione dell'equazione

x=12

Ecco trovato il primo numero! Per ricavare il secondo, bisogna semplicemente sommare 2 al risultato:

x+2=12+2=14

I due numeri che soddisfano il problema sono 12\ \mbox{e} \ 14.


Esercizio 2

Occupiamoci del secondo problema il cui testo recita:

"Un segmento è i \frac{7}{9} dell'altro e la loro somma è 48\mbox{ cm}. Quanto misurano i due segmenti?"

In questa occasione, i protagonisti del problema sono due segmenti: dobbiamo capire a quale dei due bisogna attribuire il ruolo di incognita, analizzando la frase: "Un segmento è i \frac{7}{9} dell'altro".

Se indichiamo con x "l'altro segmento", il primo sarà necessariamente \frac{7}{9}x, dunque:

x è la lunghezza del secondo segmento;

\frac{7}{9}x è la lunghezza del primo.

Il testo ci informa, inoltre, che la loro somma misura 48\mbox{ cm}: è questa informazione che consente di scrivere l'equazione risolvente:

\overbrace{\frac{7}{9}x+x}^{\mbox{Somma dei segmenti}}=48

Esprimiamo i termini a denominatore comune

\frac{7x+9x}{9}=\frac{432}{9}

moltiplichiamo per 9 i due membri

7x+9x=432

e sommiamo i monomi simili.

16x=432

Per ricavare il valore di x è sufficiente dividere i due membri dell'equazione per il coefficiente di x e ridurre la frazione ai minimi termini.

x=\frac{432}{16}=27

(Nota: abbiamo diviso numeratore e denominatore per 16)

Il numero 27 rappresenta la lunghezza in centimetri del secondo segmento e rimpiazzando il valore ottenuto nella relazione \frac{7}{9}x, ricaviamo la lunghezza del primo segmento.

\frac{7}{9}x=\frac{7}{9}\cdot 27=

(Semplifichiamo 9\ \mbox{e} \ 27)

=7\cdot 3= 21

Possiamo concludere che la lunghezza del primo segmento è 21\mbox{ cm} mentre quella del secondo è 27\mbox{ cm}.


Esercizio 3

Il terzo problema recita:

"Calcola quanti anni hanno Carlo e Giulio, sapendo che fra loro ci sono 3 anni di differenza, che Carlo è più piccolo e che, insieme, hanno 21\mbox{ anni}."

Il nostro intento consiste nel calcolare l'età di Carlo e quella di Giulio, sapendo che:

- Carlo è il più piccolo dei due: la sua età sarà la nostra incognita e la indichiamo con la solita x.

- La differenza tra l'età di Giulio e quella di Carlo è 3, perciò significa che Giulio è più grande di Carlo di 3 anni.

Poiché abbiamo indicato l'età di Carlo con x, l'età di Giulio è x+3.

La frase che ci permette di esplicitare l'equazione risolvente è "insieme hanno 21\mbox{ anni}." che si traduce in:

\overbrace{x+x+3}^{\mbox{Somma delle et}\grave{\mbox{a}}}=21

Risolviamo la semplice equazione di primo grado, sommando tra loro i monomi simili al primo membro:

2x+3=21

Isoliamo 2x a sinistra dell'uguale, portando a destra 3 cambiandogli il segno.

2x=21-3 \ \ \ \to \ \ \ 2x=18

Dividiamo i due membri per 2 così da ricavare il valore da attribuire a x

x=\frac{18}{2} \ \ \ \to \ \ \ x=9

L'età di Carlo è quindi 9\ \mbox{anni}. Per determinare l'età di Giulio basta sostituire 9 a x nella relazione x+3 e svolgere i calcoli:

x+3=9+3=12

Giulio ha pertanto 12\mbox{ anni}.

Ecco fatto!
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