Equazione con cubo e quadrato di binomio

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Equazione con cubo e quadrato di binomio #99522

avt
Leondrago
Punto
Frequento il primo superiore e non riesco a risolvere questa equazione con il cubo e il quadrato di un binomio. Continuo a perdermi con i segni e avrei bisogno di vedere e capire i passaggi, grazie in anticipo.

(x-3)(x+2)(5-x)=(-x+4)^3-6(x+3)^2

Risultato \left[\frac{8}{17}\right].
 
 

Equazione con cubo e quadrato di binomio #99524

avt
Ifrit
Ambasciatore
Ciao Leondrago,

per poter risolvere l'equazione polinomiale

(x-3)(x+2)(5-x)=(-x+4)^{3}-6(x+3)^{2}

occorre sviluppare il cubo di binomio (-x+4)^{3} avvalendoci del prodotto notevole

(A-B)^{3}=A^3-3A^2B+3AB^2-B^3

Nel caso considerato x svolge il ruolo di B mentre 4 svolge quello di A. In virtù della regola, possiamo scrivere l'uguaglianza

(4-x)^3=4^3-3\cdot 4^2\cdot x+3\cdot 4\cdot x^2-x^3=

da cui, svolgendo le varie potenze e i semplici calcoli, otteniamo

\\ =64-3\cdot 16x+12x^2-x^3= \\ \\ =64-48 x+12x^2-x^3

Oltre al cubo, occorre sviluppare anche il quadrato di binomio (x+3)^{2}: per farlo possiamo avvalerci del seguente prodotto notevole

(A+B)^2=A^2+2AB+B^2

In questa occasione, x ricopre il ruolo di A, mentre 3 ricopre quello di B, pertanto:

\\ (x+3)^2=x^2+2\cdot x\cdot 3+3^2= \\ \\ =x^2+6x+9

Se rimpiazziamo i polinomi all'interno dell'equazione, essa si riscrive nella forma

(x-3)(x+2)(5-x)=(64-48 x+12x^2-x^3)-6(x^2+6x+9)

Moltiplichiamo -6 per x^2+6x+9, usando come si deve la regola dei segni per attribuire il segno corretto ai termini del prodotto

(x-3)(x+2)(5-x)=64-48x+12x^2-x^3-6x^2-36x-54

Sommati i monomi simili, ossia quei monomi aventi la medesima parte letterale, il secondo membro si semplifica e l'equazione diventa

(x-3)(x+2)(5-x)=10-84x+6x^2-x^3

Svolgiamo a questo punto il prodotto tra i polinomi al primo membro: è sufficiente moltiplicare ciascun monomio che forma il primo fattore per tutti i termini che compongono il secondo fattore

(x^2+2x-3x-6)(5-x)=10-84x+6x^2-x^3

da cui

(x^2-x-6)(5-x)=10-84x+6x^2-x^3

Determiniamo il prodotto tra il trinomio x^2-x-6 e il binomio 5-x

5x^2-x^3-5x+x^2-30+6x=10-84x+6x^2-x^3

portiamo tutti i termini al primo membro prestando attenzione ai segni dei monomi che oltrepassano il simbolo di uguaglianza

5x^2-x^3-5x+x^2-30+6x-10+84x-6x^2+x^3=0

Sommati monomi simili e cancellati i monomi opposti, ricaviamo l'equazione di primo grado:

-40+85x=0

Per risolverla è sufficiente isolare il termine con la x al primo membro, trasportando il termine noto al secondo cambiandogli il segno:

85x=40

dopodiché dividiamo a destra e a sinistra per il coefficiente di x

x=\frac{40}{85}

Infine riduciamo ai minimi termini la frazione \frac{40}{85} dividendo numeratore e denominatore per 5

x=\frac{8}{17}

In definitiva, l'equazione

(x-3)(x+2)(5-x)=(-x+4)^{3}-6(x+3)^{2}

ammette un'unica soluzione ed è: x=\frac{8}{17}.

Abbiamo terminato.
Ringraziano: Omega, Leondrago
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Os