Serie numerica fratta con fattoriale

Prima di postare leggi le regole del Forum. Puoi anche leggere le ultime discussioni.
Questa sezione è un contenitore temporaneo per i topic speciali a pagamento (One-Shot)

Se hai acquistato uno o più Topic speciali, puoi pubblicarli qui cliccando su "Apri un Topic".

Il registro completo dei Topic risolti e in corso è disponibile sul proprio profilo.

Serie numerica fratta con fattoriale #99454

avt
jackbd
Punto
Devo studiare il carattere di una serie numerica fratta con fattoriale a seconda del termine fattoriale considerato.

Σ_(n = 0)^(+∞) (f(n))/((n+1)!)

determinare il carattere della serie nei casi :

1) f(n) = n! ; 2) f(n) = (n-1)! ; 3) f(n) = (n+2)! ; 4) f(n) = (-1)^n

Ho provato il primo punto ovviamente fallendo:

lim_(n → ∞)(n!)/((n+1)!) ; lim_(n → ∞)(n!)/((n+1)(n)!) ; lim_(n → ∞)(1)/(n+1) = (1)/(∞) = 0

quindi la serie risulta essere indeterminata.
Sono passato al criterio del rapporto

lim_(n → ∞)(an+1)/(an) = lim_(n → ∞)((n+1)!)/((n+1+1)!)((n+1)!)/(n!) = lim_(n → ∞)((n+1)!)/((n+2)(n+1)!)((n+1)(n)!)/(n!)

ho semplificato ed ho ottenuto:

lim_(n → ∞)(1)/((n+2)!)(n+1)/(1) ; lim_(n → ∞) (n+1)/(n+2)lim_(n → ∞)(n(1+(1)/(n)))/(n(1+(2)/(n))) = 1

ed ovviamente il teorema non fornisce risposta usando tale risultato.
 
 

Serie numerica fratta con fattoriale #99462

avt
Ifrit
Amministratore
Prima di rispondere al quesito, vorrei fare un piccolo commento alla tua risoluzione.

Nel momento in cui calcoli il limite del termine n-esimo:

lim_(n → +∞)(n!)/((n+1)!) = 0

i passaggi sono corretti, così come il risultato. Il problema di fondo risiede nella conclusione che hai scritto: la serie risulta essere indeterminata.

Se il limite del termine generale è 0, l'unica osservazione che possiamo effettuare è che è soddisfatta la condizione necessaria per la convergenza.

Il concetto di indeterminatezza è legato al limite della successione delle somme parziali: se tale limite non esiste, la serie è indeterminata.

Veniamo a noi.

Dobbiamo determinare il carattere della serie

Σ_(n = 0)^(+∞)(f(n))/((n+1)!)

dove (n+1)! è il fattoriale di n+1, mentre f(n) è una delle seguenti successioni:

1) f(n) = n! ; 2) f(n) = (n-1)! ; 3) f(n) = (n+2)! ; 4) f(n) = (-1)^(n)


Caso 1)

Se f(n) = n! la serie diventa:

Σ_(n = 0)^(+∞)(f(n))/((n+1)!) = Σ_(n = 0)^(+∞)(n!)/((n+1)!)

e il suo termine generale è a_(n) = (n!)/((n+1)!). Osserviamo che usando la definizione ricorsiva di fattoriale, a_n può essere semplificato, infatti:

a_(n) = (n!)/((n+1)!) = (n!)/((n+1)·n!) = (1)/(n+1)

Siamo quindi autorizzati a riscrivere la serie data come:

Σ_(n = 0)^(+∞)(1)/(n+1)

Come hai notato tu stesso, il criterio del rapporto è inconcludente perché il limite del rapporto di due termini consecutivi è 1

lim_(n → +∞)(a_(n+1))/(a_n) = lim_(n → +∞)((1)/((n+1)+1))/((1)/(n+1)) = lim_(n → +∞)(n+1)/(n+2) = 1

Attenzione! Se osserviamo bene

Σ_(n = 0)^(+∞)(1)/(n+1)

può essere ricondotta alla serie armonica

Σ_(m = 1)^(+∞)(1)/(m)

che è positivamente divergente. Per convincercene è sufficiente operare la sostituzione m = n+1 e trasformare il primo indice della serie n_0 = 0.

Se n_0 = 0, dalla sostituzione ricaviamo il termine da cui deve partire m:

m_(0) = n_0+1 = 0+1 = 1

per cui sussiste l'uguaglianza:

Σ_(n = 0)^(+∞)(1)/(n+1) = Σ_(m = 1)^(+∞)(1)/(m)

Quella a secondo membro è proprio la serie armonica divergente!

In definitiva, se f(n) = n! allora la serie diverge.


Caso 2)

NOTA: chi ha redatto l'esercizio non ha tenuto conto del fatto che (n-1)! è ben definito solo per n ≥ 1, pertanto la serie iniziale dovrebbe partire da n = 1 e non da n = 0. Poca roba, continuiamo con l'esercizio.

Se f(n) = (n-1)!, la serie di partenza diventa:

Σ_(n = 1)^(+∞)(f(n))/((n+1)!) = Σ_(n = 1)^(+∞)((n-1)!)/((n+1)!)

il cui termine generale è:

a_(n) = ((n-1)!)/((n+1)!) =

Sfruttiamo ancora una volta la definizione ricorsiva di fattoriale sviluppando questa volta il denominatore

= ((n-1)!)/((n+1)n(n-1)!) = (1)/((n+1)n)

I passaggi algebrici consentono di scrivere la serie data come:

Σ_(n = 1)^(∞)(1)/(n(n+1))

Essa è una serie notevole che va sotto il nome di serie di Mengoli ed è convergente.

Notiamo che anche in questo caso, applicare il criterio del rapporto o il criterio della radice è del tutto inutile perché i limiti che ne conseguirebbero sono entrambi uguali a 1. Se proprio si vuole usare un criterio di convergenza, interviene il criterio del confronto asintotico.

Per n → +∞ sussistono le relazioni asintotiche

n ~ n e n+1 ~ n

che giustificano la seguente:

(1)/(n(n+1)) ~ (1)/(n^2) per n → +∞

La serie associata alla successione (1)/(n^2), vale a dire

Σ_(n = 1)^(+∞)(1)/(n^2)

è una serie armonica generalizzata convergente (p = 2 > 1) di conseguenza il criterio del confronto garantisce la convergenza della serie

Σ_(n = 1)^(+∞)(1)/(n(n+1))


Caso 3)

Se f(n) = (n+2)!, la serie diventa

Σ_(n = 0)^(+∞)(f(n))/((n+1)!) = Σ_(n = 0)^(+∞)((n+2)!)/((n+1)!)

il cui termine generale è

a_(n) = (f(n))/((n+1)!) = ((n+2)!)/((n+1)!) =

Sfruttiamo ancora una volta la definizione ricorsiva del fattoriale per esplicitare il numeratore e in seguito semplifichiamo:

= ((n+2)·(n+1)!)/((n+1)!) = (n+2)

Perfetto! La serie data si scrive nella forma:

Σ_(n = 0)^(+∞)(f(n))/((n+1)!) = Σ_(n = 0)^(+∞)(n+2)

In questa circostanza, viene meno la condizione necessaria per la convergenza, infatti

lim_(n → +∞)a_(n) = lim_(n → +∞)(n+2) = +∞

e poiché la serie è a termini positivi, possiamo concludere che essa diverge positivamente.


Caso 4)

Se f(n) = (-1)^(n), l'espressione della serie è:

Σ_(n = 0)^(+∞)(f(n))/((n+1)!) = Σ_(n = 0)^(+∞)((-1)^(n))/((n+1)!)

In questa occasione abbiamo ottenuto una serie a segni alterni, infatti il suo termine generale si presenta nella forma

a_(n) = (-1)^n·b_(n)

con b_(n) = (1)/((n+1)!) > 0.

Per determinare il carattere della serie, possiamo avvalerci del criterio di Leibniz: basta dimostrare che

b_(n) = (1)/((n+1)!)

- è una successione positiva (e lo è perché il fattoriale di un numero è sempre positivo);

- è una successione decrescente;

- è una successione infinitesima.

Per dimostrare che b_(n) è effettivamente una successione decrescente, dobbiamo verificare che

b_(n) ≥ b_(n+1) per ogni n∈N

Dimostrazione: partiamo dalla relazione

n+1 < n+2 per ogni n∈N

e applichiamo membro a membro il fattoriale (il verso della disuguaglianza non si inverte perché il fattoriale è una funzione crescente)

(n+1)! < (n+2)! per ogni n∈N

Passando ai reciproci, il verso della disuguaglianza si inverte, per cui ricaviamo:

(1)/((n+1)!) (= b_(n)) > (1)/((n+2)!) (= b_(n+1)) per ogni n∈N

ossia b_(n) è decrescente.

Mostriamo che b_(n) sia una successione infinitesima, mostrando che il limite per n che tende a +∞ di b_(n) è zero:

lim_(n → +∞)b_(n) = lim_(n → +∞)(1)/((n+1)!) = [(1)/(+∞)] = 0

Poiché b_(n) è una successione positiva, decrescente e infinitesima, il criterio di Leibnitz garantisce la convergenza della serie data.


In conclusione:

- se f(n) = n!, la serie diverge perché coincide con la serie armonica;

- se f(n) = (n-1)!, la serie converge per il criterio del confronto asintotico (o se si vuole, perché è la serie di Mengoli);

- se f(n) = (n+2)!, la serie diverge positivi perché è a termini positivi e viene meno la condizione necessaria di convergenza;

- se f(n) = (-1)^(n), la serie converge per il criterio di Leibnitz.
Ringraziano: Omega, Pi Greco, CarFaby, jackbd
  • Pagina:
  • 1
Os