Serie numerica fratta con fattoriale

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Serie numerica fratta con fattoriale #99454

avt
jackbd
Punto
Devo studiare il carattere di una serie numerica fratta con fattoriale a seconda del termine fattoriale considerato.

\sum_{n=0}^{+ \infty} \frac{f(n)}{(n+1)!}

determinare il carattere della serie nei casi :

\\ 1)\ \ \ f(n)=n! \\ \\ 2) \ \ \ f(n)=(n-1)!\\ \\ 3) \ \ \  f(n)=(n+2)!\\ \\ 4) \ \ \ f(n)=(-1)^n

Ho provato il primo punto ovviamente fallendo:

\\ \lim_{n\to\infty}\frac{n!}{(n+1)!}\\ \\ \\ \lim_{n\to\infty}\frac{n!}{(n+1)(n)!}\\ \\ \\ \lim_{n\to\infty}\frac{1}{(n+1)}=\frac{1}{\infty}=0

quindi la serie risulta essere indeterminata.
Sono passato al criterio del rapporto

\\ \lim_{n\to\infty}{\frac{(an+1)}{(an)}}=\lim_{n\to \infty}\frac{(n+1)!}{(n+1+1)!}\frac{(n+1)!}{n!}= \\ \\ \\=\lim_{n\to \infty}\frac{(n+1)!}{(n+2)(n+1)!}\frac{(n+1)(n)!}{n!}

ho semplificato ed ho ottenuto:

\\ \lim_{n\to\infty}\frac{1}{(n+2)!}\frac{(n+1)}{1}\\ \\ \\ \lim_{n\to\infty} {\frac{(n+1)}{(n+2)}}\lim_{n\to\infty}\frac{{n(1+\frac{1}{n}})}{{n(1+\frac{2}{n}})}=1

ed ovviamente il teorema non fornisce risposta usando tale risultato.
 
 

Serie numerica fratta con fattoriale #99462

avt
Ifrit
Ambasciatore
Prima di rispondere al quesito, vorrei fare un piccolo commento alla tua risoluzione.

Nel momento in cui calcoli il limite del termine n-esimo:

\lim_{n\to+\infty}\frac{n!}{(n+1)!}=0

i passaggi sono corretti, così come il risultato. Il problema di fondo risiede nella conclusione che hai scritto: la serie risulta essere indeterminata.

Se il limite del termine generale è 0, l'unica osservazione che possiamo effettuare è che è soddisfatta la condizione necessaria per la convergenza.

Il concetto di indeterminatezza è legato al limite della successione delle somme parziali: se tale limite non esiste, la serie è indeterminata.

Veniamo a noi.

Dobbiamo determinare il carattere della serie

\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{f(n)}{(n+1)!}

dove (n+1)! è il fattoriale di n+1, mentre f(n) è una delle seguenti successioni:

\\ 1) \ \ \ f(n)=n! \\ \\ 2) \ \ \ f(n)=(n-1)! \\ \\ 3) \ \ \ f(n)=(n+2)! \\ \\  4)\ \ \  f(n)=(-1)^{n}


Caso 1)

Se f(n)=n! la serie diventa:

\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{f(n)}{(n+1)!}=\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{n!}{(n+1)!}

e il suo termine generale è a_{n}=\frac{n!}{(n+1)!}. Osserviamo che usando la definizione ricorsiva di fattoriale, a_n può essere semplificato, infatti:

a_{n}=\frac{n!}{(n+1)!}=\frac{n!}{(n+1)\cdot n!}=\frac{1}{n+1}

Siamo quindi autorizzati a riscrivere la serie data come:

\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{1}{n+1}

Come hai notato tu stesso, il criterio del rapporto è inconcludente perché il limite del rapporto di due termini consecutivi è 1

\\ \lim_{n\to +\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}=\lim_{n\to +\infty}\frac{\frac{1}{(n+1)+1}}{\frac{1}{n+1}}= \\ \\ \\ = \lim_{n\to+\infty}\frac{n+1}{n+2}=1

Attenzione! Se osserviamo bene

\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{1}{n+1}

può essere ricondotta alla serie armonica

\sum_{m=1}^{+\infty}\frac{1}{m}

che è positivamente divergente. Per convincercene è sufficiente operare la sostituzione m=n+1 e trasformare il primo indice della serie n_0=0.

Se n_0=0, dalla sostituzione ricaviamo il termine da cui deve partire m:

m_{0}=n_0+1= 0+1=1

per cui sussiste l'uguaglianza:

\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{1}{n+1}=\sum_{m=1}^{+\infty}\frac{1}{m}

Quella a secondo membro è proprio la serie armonica divergente!

In definitiva, se f(n)=n! allora la serie diverge.


Caso 2)

NOTA: chi ha redatto l'esercizio non ha tenuto conto del fatto che (n-1)! è ben definito solo per n\ge 1, pertanto la serie iniziale dovrebbe partire da n=1 e non da n=0. Poca roba, continuiamo con l'esercizio.

Se f(n)=(n-1)!, la serie di partenza diventa:

\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{f(n)}{(n+1)!}=\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{(n-1)!}{(n+1)!}

il cui termine generale è:

a_{n}=\frac{(n-1)!}{(n+1)!}=

Sfruttiamo ancora una volta la definizione ricorsiva di fattoriale sviluppando questa volta il denominatore

=\frac{(n-1)!}{(n+1)n(n-1)!}=\frac{1}{(n+1)n}

I passaggi algebrici consentono di scrivere la serie data come:

\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n(n+1)}

Essa è una serie notevole che va sotto il nome di serie di Mengoli ed è convergente.

Notiamo che anche in questo caso, applicare il criterio del rapporto o il criterio della radice è del tutto inutile perché i limiti che ne conseguirebbero sono entrambi uguali a 1. Se proprio si vuole usare un criterio di convergenza, interviene il criterio del confronto asintotico.

Per n\to +\infty sussistono le relazioni asintotiche

n\sim n \ \ \ \mbox{e} \ \ \ n+1\sim n

che giustificano la seguente:

\frac{1}{n(n+1)}\sim \frac{1}{n^2} \ \ \ \mbox{per} \ n\to+\infty

La serie associata alla successione \frac{1}{n^2}, vale a dire

\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n^2}

è una serie armonica generalizzata convergente (p=2>1) di conseguenza il criterio del confronto garantisce la convergenza della serie

\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n(n+1)}


Caso 3)

Se f(n)=(n+2)!, la serie diventa

\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{f(n)}{(n+1)!}=\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{(n+2)!}{(n+1)!}

il cui termine generale è

\\ a_{n}=\frac{f(n)}{(n+1)!}=\frac{(n+2)!}{(n+1)!}=

Sfruttiamo ancora una volta la definizione ricorsiva del fattoriale per esplicitare il numeratore e in seguito semplifichiamo:

=\frac{(n+2)\cdot (n+1)!}{(n+1)!}=(n+2)

Perfetto! La serie data si scrive nella forma:

\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{f(n)}{(n+1)!}=\sum_{n=0}^{+\infty}(n+2)

In questa circostanza, viene meno la condizione necessaria per la convergenza, infatti

\lim_{n\to+\infty}a_{n}=\lim_{n\to+\infty}(n+2)=+\infty

e poiché la serie è a termini positivi, possiamo concludere che essa diverge positivamente.


Caso 4)

Se f(n)=(-1)^{n}, l'espressione della serie è:

\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{f(n)}{(n+1)!}=\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{(-1)^{n}}{(n+1)!}

In questa occasione abbiamo ottenuto una serie a segni alterni, infatti il suo termine generale si presenta nella forma

a_{n}=(-1)^n\cdot b_{n}

con b_{n}=\frac{1}{(n+1)!}>0.

Per determinare il carattere della serie, possiamo avvalerci del criterio di Leibniz: basta dimostrare che

b_{n}=\frac{1}{(n+1)!}

- è una successione positiva (e lo è perché il fattoriale di un numero è sempre positivo);

- è una successione decrescente;

- è una successione infinitesima.

Per dimostrare che b_{n} è effettivamente una successione decrescente, dobbiamo verificare che

b_{n}\ge b_{n+1} \ \ \ \mbox{per ogni} \ n\in\mathbb{N}

Dimostrazione: partiamo dalla relazione

n+1<n+2 \ \ \ \mbox{per ogni} \ n\in\mathbb{N}

e applichiamo membro a membro il fattoriale (il verso della disuguaglianza non si inverte perché il fattoriale è una funzione crescente)

(n+1)!<(n+2)! \ \ \ \mbox{per ogni} \ n\in\mathbb{N}

Passando ai reciproci, il verso della disuguaglianza si inverte, per cui ricaviamo:

\overbrace{\frac{1}{(n+1)!}}^{=b_{n}}>\overbrace{\frac{1}{(n+2)!}}^{=b_{n+1}} \ \ \ \mbox{per ogni}\ n\in\mathbb{N}

ossia b_{n} è decrescente.

Mostriamo che b_{n} sia una successione infinitesima, mostrando che il limite per n che tende a +\infty di b_{n} è zero:

\lim_{n\to+\infty}b_{n}=\lim_{n\to+\infty}\frac{1}{(n+1)!}=\left[\frac{1}{+\infty}\right]=0

Poiché b_{n} è una successione positiva, decrescente e infinitesima, il criterio di Leibnitz garantisce la convergenza della serie data.


In conclusione:

- se f(n)=n!, la serie diverge perché coincide con la serie armonica;

- se f(n)=(n-1)!, la serie converge per il criterio del confronto asintotico (o se si vuole, perché è la serie di Mengoli);

- se f(n)=(n+2)!, la serie diverge positivi perché è a termini positivi e viene meno la condizione necessaria di convergenza;

- se f(n)=(-1)^{n}, la serie converge per il criterio di Leibnitz.
Ringraziano: Omega, Pi Greco, jackbd
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