Esercizio su sistema lineare parametrico e indipendenza lineare

Dovrei risolvere il seguente problema con un sistema lineare parametrico e sull'indipendenza lineare dei vettori.

Sia dato il seguente sistema di equazioni lineari:



Riscrivere il sistema in forma vettoriale e, al variare del parametro , mostrare tutti i modi in cui è possibile esprimere il vettore dei termini noti come combinazione lineare dei vettori dei coefficienti. Indicare inoltre per quali valori di i vettori dei coefficienti sono linearmente indipendenti tra di loro e per quali valori di sono linearmente dipendenti.

Consideriamo il sistema lineare parametrico nelle incognite e con parametro



L'esercizio ci chiede di:

(a) riscrivere il sistema in forma vettoriale;

(b) mostrare tutti i modi in cui è possibile esprimere il vettore dei termini noti come combinazione lineare dei vettori dei coefficienti;

(c) indicare per quali valori di i vettori dei coefficienti sono linearmente indipendenti tra di loro e per quali valori di sono linearmente dipendenti. (Per approfondire - vettori linearmente indipendenti e vettori linearmente dipendenti).

Forma vettoriale di un sistema lineare

Prima di procedere, effettuiamo un breve preambolo teorico.

A ogni sistema lineare in equazioni e in incognite



è possibile associare la cosiddetta forma vettoriale:



In termini più espliciti, il sistema lineare è diventato un'equazione vettoriale in cui:

- al primo membro compare la somma del prodotto tra ciascuna incognita e il vettore dei coefficienti a essa associato;

- al secondo membro il vettore dei termini noti.

Sebbene la teoria sia piena di simboli, l'idea di fondo è molto semplice.

Torniamo al nostro sistema lineare:



ed estrapoliamo i vettori colonna associati alle incognite .

A associamo il vettore colonna formato dai coefficienti dell'incognita, vale a dire:



A associamo il vettore colonna formato dai coefficienti della stessa, ossia:



All'incognita associamo il vettore



e, infine, indichiamo con il vettore dei termini noti



Con le informazioni in nostro possesso, siamo in grado di scrivere il sistema lineare nella sua forma vettoriale



Il primo punto è completato.

Esprimere il vettore dei termini noti come combinazione lineare dei vettori coefficienti

Il punto (b) dell'esercizio equivale a determinare tutti gli reali, che realizzano l'uguaglianza vettoriale



In altri termini, dobbiamo "semplicemente" risolvere il sistema lineare!

Al sistema lineare associamo sia la matrice dei coefficienti, ossia la matrice avente per entrare i coefficienti delle incognite



detta anche matrice incompleta, e la matrice completa che si ottiene accostando ad il vettore dei termini noti:



Prima di procedere oltre, dobbiamo comprendere se il sistema lineare ammette soluzioni: occorre invocare il teorema di Rouché Capelli il quale garantisce la compatibilità del sistema se e solo se il rango della matrice dei coefficienti coincide con quello della matrice completa:



Nel caso in cui questa uguaglianza non venisse soddisfatta, il sistema non ammetterebbe soluzione e quindi il vettore dei termini noti non può essere espresso come combinazione lineare delle colonne della matrice di .

Per calcolare il rango della matrice , consideriamo la sottomatrice di ordine 3 formata dagli elementi che sono l'incrocio tra le colonne della matrice , la sua seconda riga, la sua terza e la quarta riga:



Se il determinante di è diverso da zero, la matrice dei coefficienti avrà rango massimo (3), in caso contrario, il rango sarà inferiore.

Usiamo la regola di Laplace, sviluppando i calcoli sulla prima colonna



Vediamo per quali valori di , si annulla:



ossia se .

Deduciamo quindi che il rango della matrice dei coefficienti:

- è 3, se ;

- è minore di 3, se ;

Osserviamo che se si riduce alla matrice



il cui rango è pari a 1.

A questo punto studiare il rango della matrice completa



tenendo conto della relazione fondamentale:



(A parole: il rango della matrice dei coefficienti è sempre minore o al più uguale del rango della matrice completa).

Poiché è una matrice quadrata, possiamo pensare di calcolare il suo determinante, ma chiaramente i conti diventano abbastanza noiosi.

Tentiamo quindi un approccio differente: se osserviamo bene, la colonna



è esattamente la somma tra le colonne



infatti



dunque la prima colonna è combinazione lineare delle altre due: per le proprietà del determinante



Questa informazione è fondamentale perché consente di concludere che:



e non potendo essere più piccolo di , si deve necessariamente avere che



Si noti che se , la matrice completa si riduce a:



che ha rango 1.

Poiché i ranghi delle due matrici coincidono, il sistema lineare ammette sempre soluzioni!

Come se non bastasse, per dalla relazione:



segue che il vettore dei termini noti si esprime sempre come combinazione lineare tra la prima e la terza colonna, e con coefficienti pari a , cioè:



Poiché non compare il vettore associato all'incognita , essa dev'essere necessariamente nulla



Abbiamo quindi risolto in parte il problema:

se , il sistema è risolto per

Se , il sistema diventa semplicemente



ed è quindi soddisfatto dai vettori con .

Vettori linearmente indipendenti

Abbiamo pressoché studiato l'indipendenza lineare nel momento in cui abbiamo calcolato il rango della matrice : per il rango della matrice è 3, di conseguenza, per definizione di rango, le colonne che formano la matrice sono linearmente indipendenti.

Nel caso in cui , la matrice ha rango 1, di conseguenza, i vettori colonna sono linearmente dipendenti.

Grazie Mille Ifrit, mi sei stato di grande aiuto.
saluti.
Luca.