Osserviamo che il sistema assegnato
è un sistema lineare omogeneo, infatti i termini noti sono tutti nulli.
Indichiamo con
la matrice dei coefficienti associata al sistema.
Dalla teoria sui
sistemi lineari dovrebbe essere noto che un sistema lineare omogeneo è sempre compatibile e che, in particolare:
- se il
determinante della matrice dei coefficienti associata al sistema è diverso da zero, allora il sistema ammette un'unica soluzione, che è quella banale

.
- Se, invece,

, allora per il
teorema di Rouché-Capelli il sistema ammette

soluzioni,
dove

è il numero delle incognite e

indica il
rango della matrice 
.
Chiarito ciò, calcoliamo il determinante della matrice

procedendo con lo sviluppo di Laplace rispetto alla prima riga (o alla prima colonna) che hanno due termini nulli.
Per la
legge di annullamento del prodotto

è un'
equazione di primo grado in

, la cui soluzione è

è un'
equazione di secondo grado in

della forma
le cui soluzioni sono
Dunque
Ti faccio notare che per risolvere l'equazione avremmo potuto usare la formula ridotta, ossia ricorrere al
Delta quarti.
Possiamo così concludere che
e quindi
per

il sistema ammette un'unica soluzione, che è quella banale
Proseguiamo analizziamo separatamente i casi
Per

la matrice associata al sistema è
il cui rango è, necessariamente, minore o uguale di 2.
La sottomatrice che si estrae da

eliminando la terza riga e la terza colonna ha determinante non nullo
L'aver trovato un minore di ordine 2 non nullo ci permette di concludere che
ragion per cui il sistema a essa associato, ossia
ammette

soluzioni, che possiamo calcolare col
metodo di sostituzione assegnando a un'incognita il ruolo di parametro libero.
Dalla prima equazione del sistema si ha che
dunque poniamo, ad esempio,

. Sostituendo nella seconda equazione si ha
Quindi per

le soluzioni cercate sono
Proseguiamo analizzando il caso
il cui rango è, evidentemente, 1, ossia
La prima riga è infatti tutta nulla, mentre seconda e terza riga sono proporzionali tra loro.
Il sistema associato, ossia
ha

e si calcolano assegnando a 2 incognite il ruolo di parametro libero.
Ponendo

si ha
Dunque le soluzioni cercate sono
Concludiamo con un breve riepilogo.
- Se

il sistema ammette un'unica soluzione:

.
- Se

abbiamo

soluzioni:

.
- Se

le soluzioni sono
