Sistema lineare 3x3 omogeneo con un parametro

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Sistema lineare 3x3 omogeneo con un parametro #99346

avt
Bombul
Punto
Devo determinare il numero delle soluzioni di un sistema lineare parametrico e calcolarle esplicitamente senza poter usare il metodo di eliminazione di Gauss.

Ecco il testo completo dell'esercizio: si consideri il seguente sistema

\begin{cases}(-4-k)x=0\\(3-k)y+7z=0\\-y+(-5-k)z=0\end{cases}

Si trovino il numero delle soluzioni al variare del parametro k e le soluzioni esplicite. Per la risoluzione del sistema non può essere utilizzato il metodo di Gauss
 
 

Sistema lineare 3x3 omogeneo con un parametro #99352

avt
Galois
Amministratore
Osserviamo che il sistema assegnato

\begin{cases}(-4-k)x=0\\(3-k)y+7z=0\\-y+(-5-k)z=0\end{cases}

è un sistema lineare omogeneo, infatti i termini noti sono tutti nulli.

Indichiamo con

A_k=\begin{pmatrix}-4-k & 0 & 0 \\ 0 & 3-k & 7 \\ 0 & -1 & -5-k\end{pmatrix}

la matrice dei coefficienti associata al sistema.

Dalla teoria sui sistemi lineari dovrebbe essere noto che un sistema lineare omogeneo è sempre compatibile e che, in particolare:

- se il determinante della matrice dei coefficienti associata al sistema è diverso da zero, allora il sistema ammette un'unica soluzione, che è quella banale (x,y,z)=(0,0,0).

- Se, invece, \mbox{det}(A_k)=0, allora per il teorema di Rouché-Capelli il sistema ammette

\infty^{n-\mbox{rk}(A_k)} = \infty^{3-\mbox{rk}(A_k)} soluzioni,

dove n=3 è il numero delle incognite e \mbox{rk}(A_k) indica il rango della matrice A_k.

Chiarito ciò, calcoliamo il determinante della matrice A_k procedendo con lo sviluppo di Laplace rispetto alla prima riga (o alla prima colonna) che hanno due termini nulli.

\\ \mbox{det}(A_k)=\mbox{det}\begin{pmatrix}-4-k & 0 & 0 \\ 0 & 3-k & 7 \\ 0 & -1 & -5-k\end{pmatrix} = \\ \\ \\ = (-4-k) \ \mbox{det} \begin{pmatrix} 3-k & 7 \\ -1 & -5-k\end{pmatrix} = \\ \\ \\ = (-4-k)[(3-k)(-5-k)+7] = \\ \\ = (-4-k)(-15-3k+5k+k^2+7) = \\ \\ = (-4-k)(k^2+2k-8)

Per la legge di annullamento del prodotto

\mbox{det}(A_k)=0 \iff -4-k=0 \mbox{ oppure } k^2+2k-8=0

-4-k=0 è un'equazione di primo grado in k, la cui soluzione è k=-4

k^2+2k-8=0 è un'equazione di secondo grado in k della forma

ak^2+bk+c=0, \mbox{ con } a=1, \ b=2, \ c=-8

le cui soluzioni sono

k_{1,2}=\frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} = \frac{-2 \pm \sqrt{4+32}}{2} = \frac{-2 \pm 6}{2}

Dunque

\\ k_1=\frac{-2-6}{2}=\frac{-8}{2}=-4 \\ \\ \\ k_2=\frac{-2+6}{2}=\frac{4}{2}=2

Ti faccio notare che per risolvere l'equazione avremmo potuto usare la formula ridotta, ossia ricorrere al Delta quarti.

Possiamo così concludere che

\mbox{det}(A_k) = 0 \iff k=-4 \mbox{ oppure } k=2

e quindi

per k \in \mathbb{R}-\{-4, 2\} il sistema ammette un'unica soluzione, che è quella banale

(x,y,z)=(0,0,0)


Proseguiamo analizziamo separatamente i casi k=2 \mbox{ e } k=-4

Per k=2 la matrice associata al sistema è

A_2=\begin{pmatrix}-6 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 7 \\ 0 & -1 & -7\end{pmatrix}

il cui rango è, necessariamente, minore o uguale di 2.

La sottomatrice che si estrae da A_2 eliminando la terza riga e la terza colonna ha determinante non nullo

\mbox{det}\begin{pmatrix}-6 & 0 \\ 0 & 1\end{pmatrix}=-6 \neq 0

L'aver trovato un minore di ordine 2 non nullo ci permette di concludere che

\mbox{rk}(A_2)=2

ragion per cui il sistema a essa associato, ossia

\begin{cases}-6x=0 \\ y+7z=0 \\ -y-7z=0\end{cases}

ammette \infty^{3-2}=\infty^{1} soluzioni, che possiamo calcolare col metodo di sostituzione assegnando a un'incognita il ruolo di parametro libero.

Dalla prima equazione del sistema si ha che

x=0

dunque poniamo, ad esempio, z=\alpha, \mbox{ con } \alpha \in \mathbb{R}. Sostituendo nella seconda equazione si ha

y+7z=0 \iff y=-7z \iff y=-7 \alpha

Quindi per k=2 le soluzioni cercate sono

(x,y,z)=(0,-7\alpha, \alpha), \mbox{ con } \alpha \in \mathbb{R}


Proseguiamo analizzando il caso k=-4

A_{-4}=\begin{pmatrix}0 & 0 & 0 \\ 0 & 7 & 7 \\ 0 & -1 & -1\end{pmatrix}

il cui rango è, evidentemente, 1, ossia

\mbox{rk}(A_{-4})=1

La prima riga è infatti tutta nulla, mentre seconda e terza riga sono proporzionali tra loro.

Il sistema associato, ossia

\begin{cases}7y+7z=0 \\ -y-z=0\end{cases}

ha \infty^{3-1}=\infty^{2} e si calcolano assegnando a 2 incognite il ruolo di parametro libero.

Ponendo x=\alpha, \ y=\beta, \mbox{ con } \alpha, \ \beta \in \mathbb{R} si ha

\begin{cases}x=\alpha \\ y=\beta \\ -y-z=0 \to z=-y=-\beta\end{cases}

Dunque le soluzioni cercate sono

(x,y,z)=(\alpha, \beta, -\beta), \mbox{ con } \alpha, \ \beta \in \mathbb{R}


Concludiamo con un breve riepilogo.

- Se k \in \mathbb{R}-\{-4,2\} il sistema ammette un'unica soluzione: (x,y,z)=(0,0,0).

- Se k=2 abbiamo \infty^1 soluzioni: (x,y,z)=(0, -7\alpha, \alpha), \mbox{ con } \alpha \in \mathbb{R}.

- Se k=-4 le soluzioni sono \infty^2: \ (x,y,z)=(\alpha, \beta, -\beta), \mbox{ con } \alpha, \ \beta \in \mathbb{R}
Ringraziano: Omega, Ifrit, CarFaby, Bombul
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