Esercizio su derivate, operazioni tra funzioni e composizione

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Esercizio su derivate, operazioni tra funzioni e composizione #99330

avt
Sederico
Punto
Devo risolvere un esercizio sulla derivazione in presenza di operazione di funzioni e composizione di funzioni.

Sapendo che:

f(-3) = 0 , f(-2) = -3 , f(-1) = -1 , f(0) = 1 , f(1) = -3 ; g(-3) = 1 , g(-2) = -1 , g(-1) = 0 , g(0) = -3 , g(1) = -2 ; f'(-3) = -2 , f'(-2) = 0 , f'(-1) = 1 , f'(0) = -3 , f'(1) = 1 ; g'(-3) = 1 , g'(-2) = -1 , g'(-1) = -2 , g'(0) = 0 , g'(1) = 3

Calcolare le seguenti espressioni:

1) (f circ g)(0) ; 2) ((f)/(g))'(-3) ; 3) (f circ g)'(1) ; 4) (g circ g)'(-2)

Potreste spiegarmi il metodo per la risoluzione?

Grazie in anticipo
 
 

Esercizio su derivate, operazioni tra funzioni e composizione #99331

avt
Ifrit
Amministratore
Ciao Sederico,

per risolvere l'esercizio occorre conoscere:

- il concetto di valutazione di una funzione;

- il concetto di funzione composta;

- la regola per la derivata del quoziente;

- la regola di derivazione per le funzioni composte.

I concetti e le regole verranno comune richiamate durante lo svolgimento.

L'esercizio fornisce le seguenti valutazioni sia di f(x) e g(x) sia delle loro derivate f'(x) e g'(x):

f(-3) = 0 , f(-2) = -3 , f(-1) = -1 , f(0) = 1 , f(1) = -3 ; g(-3) = 1 , g(-2) = -1 , g(-1) = 0 , g(0) = -3 , g(1) = -2 ; f'(-3) = -2 , f'(-2) = 0 , f'(-1) = 1 , f'(0) = -3 , f'(1) = 1 ; g'(-3) = 1 , g'(-2) = -1 , g'(-1) = -2 , g'(0) = 0 , g'(1) = 3

1) valutazione della funzione composta

Iniziamo! Dobbiamo calcolare il valore (f circ g)(0), ossia dobbiamo comporre la funzione f con il valore che la funzione g assume in x_0 = 0. Cerchiamo di essere più espliciti!

La scrittura (f circ g)(0) è equivalente a f(g(0)). Per ricavare il valore occorre:

- valutare la funzione interna g(x) nel punto x_0 = 0, ossia considera il valore che g(x) assume in x_0 = 0. Osservando la tabella scopriamo che:

g(0) = -3

- sostituire il valore ottenuto da g(0) e darlo in pasto a f e ricercare il valore nella tabella dell'esercizio.

(f circ g)(0) = f(g(0) (= -3)) = f(-3) = 0

Osserva che questa procedura ha valenza generale (è la definizione "operativa" di funzione composta).

2. Calcolo della derivata del quoziente

Per determinare il valore di ((f)/(g))'(-3) bisogna avvalersi della seguente regola di derivazione:

la derivata del quoziente di due funzioni f(x) e g(x) è uguale alla derivata della funzione a numeratore per quella a denominatore meno la funzione a numeratore per la derivata del denominatore, il tutto fratto per il denominatore al quadrato. In simboli matematici:

((f)/(g))'(x) = (f'(x)g(x)-f(x)g'(x))/([g(x)]^2)

Se al posto di x rimpiazziamo il valore -3, la precedente relazione diventa

((f)/(g))'(-3) = (f'(-3)g(-3)-f(-3)g'(-3))/([g(-3)]^2) = (•)

Dalla tabella fornita dalla traccia, sappiamo che:

f(-3) = 0 , g(-3) = 1 , f'(-3) = -2 , g'(-3) = 1

Sostituiamo le valutazioni nell'espressione precedente così da ricavare

(•) = (-2·1-0·1)/([1]^2) = -2

Possiamo affermare quindi che la derivata del quoziente, valutata per x = -3 è -2:

((f)/(g))'(-3) = -2

3. Derivata della funzione composta

Il punto 3 del problema chiede di determinare il valore della derivata di (f circ g)(x) nel punto x_0 = 1.

In questa circostanza interviene quello che prende il nome di teorema di derivazione delle funzioni composte, che sotto le opportune ipotesi, fornisce la formula di derivazione

(f circ g)'(x) = f'(g(x))·g'(x)

In altri termini, la derivata della funzione composta (f circ g)(x) è uguale al prodotto tra la derivata di f avente per argomento la funzione interna g e la derivata prima di g.

Grazie a tale relazione, possiamo determinare il valore (f circ g)'(1), infatti:

(f circ g)'(1) = f'(g(1))·g'(1) = (• •)

Chiaramente abbiamo bisogno dei valori di g(1) e g'(1) che, dando uno sguardo alla tabella, scopriamo essere:

g(1) = -2 e g'(1) = 3

per cui l'espressione (• •) diventa

(• •) = f'(-2)·3 =

Per portare a termine il calcolo, abbiamo bisogno del valore della derivata di f nel punto -2. Grazie alla tabella, f'(-2) = 0, per cui il precedente prodotto è nullo

= 0·3 = 0

In definitiva (f circ g)'(0) = 0.

4. Calcolo della derivata della funzione composta

Dobbiamo calcolare il valore che la derivata di (g circ g)(x) assume per x = -2. In virtù della regola di derivazione delle funzioni composte, possiamo scrivere la seguente relazione:

(g circ g)'(x) = g'(g(x))·g'(x) =

che, rimpiazzando x con -2, diventa:

= g'(g(-2))·g'(-2)

I valori di g(-2) e g'(-2) sono dati dalla tabella, infatti:

g(-2) = -1 e g'(-2) = -1

pertanto siamo in grado di ricavare il valore assunto da g'(g(-2))·g'(-2): basta operare la sostituzione e fare i calcoli.

g'(g(-2) (-1))· g'(-2) (-1) = g'(-1)·(-1) =

A questo punto è sufficiente ricercare il valore che la derivata di g assume in -1 e sostituirlo. Poiché g'(-1) = -2, l'ultimo prodotto diventa

= (-2)·(-1) = 2

In definitiva (g circ g)'(x) = 2

Abbiamo finito.
Ringraziano: CarFaby
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Os