Esercizio su derivate, operazioni tra funzioni e composizione

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Esercizio su derivate, operazioni tra funzioni e composizione #99330

avt
Sederico
Punto
Devo risolvere un esercizio sulla derivazione in presenza di operazione di funzioni e composizione di funzioni.

Sapendo che:

\\ f(-3)=0 \ \ , \ \ f(-2)=-3 \ \ , \ \ f(-1)=-1 \ \ , \ \ f(0)=1 \ \ , \ \ f(1)=-3 \\ \\ g(-3)=1 \ \ , \ \ g(-2)=-1 \ \ , \ \ g(-1)=0 \ \ , \ \ g(0)=-3 \ \ , \ \ g(1)=-2 \\ \\ f'(-3)=-2 \ \  ,\ \ f'(-2)=0 \ \ , \ \ f'(-1)=1 \ \ , \ \ f'(0)=-3 \ \ , \ \ f'(1)=1 \\ \\ g'(-3)=1 \ \ , \ \ g'(-2)=-1 \ \ , \ \ g'(-1)=-2 \ \ , \ \ g'(0)=0 \ \ , \ \ g'(1)=3

Calcolare le seguenti espressioni:

1)\ (f\circ g)(0)\\ \\ 2)\ \left(\frac{f}{g}\right)'(-3)\\ \\ 3)\ (f\circ g)'(1)\\ \\ 4)\ (g\circ g)'(-2)

Potreste spiegarmi il metodo per la risoluzione?

Grazie in anticipo
 
 

Esercizio su derivate, operazioni tra funzioni e composizione #99331

avt
Ifrit
Ambasciatore
Ciao Sederico,

per risolvere l'esercizio occorre conoscere:

- il concetto di valutazione di una funzione;

- il concetto di funzione composta;

- la regola per la derivata del quoziente;

- la regola di derivazione per le funzioni composte.

I concetti e le regole verranno comune richiamate durante lo svolgimento.

L'esercizio fornisce le seguenti valutazioni sia di f(x)\ \mbox{e} \ g(x) sia delle loro derivate f'(x)\ \mbox{e} \ g'(x):

\\ f(-3)=0 \ \ , \ \ f(-2)=-3 \ \ , \ \ f(-1)=-1 \ \ , \ \ f(0)=1 \ \ , \ \ f(1)=-3 \\ \\ g(-3)=1 \ \ , \ \ g(-2)=-1 \ \ , \ \ g(-1)=0 \ \ , \ \ g(0)=-3 \ \ , \ \ g(1)=-2 \\ \\ f'(-3)=-2 \ \  ,\ \ f'(-2)=0 \ \ , \ \ f'(-1)=1 \ \ , \ \ f'(0)=-3 \ \ , \ \ f'(1)=1 \\ \\ g'(-3)=1 \ \ , \ \ g'(-2)=-1 \ \ , \ \ g'(-1)=-2 \ \ , \ \ g'(0)=0 \ \ , \ \ g'(1)=3

1) valutazione della funzione composta

Iniziamo! Dobbiamo calcolare il valore (f\circ g)(0), ossia dobbiamo comporre la funzione f con il valore che la funzione g assume in x_0=0. Cerchiamo di essere più espliciti!

La scrittura (f\circ g)(0) è equivalente a f(g(0)). Per ricavare il valore occorre:

- valutare la funzione interna g(x) nel punto x_0=0, ossia considera il valore che g(x) assume in x_0=0. Osservando la tabella scopriamo che:

g(0)=-3

- sostituire il valore ottenuto da g(0) e darlo in pasto a f e ricercare il valore nella tabella dell'esercizio.

(f\circ g)(0)=f(\overbrace{g(0)}^{=-3})=f(-3)=0

Osserva che questa procedura ha valenza generale (è la definizione "operativa" di funzione composta).

2. Calcolo della derivata del quoziente

Per determinare il valore di \left(\frac{f}{g}\right)'(-3) bisogna avvalersi della seguente regola di derivazione:

la derivata del quoziente di due funzioni f(x)\ \mbox{e} \ g(x) è uguale alla derivata della funzione a numeratore per quella a denominatore meno la funzione a numeratore per la derivata del denominatore, il tutto fratto per il denominatore al quadrato. In simboli matematici:

\left(\frac{f}{g}\right)'(x)=\frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{[g(x)]^2}

Se al posto di x rimpiazziamo il valore -3, la precedente relazione diventa

\left(\frac{f}{g}\right)'(-3)=\frac{f'(-3)g(-3)-f(-3)g'(-3)}{[g(-3)]^2}=(\bullet)

Dalla tabella fornita dalla traccia, sappiamo che:

f(-3)=0 \ \ , \ \ g(-3)=1 \ \ , \ \ f'(-3)=-2 \ \, \ \ g'(-3)=1

Sostituiamo le valutazioni nell'espressione precedente così da ricavare

(\bullet)=\frac{-2\cdot 1-0\cdot 1}{[1]^2}=-2

Possiamo affermare quindi che la derivata del quoziente, valutata per x=-3 è -2:

\left(\frac{f}{g}\right)'(-3)=-2

3. Derivata della funzione composta

Il punto 3 del problema chiede di determinare il valore della derivata di (f\circ g)(x) nel punto x_0=1.

In questa circostanza interviene quello che prende il nome di teorema di derivazione delle funzioni composte, che sotto le opportune ipotesi, fornisce la formula di derivazione

(f\circ g)'(x)=f'(g(x))\cdot g'(x)

In altri termini, la derivata della funzione composta (f\circ g)(x) è uguale al prodotto tra la derivata di f avente per argomento la funzione interna g e la derivata prima di g.

Grazie a tale relazione, possiamo determinare il valore (f\circ g)'(1), infatti:

(f\circ g)'(1)=f'(g(1))\cdot g'(1)=(\bullet \bullet)

Chiaramente abbiamo bisogno dei valori di g(1)\ \mbox{e} \ g'(1) che, dando uno sguardo alla tabella, scopriamo essere:

g(1)=-2\ \ \ \mbox{e} \ \ \ g'(1)=3

per cui l'espressione (\bullet\bullet) diventa

(\bullet \bullet)=f'(-2)\cdot 3=

Per portare a termine il calcolo, abbiamo bisogno del valore della derivata di f nel punto -2. Grazie alla tabella, f'(-2)=0, per cui il precedente prodotto è nullo

=0\cdot 3=0

In definitiva (f\circ g)'(0)=0.

4. Calcolo della derivata della funzione composta

Dobbiamo calcolare il valore che la derivata di (g\circ g)(x) assume per x=-2. In virtù della regola di derivazione delle funzioni composte, possiamo scrivere la seguente relazione:

(g\circ g)'(x)=g'(g(x))\cdot g'(x)=

che, rimpiazzando x\ \mbox{con} \ -2, diventa:

=g'(g(-2))\cdot g'(-2)

I valori di g(-2)\ \mbox{e} \ g'(-2) sono dati dalla tabella, infatti:

g(-2)=-1 \ \ \ \mbox{e} \ \ \ g'(-2)=-1

pertanto siamo in grado di ricavare il valore assunto da g'(g(-2))\cdot g'(-2): basta operare la sostituzione e fare i calcoli.

g'(\overbrace{g(-2)}^{-1})\cdot\overbrace{ g'(-2)}^{-1}=g'(-1)\cdot (-1)=

A questo punto è sufficiente ricercare il valore che la derivata di g assume in -1 e sostituirlo. Poiché g'(-1)=-2, l'ultimo prodotto diventa

=(-2)\cdot (-1)=2

In definitiva (g\circ g)'(x)=2

Abbiamo finito.
Ringraziano: CarFaby
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Os