Esercizio sul criterio del confronto integrale per serie

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Esercizio sul criterio del confronto integrale per serie #99280

avt
Ambuz
Punto
Vorrei capire meglio come risolvere questa tipologia di esercizi sul criterio del confronto integrale per serie numeriche.

Tramite il confronto integrale, stimare per difetto e per eccesso la successione a_{n}=\sum_{k=n}^{\infty} \frac{1}{k^2} e quindi stabilirne il comportamento asintotico.

Ho diversi dubbi su come gestire questa tipologia di esercizi quindi vorrei capire come gestirli in maniera efficiente!
 
 

Esercizio sul criterio del confronto integrale per serie #99284

avt
Ifrit
Amministratore
Ciao ambuz,

questa tipologia di esercizi si può risolvere con il teorema di Mc Laurin (o criterio di convergenza integrale per le serie), il quale fornisce uno strumento per ricavare il comportamento di una serie a termini positivi e decrescenti.

Per essere precisi, bisognerebbe procedere sulla falsa riga della dimostrazione del teorema di Mc Laurin, attraverso la quale riusciremo ad analizzare il comportamento asintotico della successione.

Prima di svolgere l'esercizio, riteniamo sia opportuno esplicitare i passaggi salienti.

1. Dimostreremo che sussiste la doppia disuguaglianza

\int_{n+1}^{+\infty}\frac{1}{x^2}dx\le\sum_{m=n+1}^{+\infty}\frac{1}{m^2}\le\int_{n}^{+\infty}\frac{1}{x^2}dx

2. Calcoleremo gli integrali impropri

\int_{n+1}^{+\infty}\frac{1}{x^2}dx \ \ \ \mbox{e} \ \ \ \int_{n}^{+\infty}\frac{1}{x^2}dx

al variare del numero naturale n\in\mathbb{N}-\{0\}.

3. Usando il teorema del confronto per successioni, dimostreremo che \{a_n\} è una successione asintoticamente equivalente a \frac{1}{n} per n\to +\infty.


Iniziamo con la prima parte dell'esercizio: consideriamo la successione \{a_n\}_{n\in\mathbb{N}}, il cui termine generale è:

a_n=\sum_{k=n}^{+\infty}\frac{1}{k^2}

Indichiamo con f(x) la funzione che definisce il termine generale della serie:

f(x)=\frac{1}{x^2} \ \ \ \mbox{con} \ x\ge 1

e osserviamo che:

- è una funzione positiva per ogni x\ge 1 perché rapporto di quantità positive;

- è una funzione decrescente nell'intervallo [1,+\infty), infatti per ogni x\ \mbox{e} \ y\in [1,+\infty), se x<y, elevando al quadrato i due membri, la disuguaglianza non si inverte perché stiamo lavorando con numeri maggiori o uguali a 1

x<y \ \ \ \to \ \ \ x^2<y^2

]Inoltre, al passaggio dei reciproci, il verso della disuguaglianza si inverte

x^2<y^2 \ \ \ \to \ \ \ \frac{1}{y^2}<\frac{1}{x^2}

Ciò dimostra che se 1\le x<y allora f(y)<f(x), ossia f(x) è una funzione strettamente decrescente.

Teniamo a mente queste informazioni, ci serviranno in seguito!

Passo 1

Dimostriamo che per ogni n\in\mathbb{N}-\{0\} sussiste la doppia disuguaglianza

\int_{n+1}^{+\infty}\frac{1}{x^2}dx\le \sum_{m=n+1}^{+\infty}\frac{1}{m^2}\le\int_{n}^{+\infty}\frac{1}{x^2}dx

Dimostrazione

Fissiamo k\in\mathbb{N}-\{0\} e consideriamo l'intervallo [k, k+1]. Poiché f(x) è strettamente decrescente, possiamo affermare che

f(k+1)\le f(x)\le f(k) \ \ \ \mbox{per ogni} \ k\in\mathbb{N}-\{0\}

vale a dire:

\frac{1}{(k+1)^2}\le \frac{1}{x^2}\le \frac{1}{k^2}\ \ \ \mbox{per ogni} \ k\in\mathbb{N}-\{0\}

In accordo con il teorema del confronto per gli integrali, applicando l'integrale tra k\ \mbox{e} \ k+1 ai tre membri della disuguaglianza, ricaviamo:

\int_{k}^{k+1}\frac{1}{(k+1)^2}dx\le\int_{k}^{k+1}\frac{1}{x^2}dx\le\int_{k}^{k+1}\frac{1}{k^2}dx

Calcoliamo il primo e il terzo integrale osservando che le funzioni integrande non dipendono dalla variabile x, ecco perché possono essere trasportate fuori dal simbolo di integrazione:

\\ \int_{k}^{k+1}\frac{1}{(k+1)^2}dx=\frac{1}{(k+1)^2}\int_{k}^{k+1}dx=\frac{1}{(k+1)^2}(k+1-k)=\frac{1}{(k+1)^2} \\ \\ \\ \mbox{e} \\ \\ \\ \int_{k}^{k+1}\frac{1}{k^2}dx=\frac{1}{k^2}\int_{k}^{k+1}dx=\frac{1}{k^2}(k+1-k)=\frac{1}{k^2}

Noti i valori degli integrali, possiamo rimpiazzarli nella relazione

\int_{k}^{k+1}\frac{1}{(k+1)^2}dx\le\int_{k}^{k+1}\frac{1}{x^2}dx\le\int_{k}^{k+1}\frac{1}{k^2}dx

che diventa

\frac{1}{(k+1)^2}\le\int_{k}^{k+1}\frac{1}{x^2}dx\le\frac{1}{k^2}\ \ \ \mbox{per ogni} \ k\in\mathbb{N}-\{0\}

Attenzione passaggio delicato: fissiamo N\in\mathbb{N} con N>n e sommiamo i tre membri facendo variare k da n\ \mbox{a}\ N

\sum_{k=n}^{N}\frac{1}{(k+1)^2}\le\sum_{k=n}^{N}\int_{k}^{k+1}\frac{1}{x^2}dx\le \sum_{k=n}^{N}\frac{1}{k^2}

Per le proprietà degli integrali, la sommatoria centrale soddisfa la seguente uguaglianza

\sum_{k=n}^{N}\int_{k}^{k+1}\frac{1}{x^2}dx=\int_{n}^{N+1}\frac{1}{x^2}dx

che giustifica la catena:

\sum_{k=n}^{N}\frac{1}{(k+1)^2}\le\int_{n}^{N+1}\frac{1}{x^2}dx\le \sum_{k=n}^{N}\frac{1}{k^2}

Questa catena di disuguaglianze vale per ogni N>n e, passando al limite N, consente di scrivere quanto segue:

\sum_{k=n}^{+\infty}\frac{1}{(k+1)^{2}}\le\int_{n}^{+\infty}\frac{1}{x^2}dx\le\sum_{k=n}^{+\infty}\frac{1}{k^2}

Naturalmente la doppia disuguaglianza può essere spezzata in due:

\int_{n}^{+\infty}\frac{1}{x^2}dx\le\sum_{k=n}^{+\infty}\frac{1}{k^2}\ \ \ \ \ \mbox{e} \ \ \ \ \ \sum_{k=n}^{+\infty}\frac{1}{(k+1)^2}\le\int_{n}^{+\infty}\frac{1}{x^2}dx

Analizziamo un momento la seconda

\sum_{k=n}^{+\infty}\frac{1}{(k+1)^2}\le\int_{n}^{+\infty}\frac{1}{x^2}dx

e operiamo una traslazione di indici. Poniamo

k+1=m \ \ \ \mbox{da cui} \ \ \ k=m-1

e osserviamo che k=n diventa

m-1=n \ \ \ \to \ \ \  m=n+1

Grazie alla sostituzione, la relazione

\sum_{k=n}^{+\infty}\frac{1}{(k+1)^2}\le\int_{n}^{+\infty}\frac{1}{x^2}dx

si traduce nella seguente:

\sum_{m=n+1}^{+\infty}\frac{1}{m^2}\le\int_{n}^{+\infty}\frac{1}{x^2}dx \ \ \ (\bullet)

Teniamo da parte questa disuguaglianza perché ci tornerà utile a breve.

Proprio perché la relazione

\int_{n}^{+\infty}\frac{1}{x^2}dx\le\sum_{k=n}^{+\infty}\frac{1}{k^2}

vale per ogni n, possiamo rimpiazzare n con n+1 e ricavare:

\int_{n+1}^{+\infty}\frac{1}{x^2}dx\le\sum_{k=n+1}^{+\infty}\frac{1}{k^2} \ \ \ (\bullet\bullet)

Ricordiamo che l'indice k della serie è una variabile muta e, in quanto tale, può essere sostituita con la lettera m, cosicché le disuguaglianze (\bullet)\ \mbox{e} \ (\bullet\bullet) generino la seguente catena di disuguaglianze:

\int_{n+1}^{+\infty}\frac{1}{x^2}dx\le\sum_{m=n+1}^{+\infty}\frac{1}{m^2}\le\int_{n}^{+\infty}\frac{1}{x^2}dx

che era quello che volevamo dimostrare.

Calcolo degli integrali impropri

Usiamo la definizione di integrale improprio di prima specie per calcolare gli integrali:

\int_{n+1}^{+\infty}\frac{1}{x^2}dx \ \ \ \mbox{e} \ \ \ \int_{n}^{+\infty}\frac{1}{x^2}dx

Non facciamoci spaventare, non sono poi così difficili: basta rifarsi agli integrali fondamentali.

\\ \int_{n+1}^{+\infty}\frac{1}{x^2}dx=\lim_{M\to+\infty}\int_{n+1}^{M}\frac{1}{x^2}dx=\\ \\ \\ =\lim_{M\to+\infty}\left[-\frac{1}{x}\right]_{n+1}^{M}=\lim_{M\to+\infty}\left[-\frac{1}{M}+\frac{1}{n+1}\right]=\frac{1}{n+1}

Usando la stessa strategia, scopriamo che:

\int_{n}^{+\infty}\frac{1}{x^2}dx=\frac{1}{n}

pertanto la doppia disuguaglianza

\overbrace{\int_{n+1}^{+\infty}\frac{1}{x^2}dx}^{=\frac{1}{n+1}}\le\sum_{m=n+1}^{+\infty}\frac{1}{m^2}\le\overbrace{\int_{n}^{+\infty}\frac{1}{x^2}dx}^{=\frac{1}{n}}

diventa

\frac{1}{n+1}\le\sum_{m=n+1}^{+\infty}\frac{1}{m^2}\le\frac{1}{n}

Osservazione: notiamo che \frac{1}{n+1} rappresenta una sottostima della serie \sum_{m=n+1}^{+\infty}\frac{1}{m^2}, mentre \frac{1}{n} è invece una sovrastima.

Comportamento asintotico della somma

Grazie alla doppia disuguaglianza

\frac{1}{n+1}\le\sum_{m=n+1}^{+\infty}\frac{1}{m^2}\le\frac{1}{n}

siamo in grado di determinare una stima asintotica della serie per n\to +\infty.

Intuitivamente, possiamo osservare per n\to +\infty

\frac{1}{n+1}\sim\frac{1}{n} \ \ \ \mbox{e} \ \ \ \frac{1}{n}\sim\frac{1}{n}

dunque è plausibile affermare che la successione

a_{n}=\sum_{m=n+1}^{+\infty}\frac{1}{m^2}

sia asintoticamente equivalente a \frac{1}{n}, ciò va però dimostrato con tutti i crismi del caso.

Per portare a termine l'esercizio, bisogna dimostrare che:

\lim_{n\to+\infty}\frac{\sum_{m=n+1}^{+\infty}\frac{1}{m^2}}{\frac{1}{n}}=1

Ecco come! Dividiamo i tre membri della disuguaglianza

\frac{1}{n+1}\le\sum_{m=n+1}^{+\infty}\frac{1}{m^2}\le\frac{1}{n}

per \frac{1}{n} (poiché è una quantità positiva, non inverte il verso delle relazioni)

\frac{\frac{1}{n+1}}{\frac{1}{n}}\le\frac{\sum_{m=n+1}^{+\infty}\frac{1}{m^2}}{\frac{1}{n}}\le\frac{\frac{1}{n}}{\frac{1}{n}}

Scriviamo in forma normale le frazioni di frazioni

\frac{n}{n+1}\le \frac{\sum_{m=n+1}^{+\infty}\frac{1}{m^2}}{\frac{1}{n}}\le 1

Passiamo al limite n

\overbrace{\lim_{n\to+\infty}\frac{n}{n+1}}^{=1}\le \lim_{n\to+\infty}\frac{\sum_{m=n+1}^{+\infty}\frac{1}{m^2}}{\frac{1}{n}}\le \lim_{n\to +\infty}1

e concludiamo per il teorema del confronto che il limite centrale è pari a 1:

\lim_{n\to+\infty}\frac{\sum_{m=n+1}^{+\infty}\frac{1}{m^2}}{\frac{1}{n}}=1

per cui è soddisfatta la definizione di successioni asintoticamente equivalenti, ergo:

\sum_{m=n+1}^{+\infty}\frac{1}{m^2}\sim \frac{1}{n}\ \ \ \mbox{per} \ n\to +\infty

Abbiamo finito.
Ringraziano: Omega, CarFaby, Ambuz
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Os