Richiesta di visionare i passaggi relativi ad un calcolo di derivata parziale

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Richiesta di visionare i passaggi relativi ad un calcolo di derivata parziale #99218

avt
Westwood
Punto
Vorrei che fossero esplicitati tutti i passaggi relativi al calcolo delle derivate parziali di una funzione che mi servono per ricavare il piano tangente al grafico di una funzione esponenziale a base variabile, in un punto fissato.

Scrivere l’equazione del piano tangente alla superficie di equazione:

f(x,y)=\left(1+\frac{x^2}{y}\right)^{-y} \ \ \ \mbox{nel punto} \ \ \ Q_0(-1,1,f(-1,1)).

Vorrei vedere i passaggi che conducono alle derivate parziali in x\mbox{e in}\ y e poi il risultato finale: per favore con tutti i passaggi di calcolo delle derivate.

Inoltre mi dite per favore ad ogni passaggio come faccio a considerare l'altra variabile come una costante ma allo stesso tempo considerare tutto una funzione composta?

Grazie mille.
 
 

Re: Richiesta di visionare i passaggi relativi ad un calcolo di derivata parziale #99241

avt
Ifrit
Amministratore
L'esercizio ci chiede di determinare l'equazione del piano tangente al grafico della funzione di due variabili

f(x,y)=\left(1+\frac{x^2}{y}\right)^{-y}

nel punto Q_{0}\left(-1, 1, f(-1,1)\right).

Un po' di teoria

Prima di occuparci dell'esercizio, è opportuno effettuare un breve preambolo teorico.

Sia

f:D\subseteq\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}

una funzione differenziabile in un punto (x_0, y_0)\in D, l'equazione del piano tangente al grafico di f nel punto (x_0,y_0, f(x_0,y_0)) si ricava mediante la formula:

z=f(x_0,y_0)+\nabla f(x_0,y_0)\cdot (x-x_0, y-y_0)

dove f(x_0,y_0) è il valore che la funzione assume in (x_0,y_0) \ \mbox{e} \ \nabla f(x_0,y_0) è il gradiente associato a f(x,y) valutato in (x_0,y_0).

Notiamo che \nabla f(x_0,y_0)\cdot (x-x_0, y-y_0) indica il prodotto scalare tra il vettore \nabla f(x_0,y_0) e il vettore (x-x_0, y-y_0).

Rammentiamo che \nabla f(x_0,y_0) è per definizione il vettore che ha per componenti le derivate parziali del primo ordine di f(x,y), valutate in (x_0, y_0), ossia:

\nabla f(x_0,y_0)=\left(\frac{\partial f}{\partial x}(x_0,y_0), \frac{\partial f}{\partial y}(x_0,y_0)\right)

pertanto se esplicitiamo il prodotto scalare, l'equazione del piano tangente diventa:

z=f(x_0,y_0)+\frac{\partial f}{\partial x}(x_0,y_0)\cdot(x-x_0)+\frac{\partial f}{\partial y}(x_0,y_0)\cdot(y-y_0)

Operativamente

Dal punto di vista applicativo, per risolvere l'esercizio bisogna:

- valutare la funzione nel punto (x_0, y_0), ossia calcolare esplicitamente f(x_0,y_0);

- calcolare le derivate parziali prime usando le opportune tecniche di derivazione;

- usare la formula che definisce l'equazione del piano tangente.

Consideriamo la funzione

f(x,y)=\left(1+\frac{x^2}{y}\right)^{-y}

e calcoliamo immediatamente il valore f(-1,1): esso si ottiene rimpiazzando al posto delle variabili x\ \mbox{e} \ y rispettivamente i valori -1\ \mbox{e} \ 1:

f(-1,1)=\left(1+\frac{(-1)^2}{1}\right)^{-1}=2^{-1}=\frac{1}{2}

Teniamoci da parte questo valore e continuiamo la nostra discussione.

Purtroppo l'espressione analitica di f(x,y) non è esattamente semplice da maneggiare, soprattutto per quanto concerne il calcolo delle derivate: siamo infatti in presenza di una funzione esponenziale a base variabile.

In generale se un'espressione matematica si presenta nella forma a^b, interviene la relazione fondamentale che lega la funzione logaritmo e la funzione esponenziale:

a^{b}=e^{b\ln(a)} \ \ \ \mbox{con} \ a>0

mediante la quale possiamo esprimere f(x,y) in una forma più comoda:

f(x,y)=\left(1+\frac{x^2}{y}\right)^{-y}=e^{-y\ln\left(1+\tfrac{x^2}{y}\right)}

Sia chiaro che questa espressione ha senso nel momento in cui l'argomento del logaritmo risulta maggiore di zero, vale a dire se:

1+\frac{x^2}{y}>0


Calcolo delle derivate parziali del primo ordine

Occupiamoci del calcolo delle derivate parziali del primo ordine, iniziando dalla derivata parziale rispetto a x. Sottolineiamo che in questa circostanza, la variabile x "interpreta" y come se fosse una costante!

\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=\frac{\partial}{\partial x}\left[e^{-y\ln\left(1+\tfrac{x^2}{y}\right)}\right]=

È a conti fatti la derivata di una funzione composta, da usare in combinazione con la regola di derivazione per le funzioni esponenziali: in altri termini, è sufficiente riportare l'intera funzione e moltiplicarla per la derivata rispetto a x dell'esponente

=e^{-y\ln\left(1+\tfrac{x^2}{y}\right)}\cdot\frac{\partial }{\partial x}\left[-y\ln\left(1+\frac{x^2}{y}\right)\right]=

Proprio perché stiamo derivando rispetto a x, il termine -y è interpretato come una costante moltiplicativa, dunque può essere trasportato fuori dal simbolo di derivazione

=e^{-y\ln\left(1+\tfrac{x^2}{y}\right)}\cdot(-y)\cdot \frac{\partial}{\partial x}\left[\ln\left(1+\frac{x^2}{y}\right)\right]=

Esplicitiamo la derivata del logaritmo: essa è uguale al reciproco dell'argomento moltiplicato per la sua derivata.

=-ye^{-y\ln\left(1+\tfrac{x^2}{y}\right)}\cdot\frac{1}{1+\frac{x^2}{y}}\cdot\frac{\partial}{\partial x}\left[1+\frac{x^2}{y}\right]=

In virtù della regola secondo cui la derivata di una somma coincide con la somma delle derivate dei singoli addendi, ricaviamo:

=-ye^{-y\ln\left(1+\tfrac{x^2}{y}\right)}\cdot\frac{1}{1+\frac{x^2}{y}}\cdot\left(\frac{\partial}{\partial x}[1]+\frac{\partial}{\partial x}\left[\frac{x^2}{y}\right]\right)=

Notiamo che la derivata di 1 è zero, mentre la derivata del termine \frac{x^2}{y} si ottiene trasportando fuori dal simbolo di derivata la costante \frac{1}{y} e derivando la potenza x^2:

\\ =-ye^{-y\ln\left(1+\tfrac{x^2}{y}\right)}\cdot\frac{1}{1+\frac{x^2}{y}}\cdot\left(\frac{1}{y}\cdot\frac{\partial}{\partial x}\left[x^2\right]\right)= \\ \\ \\ =-ye^{-y\ln\left(1+\tfrac{x^2}{y}\right)}\cdot\frac{1}{1+\frac{x^2}{y}}\cdot\left(\frac{1}{y}\cdot 2x\right)=

Il calcolo della derivata è praticamente finito: nei prossimi passaggi, effettueremo solo le semplificazioni.

=-y e^{-y\ln\left(1+\tfrac{x^2}{y}\right)}\cdot\frac{1}{\frac{y+x^2}{y}}\cdot\frac{2x}{y}=

Esprimiamo in forma normale la frazione di frazioni e semplifichiamo in seguito y

\\ =-y e^{-y\ln\left(1+\tfrac{x^2}{y}\right)}\cdot\frac{y}{y+x^2}\cdot\frac{2x}{y}= \\ \\ \\ =-y e^{-y\ln\left(1+\tfrac{x^2}{y}\right)}\cdot\frac{2x}{y+x^2}.

In definitiva, la derivata rispetto a x di f(x,y) è:

\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=-\frac{2 x y}{y+x^2}e^{-y\ln\left(1+\tfrac{x^2}{y}\right) \right )}

Valutiamo la derivata nel punto (x_0,y_0)=(-1,1) rimpiazzando al posto di x\ \mbox{e} \ y rispettivamente -1\ \mbox{e} \ 1:

\frac{\partial f}{\partial x}(-1,1)=-\frac{2\cdot (-1)\cdot 1}{1+1^2}e^{-\ln\left(1+\frac{(-1)^2}{2}\right)}=\frac{1}{2}

Teniamolo da parte, ci servirà nel momento in cui scriveremo l'equazione del piano tangente e occupiamoci della derivata parziale rispetto a y.

In questa circostanza la variabile y interpreterà x alla stregua di una costante.

\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=\frac{\partial}{\partial y}\left[e^{-y\ln\left(1+\frac{x^2}{y}\right)}\right]=

La regola di derivazione dell'esponenziale ci conduce alla seguente espressione:

=e^{-y\ln\left(1+\tfrac{x^2}{y}\right)}\cdot\frac{\partial}{\partial y}\left[-y\ln\left(1+\frac{x^2}{y}\right)\right]=

Nota! Stiamo derivando il prodotto di due funzioni che dipendono entrambi da y, di conseguenza siamo costretti a usare la regola di derivazione del prodotto!

=e^{-y\ln\left(1+\tfrac{x^2}{y}\right)}\left(\frac{\partial}{\partial y}[-y]\cdot\ln\left(1+\frac{x^2}{y}\right)+(-y)\cdot\frac{\partial}{\partial y}\left[\ln\left(1+\frac{x^2}{y}\right)\right]\right)=

Deriviamo -y e il termine logaritmico rispetto a y.

=e^{-y\ln\left(1+\tfrac{x^2}{y}\right)}\left(-1\cdot\ln\left(1+\frac{x^2}{y}\right)+(-y)\cdot\frac{1}{1+\frac{x^2}{y}}\cdot\frac{\partial}{\partial y}\left[1+\frac{x^2}{y}\right]\right)=

e infine occupiamoci della derivata della somma

\\ =e^{-y\ln\left(1+\tfrac{x^2}{y}\right)}\left(-\ln\left(1+\frac{x^2}{y}\right)+(-y)\cdot\frac{1}{1+\frac{x^2}{y}}\cdot\left(\frac{\partial}{\partial y}\left[1\right]+\frac{\partial}{\partial y}\left[\frac{x^2}{y}\right]\right)\right)= \\ \\ \\ =e^{-y\ln\left(1+\frac{x^2}{y}\right)}\left(-\ln\left(1+\frac{x^2}{y}\right)+(-y)\cdot\frac{1}{1+\frac{x^2}{y}}\cdot\left(\frac{\partial}{\partial y}\left[\frac{x^2}{y}\right]\right)\right)=

Nel calcolo della derivata di \frac{x^2}{y} rispetto a y, trattiamo x^2 come una costante moltiplicativa, portandola fuori dal simbolo di derivata parziale

=e^{-y\ln\left(1+\frac{x^2}{y}\right)}\left(-\ln\left(1+\frac{x^2}{y}\right)+(-y)\cdot\frac{1}{1+\frac{x^2}{y}}\cdot x^2\left(\frac{\partial}{\partial y}\left[\frac{1}{y}\right]\right)\right)=

e deriviamo \frac{1}{y}, rivedendolo come y^{-1} e applicando la regola di derivazione delle potenze.

=e^{-y\ln\left(1+\frac{x^2}{y}\right)}\left(-\ln\left(1+\frac{x^2}{y}\right)+(-y)\cdot\frac{1}{1+\frac{x^2}{y}}\cdot x^2 \left(-\frac{1}{y^2}\right)\right)=

Il calcolo della derivata è finito: adesso bisogna semplificare l'espressione.

=e^{-y\ln\left(1+\frac{x^2}{y}\right)}\left(-\ln\left(1+\frac{x^2}{y}\right)+\frac{x^2}{y+x^2}\right)

In definitiva l'espressione della derivata rispetto a y associata alla funzione f(x,y) è:

\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=e^{-y\ln\left(1+\frac{x^2}{y}\right)}\left(-\ln\left(1+\frac{x^2}{y}\right)+\frac{x^2}{y+x^2}\right)

Valutiamo la derivata parziale nel punto (x_0,y_0)=(-1,1): ci servirà per costruire l'equazione del piano tangente.

\\ \frac{\partial f}{\partial y}(-1,1)=e^{-\ln\left(1+\frac{(-1)^2}{1}\right)}\left(-\ln\left(1+\frac{(-1)^2}{1}\right)+\frac{(-1)^2}{1+(-1)^2}\right)=\\ \\ \\ =\frac{1}{2}\left(-\ln(2)+\frac{1}{2}\right)

Equazione del piano tangente

Finalmente abbiamo tutti gli ingredienti per ricavare l'equazione del piano tangente, infatti sappiamo che:

f(-1,1)=\frac{1}{2} \ \ \ , \ \ \ \frac{\partial f}{\partial x}(-1,1)=\frac{1}{2} \ \ \ , \ \ \ \frac{\partial f}{\partial y}(-1,1)=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2}-\ln(2)\right)

e rimpiazzandoli nella relazione

z=f(x_0,y_0)+\frac{\partial f}{\partial x}(x_0,y_0)(x-x_0)+\frac{\partial f}{\partial y}(x_0,y_0) (y-y_0)

otteniamo l'equazione del piano richiesta:

\\ z=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}(x-(-1))+\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2}-\ln(2)\right)(y-1)\\ \\ \mbox{e quindi} \\ \\ z=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}(x+1)+\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2}-\ln(2)\right)(y-1)

Abbiamo finito.
Ringraziano: CarFaby, Westwood
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Os