Serie di funzioni con termini esponenziali

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Serie di funzioni con termini esponenziali #99162

avt
Gys99
Punto
Mi servirebbe aiuto con un esercizio sullo studio della convergenza di una serie di funzioni con termini esponenziali. Grazie in anticipo!

\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{\sqrt{n}\cdot\sin(\frac{1}{n^2})}\cdot\left[\frac{e^x-2}{2e^x+1}\right]^n
 
 

Serie di funzioni con termini esponenziali #99173

avt
Ifrit
Ambasciatore
Ciao Gys99,

il nostro compito consiste nel determinare l'insieme di convergenza della serie di funzioni

\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{\sqrt{n}\sin\left(\frac{1}{n^2}\right)}\left[\frac{e^{x}-2}{2e^{x}+1}\right]^{n}

La maniera più furba per risolvere l'esercizio consiste nell'operare la sostituzione

t=\frac{e^{x}-2}{2e^{x}+1}

cosicché la serie data diventi

\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{\sqrt{n}\sin\left(\frac{1}{n^2}\right)}t^{n}

Sottolineiamo che la sostituzione ci ha permesso di ricondurci a una serie di potenze, ergo possiamo avvalerci della teoria di questa particolare tipologia di serie.

Indichiamo con a_{n} il coefficiente di t^{n} del termine generale:

a_{n}=\frac{1}{\sqrt{n}\sin\left(\frac{1}{n^2}\right)}

e osserviamo che per ogni numero naturale n\ne 0,\ a_{n} è una successione a termini positivi, infatti:

- il termine irrazionale \sqrt{n} è positivo per ogni n\ge 1;

- il termine con il seno, vale a dire \sin\left(\frac{1}{n^2}\right), è certamente positivo perché per n>0 l'argomento \frac{1}{n^2} appartiene all'intervallo (0,1], nel quale la funzione seno è positiva.

Per determinare l'insieme di convergenza della serie in t, abbiamo bisogno del raggio di convergenza R che possiamo calcolare con la seguente relazione:

\frac{1}{R}=\lim_{n\to +\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|

dove:

\\ a_{n}=\frac{1}{\sqrt{n}\sin\left(\frac{1}{n^2}\right)} \\ \\ \mbox{e} \\ \\ a_{n+1}=\frac{1}{\sqrt{n+1}\sin\left(\frac{1}{(n+1)^2}\right)}

Dobbiamo quindi determinare il limite di successione

\lim_{n\to+\infty}\left|\dfrac{\dfrac{1}{\sqrt{n+1}\sin\left(\frac{1}{(n+1)^2}\right)}}{\dfrac{1}{\sqrt{n}\sin\left(\frac{1}{n^2}\right)}}\right|=

che, una volta espressa la frazione di frazioni in forma normale, diventa

=\lim_{n\to+\infty}\left|\frac{\sqrt{n}\sin\left(\frac{1}{n^2}\right)}{\sqrt{n+1}\sin\left(\frac{1}{(n+1)^2}\right)}\right|=

Notiamo che le espressioni interne al valore assoluto sono positive, pertanto il modulo può essere bellamente eliminato.

=\lim_{n\to+\infty}\frac{\sqrt{n}\sin\left(\frac{1}{n^2}\right)}{\sqrt{n+1}\sin\left(\frac{1}{(n+1)^2}\right)}

Per risolvere il limite, utilizziamo la stima asintotica associata al seno:

\sin(b_{n})\sim b_{n}\ \ \ \mbox{se} \ b_{n}\to 0

In altri termini, il seno si comporta come il suo argomento se questi è infinitesimo per n\to +\infty.

Nel caso considerato, poiché

\lim_{n\to +\infty}\frac{1}{n^2}=0 \ \ \ \mbox{e} \ \ \ \lim_{n\to +\infty}\frac{1}{(n+1)^2}=0

allora possiamo prendere in considerazione le seguenti relazioni asintotiche:

\\ \sin\left(\frac{1}{n^2}\right)\sim\frac{1}{n^2}\ \ \ \mbox{per} \ n\to +\infty \\ \\ \mbox{e} \\ \\ \sin\left(\frac{1}{(n+1)^2}\right)\sim \frac{1}{(n+1)^2}\ \ \ \mbox{per} \ n\to +\infty

In base al principio di sostituzione degli infinitesimi equivalente, siamo autorizzati a rimpiazzare i seni con le relative successioni asintotiche e il limite

\lim_{n\to+\infty}\frac{\sqrt{n}\sin\left(\frac{1}{n^2}\right)}{\sqrt{n+1}\sin\left(\frac{1}{(n+1)^2}\right)}=

diventa

=\lim_{n\to +\infty}\frac{\sqrt{n}\cdot\frac{1}{n^2}}{\sqrt{n+1}\cdot\frac{1}{(n+1)^2}}=\lim_{n\to+\infty}\frac{\sqrt{n}}{\sqrt{n+1}}\cdot\frac{(n+1)^2}{n^2}=

A questo punto, sfruttiamo le proprietà delle potenze e le proprietà dei radicali che consentono di esprimere il limite nella seguente forma

\\ =\lim_{n\to+\infty}\sqrt{\frac{n}{n+1}}\cdot\left(\frac{n+1}{n}\right)^2=\\ \\ \\ =\overbrace{\lim_{n\to+\infty}\sqrt{\frac{n}{n+1}}}^{=1}\cdot\overbrace{\lim_{n\to+\infty}\left(\frac{n+1}{n}\right)^2}^{=1}=1\cdot 1=1

Possiamo affermare, pertanto, che il reciproco del raggio di convergenza è pari a 1, ossia:

\frac{1}{R}=1 \ \ \ \to \ \ \ R=1

In accordo con la teoria, per tutti i valori di t tale che |t|<R, la serie di potenze

\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{\sqrt{n}\sin\left(\frac{1}{n^2}\right)}t^n

converge. Poiché R=1, la relazione |t|<R diventa

|t|<1 \ \ \ \to \ \ \ -1<t<1

Non abbiamo ancora finito: dobbiamo analizzare cosa succede alla serie di potenze per t=-1 \ \ \ \mbox{e} \ \ \ t=1. In entrambi i casi, le serie non convergono perché non rispettano la condizione necessaria di convergenza.

Cerchiamo di essere più espliciti: per t=-1 la serie

\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{\sqrt{n}\sin\left(\frac{1}{n^2}\right)}t^n

diventa

\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{\sqrt{n}\sin\left(\frac{1}{n^2}\right)}(-1)^n=\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{(-1)^n}{\sqrt{n}\sin\left(\frac{1}{n^2}\right)}

Verifichiamo se il termine generale della serie tende a zero, impostando il limite:

\lim_{n\to +\infty}\frac{(-1)^{n}}{\sqrt{n}\sin\left(\frac{1}{n^2}\right)}

Se esso non è zero, o non esiste, la serie non converge! Purtroppo la presenza di (-1)^{n} complica le cose e siamo costretti ad analizzare i limiti delle sottosuccessioni di posto pari (per n=2k) e dispari (per n=2k+1): in entrambi i casi i limiti devono essere nulli, se ciò non dovesse succedere allora la serie non converge!

Se n è pari, ossia se si presenta nella forma n=2k, il limite diventa

\\ \lim_{k\to +\infty}\frac{(-1)^{2k}}{\sqrt{2k}\sin\left(\frac{1}{(2k)^2}\right)}=\lim_{k\to +\infty}\frac{1}{\sqrt{2k}\sin\left(\frac{1}{4k^2}\right)}=

Risolviamolo sostituendo il seno con il suo argomento (lo possiamo fare giacché l'argomento tende a 0 per k\to +\infty)

=\lim_{k\to +\infty}\frac{1}{\sqrt{2k}\cdot\frac{1}{4k^2}}=\lim_{k\to+\infty}\frac{4k^2}{\sqrt{2k}}=+\infty

Il limite è +\infty perché 4k^2 è un infinito di ordine superiore rispetto a \sqrt{2k}.

Proprio perché il limite non è zero, potremmo già concludere che viene meno la condizione necessaria per la convergenza, pertanto la serie

\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{\sqrt{n}\sin\left(\frac{1}{n^2}\right)}t^n

NON converge per t=-1.

Per t=1, la serie diventa

\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{\sqrt{n}\sin\left(\frac{1}{n^2}\right)}\cdot 1^n=\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{\sqrt{n}\sin\left(\frac{1}{n^2}\right)}

Come per l'altro caso, controlliamo che il termine generale della serie sia infinitesimo: se non lo è la serie non converge.

Impostiamo il limite

\lim_{n\to+\infty}\frac{1}{\sqrt{n}\sin\left(\frac{1}{n^2}\right)}=

e come per il caso precedente, sfruttiamo la relazione asintotica del seno

=\lim_{n\to+\infty}\frac{1}{\sqrt{n}\cdot\frac{1}{n^2}}=\lim_{n\to+\infty}\frac{n^2}{\sqrt{n}}=+\infty

Anche in questa circostanza, il limite non è zero, di conseguenza la serie di potenze non converge per t=1.

Tiriamo le somme: la serie di potenze

\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{\sqrt{n}\sin\left(\frac{1}{n^2}\right)}t^{n}

converge se e solo se -1<t<1.

Non abbiamo ancora finito, purtroppo: dobbiamo ripristinare la variabile x tenendo conto della sostituzione

t=\frac{e^{x}-2}{2e^{x}+1}

mediante la quale la doppia disequazione -1<t<1 si traduce nella seguente

-1<\frac{e^{x}-2}{2e^{x}+1}<1

Per determinare le soluzioni, bisogna considerare il sistema associato, vale a dire:

\begin{cases}\dfrac{e^{x}-2}{2e^{x}+1}>-1 \\ \\ \dfrac{e^{x}-2}{2e^{x}+1}<1\end{cases}

Risolviamo separatamente le due disequazioni fratte e una volta determinati gli insiemi soluzione di ciascuna, li intersechiamo.

 \frac{e^{x}-2}{2e^{x}+1}>-1 \ \ \ \to \ \ \ \frac{e^{x}-2}{2e^{x}+1}+1>0

Esprimiamo in forma normale il primo membro:

\\ \frac{e^{x}-2+2e^{x}+1}{2e^{x}+1}>0\\ \\ \\ \frac{3e^{x}-1}{2e^{x}+1}>0

e analizziamo separatamente i segni del numeratore e del denominatore:

\\ N>0  \ : \ 3e^{x}-1>0 \ \ \ \to \ \ e^{x}>\frac{1}{3}\ \ \ \to \ \ \ x>\ln\left(\frac{1}{3}\right) \\ \\ \\ D>0 \ : \ 2e^{x}+1>0 \ \ \ \to \ \ \ \forall x\in\mathbb{R}

Analizzando la tabella dei segni, scopriamo che la prima disequazione del sistema è soddisfatta per x>\ln\left(\frac{1}{3}\right)

Occupiamoci della seconda disequazione

\frac{e^{x}-2}{2e^{x}+1}<1

che espressa in forma normale diventa

\\ \frac{e^{x}-2}{2e^{x}+1}-1<0 \ \ \ \to \ \ \frac{-3-e^{x}}{2e^{x}+1}<0

Studiamo il segno del numeratore e del denominatore:

\\ N>0 \ : \ -3-e^{x}>0 \ \ \ \to \ \ \ e^{x}<-3 \ \ \ \mbox{Mai} \\ \\ D>0 \ :\ 2e^{x}+1>0 \ \ \ \to \ \ \ \mbox{Sempre}

Dal grafico dei segni, possiamo concludere che la seconda disequazione del sistema è soddisfatta per ogni x\in\mathbb{R}.

Intersecando le soluzioni delle disequazioni, possiamo concludere che il sistema è soddisfatto per:

x>\ln\left(\frac{1}{3}\right)

condizione che definisce l'insieme di convergenza della serie di funzioni assegnata.

Conclusioni

La serie di funzioni

\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{\sqrt{n}\sin\left(\frac{1}{n^2}\right)}\left[\frac{e^{x}-2}{2e^{x}+1}\right]^{n}

converge se e solo se x>\ln\left(\frac{1}{3}\right).
Ringraziano: Omega, Pi Greco
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Os