Esercizio sul calcolo del lavoro di un campo vettoriale

Prima di postare leggi le regole del Forum. Puoi anche leggere le ultime discussioni.
Questa sezione è un contenitore temporaneo per i topic speciali a pagamento (One-Shot)

Se hai acquistato uno o più Topic speciali, puoi pubblicarli qui cliccando su "Apri un Topic".

Il registro completo dei Topic risolti e in corso è disponibile sul proprio profilo.

Esercizio sul calcolo del lavoro di un campo vettoriale #99108

avt
gandoluca
Punto
Avrei bisogno di una mano per risolvere un esercizio in cui mi viene chiesto di calcolare il lavoro compiuto da un campo vettoriale su una curva.

Sia dato il campo vettoriale

\bar{F}(x,y)=(xy-1,2y+3)

Calcolare il lavoro compiuto da \bar{F} per spostare una particella lungo il seguente percorso:

- dal punto A=(1,0) al punto B=(0,1) lungo l'arco di parabola y=-x^2+1;

- dal punto B=(0,1) al punto A=(1,0) secondo il segmento di retta che unisce i due punti nell'ordine indicato.
 
 

Esercizio sul calcolo del lavoro di un campo vettoriale #99125

avt
Ifrit
Amministratore
Ciao gandoluca,

l'esercizio ci chiede di calcolare il lavoro del campo vettoriale

\bar{F}(x,y)=(xy-1, 2y+3)

su un percorso formato dall'unione di due curve:

- il tratto di parabola di equazione

y=-x^2+1

che congiunge i punti A=(1,0)\ \mbox{e} \ B=(0,1);

- il segmento di retta che unisce i punti da B=(0,1) al punto A=(1,0).

Prima di svolgere i calcoli, cerchiamo di riassumere la teoria che consente di risolvere il problema.

Per calcolare il lavoro L di un campo vettoriale \bar{F} lungo una curva \gamma abbiamo bisogno:

- del campo vettoriale \bar{F};

- della parametrizzazione della curva \gamma, orientata correttamente (l'orientazione è data dall'esercizio):

\gamma(t)=(x(t),y(t)) \ \ \ \mbox{con} \ t\in [a,b]

Grazie a queste informazioni, possiamo calcolare il lavoro compiuto dal campo per spostare una particella dal punto A=\gamma(a) al punto B=\gamma(b) con l'integrale di linea di seconda specie:

L_{\gamma, A\to B}=\int_{\gamma}\bar{F}d\gamma:=\int_{a}^{b}\bar{F}(x(t),y(t))\cdot (x'(t),y'(t))dt

dove:

- il fattore \bar{F}(x(t),y(t)) è il campo vettoriale composto con le componenti della parametrizzazione. In altri termini è la funzione vettoriale che si ottiene sostituendo a x\ \mbox{e} \ y con x(t) \ \mbox{e} \ y(t);

- Il vettore (x'(t),y'(t)) formato dalle derivate delle componenti di \gamma(t) rispetto alla variabile t. In altri termini è la derivata del vettore \gamma(t));

- Il simbolo matematico \cdot indica il prodotto scalare tra due vettori.

Ricordiamo inoltre due proprietà di cui gode il lavoro:

1. Cambiando l'orientamento della curva, il lavoro cambia di segno:

L_{\gamma, A\to B}=\int_{\gamma}\bar{F}d\gamma=-\int_{-\gamma}\bar{F}d\gamma=-L_{-\gamma, B\to A}

2. Se il percorso è una curva che si esprime come l'unione di due curve regolari, ossia \gamma(t)=\gamma_{1}(t)\cup\gamma_2(t) allora il lavoro complessivo si esprime come somma tra il lavoro sul percorso \gamma_1(t) e il lavoro sul \gamma_2(t)

\int_{\gamma}\bar{F}d\gamma=\int_{\gamma_{1}}\bar{F}d\gamma_{1}+\int_{\gamma_{2}}\bar{F}d\gamma_{2}

Dopo questo preambolo teorico, occupiamoci del nostro esercizio.

In questo caso il campo vettoriale è:

\bar{F}(x,y)=(xy-1, 2y+3)

La parte più delicata del problema consiste nel determinare l'opportuna parametrizzazione associata a ciascuna parte della curva.

La parametrizzazione associata al tratto di parabola si ottiene ponendo

x(t)=t\ \ \ \mbox{e} \ \ \ y(t)=-(x(t))^2+1=-t^2+1

Poiché 0\le x\le 1 necessariamente

0\le x(t)\le 1\ \ \ \to \ \ \ 0\le t\le 1

di conseguenza la parametrizzazione associata all'arco di parabola è:

\gamma_{1}(t)=(t,-t^2+1)\ \ \ \mbox{con} \ t\in[0,1]

Controlliamo che l'orientazione della parametrizzazione sia coerente con la traccia, secondo la quale la particella inizia il suo cammino dal punto A=(1,0) e termina nel punto B=(0,1). A tal proposito, calcoliamo

\gamma_1(0)\ \ \ \mbox{e} \ \ \ \gamma_1(1)

\\ \gamma_{1}(0)=(0,-0^2+1)=(0,1) \\ \\ \gamma_1(1)=(1, 0)

Purtroppo la parametrizzazione scelta ha il verso di percorrenza opposto a quella richiesta dall'esercizio, però non è un problema, possiamo avvalerci della teoria per aggiustare le cose.

Per impostare l'integrale che consente di calcolare il lavoro sulla curva \gamma_{1} abbiamo bisogno della composizione \bar{F}(x(t),y(t)):

\\ \bar{F}(x(t),y(t))=(x(t)y(t)-1, 2y(t)+3)= \\ \\ =(-1+t-t^3,5-2t^2)

In buona sostanza, abbiamo sostituito x con t e y con -t^2+1 nell'espressione analitica di \bar{F} e fatto i calcoli.

Calcoliamo le derivate delle componenti di \gamma_1(t):

\gamma'(t)=(x'(t), y'(t))=(1,-2t)

e infine calcoliamo il prodotto scalare tra \bar{F}(x(t),y(t)) e (x'(t),y'(t))

\\ \bar{F}(x(t),y(t))\cdot (x'(t),y'(t))= \\ \\ =(-1+t-t^3, 5-2t^2)\cdot (1,2t)= \\ \\ =(-1+t-t^3)\cdot 1+(5-2t^2)\cdot 2t=-1+11 t-5t^3

A questo punto abbiamo tutti gli strumenti per calcolare l'integrale di linea su \gamma_1(t)

\\ L_{\gamma_1,B\to A}=\int_{0}^{1}(-1+11t-5t^3)dt= \\ \\ \\ =\left[-t+\frac{11t^2}{2}-\frac{5t^4}{4}\right]_{0}^{1}=-\frac{19}{4}

Attenzione! Noi abbiamo calcolato il lavoro del campo vettoriale per portare la particella dal punto B al punto A e non quello richiesto dall'esercizio! Poco male, possiamo invertire l'orientazione cambiando di segno il risultato:

L_{\gamma_1, A\to B}=-L_{-\gamma_1, B\to A}=-\left(-\frac{19}{4}\right)=\frac{19}{4}

Occupiamoci della seconda parte dell'esercizio: dobbiamo calcolare il lavoro compiuto dal campo vettoriale sul segmento che congiunge B=(0,1) e A=(1,0). In questa occasione esiste una parametrizzazione standard per i segmenti (cliccami), grazie alla quale otteniamo immediatamente:

\gamma_2(t)=\begin{cases}x(t)=x_{B}+t(x_{A}-x_B)\\ \\ y(t)=y_B+t(y_{A}-y_{B})\end{cases}\  \ \ \mbox{con} \ t\in[0,1]

dove x_{A}, \ x_{B} sono le ascisse dei punti A\ \mbox{e} \ B e y_{A}, \ y_{B} le rispettive ordinate.

\gamma_2(t)=(x(t), y(t))=(1-t,t)

Calcoliamo quindi la composizione

\bar{F}(x(t),y(t))=(-1+t-t^2, 3+2t)

la derivata delle componenti di \gamma_2(t)

\gamma_2'(t)=(x'(t),y'(t))=(-1,1)

e il prodotto scalare \bar{F}(x(t),y(t))\cdot (x'(t),y'(t))

\\ \bar{F}(x(t),y(t))\cdot (x'(t),y'(t))= \\ \\ =(-1+t-t^2, 3+2t)\cdot (-1,1)= \\ \\ =(-1+t-t^2)\cdot (-1)+(3+2t)\cdot 1=4+t+t^2

Il lavoro compiuto da \bar{F} sul segmento dato si ottiene risolvendo il seguente integrale:

\\ L_{\gamma_2, B\to A}=\int_{0}^{1}(4+t+t^2)dt= \\ \\ \\ = \left[4t+\frac{t^2}{2}+\frac{t^3}{3}\right]_{0}^{1}=\frac{29}{6}

Il lavoro complessivo, sull'intero circuito, è dato dalla somma dei lavori sui singoli tratti

L_{tot}=L_{-\gamma_1, A\to B}+L_{\gamma_2,B\to A}=\frac{19}{4}+\frac{29}{6}=\frac{115}{12}

Abbiamo terminato.
Ringraziano: Omega, CarFaby, gandoluca
  • Pagina:
  • 1
Os