Curva in coordinate polari: Area e Gauss-Green
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#99070
![]() Chincian Punto | Sia ![]() 1) Si tracci un grafico indicativo di 2) Si calcoli l'area della parte di piano 3) Sia Non capisco come tracciare il grafico (che, stando al professore, dovrebbe saltare agli occhi ![]() Per il punto 2 no problem, mentre nel 3, la soluzione del prof. è stata separare l'integrale ottenuto con Gauss-Green ![]() in 2 parti: ![]() per simmetria, ma vorrei una vostra opinione. Grazie. |
#99077
![]() Ifrit Amministratore | Ciao Chincian, l'esercizio chiede di rappresentare una curva piana espressa in forma polare, di calcolare l'area della porzione di piano limitata dalla curva e di determinare la circuitazione di un campo vettoriale lungo la curva data. Grafico qualitativo della curva Purtroppo non esiste una strategia valida per rappresentare qualunque curva piana: bisogna ingegnarsi di volta in volta e estrapolare tutte le informazioni utili al compito. La curva data è riportata in forma polare, infatti la sua espressione analitica è: ![]() Dal punto di vista geometrico, Per poter rappresentare alla bene e meglio la curva Valutiamo Non rimaniamo troppo sul teorico e procediamo con qualche esempio: se ![]() Per Per ![]() ![]() Per ![]() Per ![]() ![]() Per ![]() Possiamo procedere così per qualsiasi angolo compreso tra Dal punto di vista qualitativo, potremmo pensare bene di effettuare un veloce studio di funzione e osservare che la funzione ![]() - è una funzione strettamente crescente nell'intervallo - ha un punto di massimo assoluto per ![]() - è una funzione decrescente nell'intervallo Trasponiamo le informazioni ottenute sul grafico, tenendo sempre a mente che - nel primo e secondo quadrante (ossia se - sulla semiretta delle ascisse negative (ossia se - nel terzo e quarto quadrante (ossia se Sfruttando le informazioni ottenute, siamo in grado di rappresentare la curva nel piano cartesiano Osserviamo che avremmo potuto considerare l'equazione parametrica associata alla curva ![]() e ricavare esplicitamente le coordinate dei punti al variare di A titolo di esempio, - a - a ![]() - a - a ![]() ![]() - a Chiaramente, con un numero sufficiente di punti, ci accorgeremmo che è effettivamente una cardioide simmetrica rispetto all'asse delle ascisse. Simmetria rispetto all'asse delle ascisse Sebbene sia sufficiente il grafico per dedurre la simmetria rispetto all'asse delle Sia ![]() Se valutiamo l'equazione parametrica in tale valore (e in particolare valutiamo le espressioni - per le ascisse ![]() (per le formule sugli archi associati) ![]() - per le ordinate ![]() (per le formule sugli archi associati) ![]() Deduciamo quindi che se da un lato le ascisse coincidono Calcolo dell'area della parte di piano racchiusa dalla cardioide Per calcolare l'area della parte di piano limitata dalla curva ![]() e ricondurci all'integrale ![]() L'integrale si risolve avvalendosi delle tecniche di integrazione elementari. Calcolo della circuitazione del campo vettoriale lungo la curva Per poter calcolare la circuitazione del campo vettoriale possiamo tranquillamente usare il teorema di Gauss Green che consente di usare la formula ![]() dove ![]() e Calcoliamo le derivate parziali che intervengono nell'integrale doppio ![]() Grazie al teorema di Gauss Green, passiamo dall'integrale di linea di seconda specie all'integrale doppio: ![]() Osserviamo che per simmetria, il seguente integrale doppio è nullo ![]() perché (Per approfondire: simmetrie negli integrali doppi e tripli) Inoltre, sfruttando l'interpretazione geometrica di integrale doppio, possiamo concludere che il seguente integrale coincide con l'area di ![]() In definitiva ![]() Abbiamo finito. Osservazione: potremmo pensare di calcolare la circuitazione mediante la definizione stessa di integrale di linea. C'è però un grosso problema di tipo algebrico: i calcoli che ne scaturirebbero sono improponibili. |
Ringraziano: Omega, CarFaby, Chincian |
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