Curva in coordinate polari: Area e Gauss-Green

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#99070
avt
Chincian
Punto
Sia γ la seguente curva espressa in coordinate polari

ρ = θ (2π-θ) con 0 ≤ θ ≤ 2π

1) Si tracci un grafico indicativo di γ e si verifichi in particolare che essa è simmetrica rispetto all'asse delle x.

2) Si calcoli l'area della parte di piano D racchiusa daγ.

3) Sia F(x;y) = (x+y;2xy), usando la formula di Green si calcoli la circuitazione di F lungo γ.

Non capisco come tracciare il grafico (che, stando al professore, dovrebbe saltare agli occhi emt ), so che si tratta di una cardioide rovesciata lungo y.

Per il punto 2 no problem, mentre nel 3, la soluzione del prof. è stata separare l'integrale ottenuto con Gauss-Green

iint_(D)(2y-1)dxdy

in 2 parti:

- iint_(D) 1 dxdy = Area(D) e iint_(D) 2y dxdy = 0

per simmetria, ma vorrei una vostra opinione.

Grazie.
#99077
avt
Ifrit
Amministratore
Ciao Chincian,

l'esercizio chiede di rappresentare una curva piana espressa in forma polare, di calcolare l'area della porzione di piano limitata dalla curva e di determinare la circuitazione di un campo vettoriale lungo la curva data.

Grafico qualitativo della curva

Purtroppo non esiste una strategia valida per rappresentare qualunque curva piana: bisogna ingegnarsi di volta in volta e estrapolare tutte le informazioni utili al compito.

La curva data è riportata in forma polare, infatti la sua espressione analitica è:

ρ(θ) = θ(2π-θ) con θ∈[0,2π]

Dal punto di vista geometrico, ρ(θ) rappresenta la distanza dall'origine del sistema di riferimento, mentre θ è l'angolo tra l'asse delle ascisse positive e il segmento che congiunge (0,0) e il punto individuato da ρ(θ).

Per poter rappresentare alla bene e meglio la curva ρ(θ), fissiamo θ_(0)∈[0,2π]. Dal punto di vista geometrico, è come se stessimo prendendo in considerazione la semiretta uscente dall'origine e che genera l'angolo θ_(0) con l'asse x positive.

Valutiamo ρ(θ_(0)) per θ = θ_0 e consideriamo il punto della semiretta che dista ρ(θ_(0)) dall'origine.

Non rimaniamo troppo sul teorico e procediamo con qualche esempio:

se θ_0 = 0, la semiretta in questione coinciderà con il semiasse delle ascisse positive e la distanza tra l'origine e il punto da prendere in considerazione si ottiene valutando la funzione ρ(θ) per θ = θ_0 = 0

ρ(θ_0) = ρ(0) = 0·(2π-0) = 0

Per θ = 0, il punto coincide con l'origine degli assi.

Per θ_(0) = (π)/(2), lavoriamo sul semiasse delle ordinate positive. In questa circostanza, la distanza tra l'origine e il punto di nostro interesse sulla semiretta è:

ρ(θ_0) = ρ((π)/(2)) = (π)/(2)(2π-(π)/(2)) = (3π^2)/(4)

Per θ_0 = π, lavoriamo sul semiasse delle ascisse negative e la distanza dall'origine è:

ρ(θ_0) = ρ(π) = π(2π-π) = π^2

Per θ_(0) = (3π)/(2), lavoriamo sul semiasse delle ordinate negative e la distanza dall'origine è:

ρ(θ_0) = ρ((3π)/(2)) = (3π)/(2)(2π-(3π)/(2)) = (3π^2)/(4)

Per θ_(0) = 2π, torniamo a lavorare sul semiasse delle ascisse positive e la distanza dall'origine è:

ρ(θ_0) = ρ(2π) = 2π(2π-2π) = 0

Possiamo procedere così per qualsiasi angolo compreso tra [0,2π]. Naturalmente più punti rappresentiamo, più il grafico sarà preciso.

Dal punto di vista qualitativo, potremmo pensare bene di effettuare un veloce studio di funzione e osservare che la funzione

ρ(θ) = θ(2π-θ) con θ∈ [0,2π]

- è una funzione strettamente crescente nell'intervallo [0,π];

- ha un punto di massimo assoluto per x = π. Il massimo assoluto associato è ρ(π) = π^2;

- è una funzione decrescente nell'intervallo [π,2π].

Trasponiamo le informazioni ottenute sul grafico, tenendo sempre a mente che ρ(θ) rappresenta la distanza dei punti della curva dall'origine. Più precisamente:

- nel primo e secondo quadrante (ossia se θ∈[0,π]), la distanza dall'origine aumenta, partendo da 0;

- sulla semiretta delle ascisse negative (ossia se θ = π), la distanza dall'origine è massima;

- nel terzo e quarto quadrante (ossia se θ∈[π,2π]), la distanza dall'origine diminuisce fino ad annullarsi.

Sfruttando le informazioni ottenute, siamo in grado di rappresentare la curva nel piano cartesiano O_(xy): è una cardioide che presenta una simmetria assiale con asse di simmetria coincidente con l'asse x.

Osserviamo che avremmo potuto considerare l'equazione parametrica associata alla curva γ(θ), ossia:

γ(θ) = x(θ) = ρ(θ)cos(θ) = θ(2π-θ)cos(θ) ; y(θ) = ρ(θ)sin(θ) = θ(2π-θ)sin(θ) con θ∈[0,2π]

e ricavare esplicitamente le coordinate dei punti al variare di θ∈ [0,2π].

A titolo di esempio,

- a θ = 0 associamo il punto di coordinate γ(0) = (0,0);

- a θ = (π)/(2) associamo il punto di coordinate γ((π)/(2)) = (0,(3π^2)/(4))

- a θ = π associamo il punto γ(π) = (-π, 0)

- a θ = (3π)/(2) associamo il punto γ((3π)/(2)) = (0,-(3π^2)/(4))

- a θ = 2π associamo il punto γ(2π) = (0,0)

Chiaramente, con un numero sufficiente di punti, ci accorgeremmo che è effettivamente una cardioide simmetrica rispetto all'asse delle ascisse.

Simmetria rispetto all'asse delle ascisse

Sebbene sia sufficiente il grafico per dedurre la simmetria rispetto all'asse delle x, possiamo avvalerci del seguente ragionamento analitico per convincercene definitivamente.

Sia θ∈ [π, 2π] (siamo nel terzo o quarto quadrante) allora esiste un angolo θ'∈ [0,π] tale che

θ = 2π-θ'

Se valutiamo l'equazione parametrica in tale valore (e in particolare valutiamo le espressioni x(θ) e y(θ)) ricaviamo:

- per le ascisse

x(θ) = x(2π-θ') = (2π-θ')(2π-(2π-θ'))cos(2π-θ') =

(per le formule sugli archi associati)

= θ'(2π-θ')cos(θ') = x(θ') con θ'∈ [0,π]

- per le ordinate

y(θ) = y(2π-θ') = (2π-θ')(2π-(2π-θ'))sin(2π-θ') =

(per le formule sugli archi associati)

= -θ'(2π-θ')sin(θ') = -y(θ') con θ'∈ [0,π]

Deduciamo quindi che se da un lato le ascisse coincidono (x(θ) = x(θ')), le ordinate sono opposte tra loro (y(θ) = -y(θ')): ciò significa che la cardioide è simmetrica rispetto all'asse delle ascisse.

Calcolo dell'area della parte di piano racchiusa dalla cardioide

Per calcolare l'area della parte di piano limitata dalla curva γ(θ) possiamo usufruire della formula

A(D) = (1)/(2)∫_(0)^(2π)ρ^2(θ)dθ =

e ricondurci all'integrale


= (1)/(2)∫_(0)^(2π)(2π-θ)^2 θ^2dθ = (8π^5)/(15)

L'integrale si risolve avvalendosi delle tecniche di integrazione elementari.

Calcolo della circuitazione del campo vettoriale lungo la curva

Per poter calcolare la circuitazione del campo vettoriale

F(x,y) = (x+y,2xy)

possiamo tranquillamente usare il teorema di Gauss Green che consente di usare la formula

oint Fdγ = iint_(D)[(partial F_(2)(x,y))/(partial x)-(partial F_(1)(x,y))/(partial y)]dx dy

dove F_1(x,y) e F_2(x,y) sono rispettivamente la prima e la seconda componente del campo vettoriale, ossia:

F_1(x,y) = x+y e F_(2)(x,y) = 2xy

e D è la parte di piano limitata dalla cardioide γ.

Calcoliamo le derivate parziali che intervengono nell'integrale doppio

(partial F_1)/(partial y)(x,y) = (partial)/(partial y)[x+y] = 1 ; e ; (partial F_2)/(partial x)(x,y) = (partial)/(partial x)[2xy] = 2y


Grazie al teorema di Gauss Green, passiamo dall'integrale di linea di seconda specie all'integrale doppio:

iint_(D)(2y-1)dxdy = iint_(D)2ydx dy- iint_(D)1dx dy

Osserviamo che per simmetria, il seguente integrale doppio è nullo

iint_(D)2ydx dy = 0

perché D è simmetrico rispetto all'asse delle x mentre l'integranda z = 2y è una funzione dispari rispetto alla variabile y.

(Per approfondire: simmetrie negli integrali doppi e tripli)

Inoltre, sfruttando l'interpretazione geometrica di integrale doppio, possiamo concludere che il seguente integrale coincide con l'area di D:

iint_(D)1dxdy = A(D) = (8π^5)/(15)

In definitiva

iint_(D)(2y-1)dxdy = iint_(D)2ydx dy- iint_(D)1dx dy = -(8π^5)/(15)

Abbiamo finito.

Osservazione: potremmo pensare di calcolare la circuitazione mediante la definizione stessa di integrale di linea. C'è però un grosso problema di tipo algebrico: i calcoli che ne scaturirebbero sono improponibili.
Ringraziano: Omega, CarFaby, Chincian
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