Esercizio nucleo e immagine applicazione lineare e immagine di un vettore

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Esercizio nucleo e immagine applicazione lineare e immagine di un vettore #99018

avt
luna 1
Punto
Devo risolvere un esercizio su un'applicazione lineare in cui il codominio è lo spazio dei polinomi e mi chiede di determinare nucleo e immagine dell'applicazione e l'immagine di un vettore.

Considera l'applicazione lineare

T:R^5 → R_(2)[t]

data da

T(x) = (x_1+x_4)t^2+(2x_1+x_2-x_5)t+x_1-x_3

ricordando che R_(2)[t] è lo spazio dei polinomi di grado al più 2 nella variabile t.

1) Determina l'immagine del vettore v = e_1+2e_2+e_3+2e_4-7e_5.

2) Determina nucleo e immagine di T, calcolando la dimensione ed esibendo una base di entrambi;

Grazie in anticipo.
 
 

Esercizio nucleo e immagine applicazione lineare e immagine di un vettore #99021

avt
Galois
Amministratore
Procediamo con ordine e iniziamo dalla risoluzione del primo punto dell'esercizio, che chiede di determinare l'immagine del vettore

v = e_1+2e_2+e_3+2e_4-7e_5

attraverso l'applicazione lineare

T:R^5 → R_(2)[t]

definita come

T(x) = (x_1+x_4)t^2+(2x_1+x_2-x_5)t+x_1-x_3

Ricaviamo, anzitutto, le componenti del vettore v, ricordando che e_1, e_2, e_3, e_4, e_5 rappresentano i vettori della base canonica di R^5, ossia

e_1 = (1,0,0,0,0) ; e_2 = (0,1,0,0,0) ; e_3 = (0,0,1,0,0) ; e_4 = (0,0,0,1,0) ; e_5 = (0,0,0,0,1)

Di conseguenza

v = e_1+2e_2+e_3+2e_4-7e_5 = ; (1,0,0,0,0)+2 (0,1,0,0,0)+(0,0,1,0,0)+2 (0,0,0,1,0)-7(0,0,0,0,1) = (1,0,0,0,0)+(0,2,0,0,0)+(0,0,1,0,0)+(0,0,0,2,0)+(0,0,0,0,-7) = (1,2,1,2,-7)

Per com'è definita l'applicazione T:

T(v) = T(1,2,1,2,-7) = (1+2)t^2+(2·1+2-(-7))t+1-1 = 3t^2+(2+2+7)t+1-1 = 3t^2+11t

Dunque l'immagine del vettore v attraverso l'applicazione T è il polinomio 3t^2+11t ∈ R^2[t].


Passiamo ora al secondo punto dell'esercizio, che chiede di determinare la dimensione e una base di nucleo e immagine dell'applicazione T.

T è un'applicazione avente come codominio il sottospazio dei polinomi R_2[t]. In generale, il metodo più veloce per lavorare con le applicazioni lineari tra spazi di polinomi è quello di servirsi dell'isomorfismo coordinato tra R_n[t] e R^(n+1).

In questo specifico caso conviene avvalersi dell'isomorfismo

φ: R_2[t] → R^3 ; p(t) = at^2+bt+c ↦ (a,b,c) ∈ R^3

In parole povere, questo isomorfismo associa a un polinomio di R_2[t] il vettore di R^3 le cui componenti sono i coefficienti del polinomio.

Avvalendoci di ciò, per determinare nucleo e immagine dell'applicazione T possiamo lavorare con l'applicazione

tildeT:R^5 → R^3

tale che

tildeT(x) = (x_1+x_4, 2x_1+x_2-x_5, x_1-x_3)

Detto ciò procediamo con calcolo di dimensione e base dell'immagine dell'applicazione lineare tildeT.

Scriviamo la matrice associata all'applicazione lineare tildeT rispetto alle basi canoniche di dominio e codominio

A_(tildeT) = [1 0 0 1 0 ; 2 1 0 0 -1 ; 1 0 -1 0 0]

L'insieme dei vettori colonna di A_(tildeT) è un sistema di generatori di Im(tildeT), ossia

Im(tildeT) = Span((1,2,1), (0,1,0), (0,0,-1), (1,0,0), (0,-1,0))

Per trovarne una base, e quindi la dimensione, è sufficiente estrarre una base dal sistema del generatori.

Osserviamo che la sottomatrice che si ottiene da A_(tildeT) eliminando le ultime due colonne ha determinante diverso da zero, infatti

det[1 0 0 ; 2 1 0 ; 1 0 -1] = -1 ≠ 0

Il calcolo del determinante è immediato. Siamo infatti di fronte a una matrice triangolare inferiore e il suo determinante si ottiene dal prodotto degli elementi della diagonale principale.

Di conseguenza la dimensione dell'immagine è 3

dim(Im(tildeT)) = 3

e i vettori colonna della sottomatrice riportata poc'anzi ne formano una base

mathcalB_(Im(tildeT)) = (1,2,1), (0,1,0), (0,0,-1)

Il nostro compito era però quello di determinare la dimensione e un'immagine dell'applicazione T e non di tildeT.

Nulla di più semplice! Facendo, infatti, riferimento all'isomorfismo coordinato che ci ha permesso di definire tildeT bisogna ora ricavare i polinomi associati ai vettori della base di tildeT.

Al vettore (1,2,1) risulta associato il polinomio p(t) = t^2+2t+1;

a (0,1,0) è associato il polinomio q(t) = 0t^2+t+0 = t;

a (0,0,-1) è, infine, associato il polinomio z(t) = 0t^2+0t+(-1) = -1.

Dunque la dimensione dell'immagine dell'applicazione lineare T è 3, e una sua base è

mathcalB_(Im(T)) = t^2+2t+1, t, -1


Procediamo ora al calcolo della dimensione e di una base del nucleo di tildeT, che coinciderà con la dimensione e una base del nucleo di T.

Il teorema delle dimensioni ci permette di ricavare in men che non si dica la dimensione del nucleo, infatti

dim(Ker(T)) = dim(R^5)-dim(Im(T)) = 5-3 = 2

Per determinarne una base è sufficiente considerare un qualsiasi vettore colonna di R^5

v = [x_1 ; x_2 ; x_3 ; x_4 ; x_5]

e determinare una base per l'insieme delle soluzioni del sistema lineare omogeneo

A_(tildeT)v = 0

dove 0 è il vettore colonna di R^5 formato da soli 0. In termini espliciti

[1 0 0 1 0 ; 2 1 0 0 -1 ; 1 0 -1 0 0][x_1 ; x_2 ; x_3 ; x_4 ; x_5] = [0 ; 0 ; 0 ; 0 ; 0]

Svolgendo il prodotto riga per colonna vien fuori il sistema

x_1+x_4 = 0 ; 2x_1+x_2-x_5 = 0 ; x_1-x_3 = 0

Sappiamo già che la dimensione del nucleo (e quindi la dimensione dell'insieme delle soluzioni) è pari a 2. Di conseguenza il sistema ammette ∞^2 soluzioni.

Per determinarle assegniamo allora a 2 delle 5 incognite il ruolo di parametro libero e ricaviamo le altre in funzione di queste.

Ponendo ad esempio x_1 = α e x_2 = β dalla prima equazione di ricava

x_4 = -x_1 = -α

Dalla seconda

x_5 = 2x_1+x_2 = 2α+β

Dalla terza

x_3 = x_1 = α

Di conseguenza le ∞^2 soluzioni sono

(x_1,x_2,x_3,x_4,x_5) = (α, β, α,-α, 2α+β)

Per ricavare una base per l'insieme delle soluzioni del sistema e quindi una base del nucleo di T è sufficiente scrivere quest'ultime sotto forma di combinazione lineare

(x_1,x_2,x_3,x_4,x_5) = (α, β, α,-α, 2α+β) = α(1,0,1,-1,2)+β(0,1,0,0,1)

Una base del nucleo è quindi data da

mathcalB_(ker(T)) = (1,0,1,-1,2), (0,1,0,0,1)


Questo conclude la risoluzione dell'esercizio, che è uno tra i più classici sulle applicazioni lineari. In caso di dubbi ti consiglio vivamente di leggere le lezioni che ti ho linkato di volta in volta. emt
Ringraziano: Omega, Ifrit, CarFaby
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Os