Sviluppo del cubo di un binomio con esponenti letterali

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Sviluppo del cubo di un binomio con esponenti letterali #99014

avt
Sonia Previtali
Punto
Vi chiedo aiuto con lo sviluppo del cubo di un binomio in cui sono presenti potenze con esponenti letterali:

(a^{2a-3}-a^{3-2a})^3

Grazie in anticipo.
 
 

Re: Sviluppo del cubo di un binomio con esponenti letterali #99015

avt
Galois
Coamministratore
Per calcolare lo sviluppo del cubo di binomio

\left(a^{2a-3}-a^{3-2a}\right)^3

scriviamo, anzitutto, la regola generale che permette di ricavare lo sviluppo di un cubo di binomio con differenza:

(A-B)^3=A^3-3A^2B+3AB^2-B^3


Onde evitare di fare errori di calcolo calcoliamo separatamente i quattro termini che formano lo sviluppo.

Iniziamo col calcolo del cubo del primo termine

\left(a^{2a-3}\right)^3

Siamo di fronte a una potenza di potenza, che restituisce una potenza che ha per base la stessa base e per esponente il prodotto degli esponenti, ossia

\left(a^{2a-3}\right)^3 = a^{3(2a-3)}=a^{6a-9}

Procediamo poi al calcolo del triplo prodotto tra il quadrato del primo termine e il secondo

3\left(a^{2a-3}\right)^2\left(a^{3-2a}\right)

Determiniamo dapprima il valore della potenza di potenza

\left(a^{2a-3}\right)^2=a^{2(2a-3)}=a^{4a-6}

per poi svolgere il prodotto tra potenze

\\ 3\left(a^{2a-3}\right)^2\left(a^{3-2a}\right) = \\ \\ = 3\left(a^{4a-6}\right)\left(a^{3-2a}\right) = \\ \\ = 3a^{4a-6+3-2a}=3a^{2a-3}

Ricorda che il prodotto di due potenze con la stessa base è una potenza che ha per base la stessa base e per esponente la somma degli esponenti.

Procedendo allo stesso modo, ma facendo i calcoli tutti insieme, calcoliamo il terzo termine dello sviluppo

\\ 3\left(a^{2a-3}\right)\left(a^{3-2a}\right)^2 = \\ \\ = 3\left(a^{2a-3}\right)\left(a^{2(3-2a)}\right) = \\ \\ = 3\left(a^{2a-3}\right)\left(a^{6-4a}\right) = \\ \\ = 3a^{2a-3+6-4a} = 3a^{-2a+3}

Concludiamo determinando il cubo del secondo termine

\left(a^{3-2a}\right)^3=a^{3(3-2a)}=a^{9-6a}

Mettendo insieme i vari termini e facendo attenzione ai segni, otteniamo lo sviluppo cercato

\left(a^{2a-3}-a^{3-2a}\right)^3=a^{6a-9}-3a^{2a-3}+3a^{-2a+3}-a^{9-6a}

È tutto! Come avrai notato, in questo genere di esercizi oltre a conoscere i prodotti notevoli bisogna saper padroneggiare le proprietà delle potenze e prestare molta attenzione ai calcoli. emt
Ringraziano: Omega, CarFaby

Re: Sviluppo del cubo di un binomio con esponenti letterali #99016

avt
Sonia Previtali
Punto
Grazie mille!
Pensavamo- sbagliando- si potessero modificare ulteriormente gli esponenti con segni opposti (ma basi analoghe), nell’ultimo passaggio (cambiando i segni).

Re: Sviluppo del cubo di un binomio con esponenti letterali #99017

avt
Galois
Coamministratore
Pensavamo- sbagliando- si potessero modificare ulteriormente gli esponenti con segni opposti (ma basi analoghe), nell’ultimo passaggio (cambiando i segni).

Per l'appunto, come da te anticipato, con un passaggio del genere avresti commesso un (grave) errore. Infatti, per a>0, vale l'uguaglianza

a^{6a-9}=\left(\frac{1}{a}\right)^{-(6a+9)}=\left(\frac{1}{a}\right)^{9-6a}

che è ben diverso da -a^{9-6a}
Ringraziano: Omega
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Os