Sviluppo del cubo di un binomio con esponenti letterali

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#99014
avt
Sonia Previtali
Punto
Vi chiedo aiuto con lo sviluppo del cubo di un binomio in cui sono presenti potenze con esponenti letterali:

(a^(2a-3)-a^(3-2a))^3

Grazie in anticipo.
#99015
avt
Galois
Amministratore
Per calcolare lo sviluppo del cubo di binomio

(a^(2a-3)-a^(3-2a))^3

scriviamo, anzitutto, la regola generale che permette di ricavare lo sviluppo di un cubo di binomio con differenza:

(A-B)^3 = A^3-3A^2B+3AB^2-B^3


Onde evitare di fare errori di calcolo calcoliamo separatamente i quattro termini che formano lo sviluppo.

Iniziamo col calcolo del cubo del primo termine

(a^(2a-3))^3

Siamo di fronte a una potenza di potenza, che restituisce una potenza che ha per base la stessa base e per esponente il prodotto degli esponenti, ossia

(a^(2a-3))^3 = a^(3(2a-3)) = a^(6a-9)

Procediamo poi al calcolo del triplo prodotto tra il quadrato del primo termine e il secondo

3(a^(2a-3))^2(a^(3-2a))

Determiniamo dapprima il valore della potenza di potenza

(a^(2a-3))^2 = a^(2(2a-3)) = a^(4a-6)

per poi svolgere il prodotto tra potenze

 3(a^(2a-3))^2(a^(3-2a)) = 3(a^(4a-6))(a^(3-2a)) = 3a^(4a-6+3-2a) = 3a^(2a-3)

Ricorda che il prodotto di due potenze con la stessa base è una potenza che ha per base la stessa base e per esponente la somma degli esponenti.

Procedendo allo stesso modo, ma facendo i calcoli tutti insieme, calcoliamo il terzo termine dello sviluppo

 3(a^(2a-3))(a^(3-2a))^2 = 3(a^(2a-3))(a^(2(3-2a))) = 3(a^(2a-3))(a^(6-4a)) = 3a^(2a-3+6-4a) = 3a^(-2a+3)

Concludiamo determinando il cubo del secondo termine

(a^(3-2a))^3 = a^(3(3-2a)) = a^(9-6a)

Mettendo insieme i vari termini e facendo attenzione ai segni, otteniamo lo sviluppo cercato

(a^(2a-3)-a^(3-2a))^3 = a^(6a-9)-3a^(2a-3)+3a^(-2a+3)-a^(9-6a)

È tutto! Come avrai notato, in questo genere di esercizi oltre a conoscere i prodotti notevoli bisogna saper padroneggiare le proprietà delle potenze e prestare molta attenzione ai calcoli. emt
Ringraziano: Omega, CarFaby
#99016
avt
Sonia Previtali
Punto
Grazie mille!
Pensavamo- sbagliando- si potessero modificare ulteriormente gli esponenti con segni opposti (ma basi analoghe), nell’ultimo passaggio (cambiando i segni).
#99017
avt
Galois
Amministratore
Pensavamo- sbagliando- si potessero modificare ulteriormente gli esponenti con segni opposti (ma basi analoghe), nell’ultimo passaggio (cambiando i segni).

Per l'appunto, come da te anticipato, con un passaggio del genere avresti commesso un (grave) errore. Infatti, per a > 0, vale l'uguaglianza

a^(6a-9) = ((1)/(a))^(-(6a+9)) = ((1)/(a))^(9-6a)

che è ben diverso da -a^(9-6a)
Ringraziano: Omega
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