Prodotto misto di tre vettori

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Prodotto misto di tre vettori #98897

avt
Faefnir
Punto
Salve a tutti.
Questo problema è sorto durante lo studio del cambiamento di variabili negli integrali tripli. Se D' è un dominio regolare, si applica la formula

\iiint_D f(x,y,z) \; dx \; dy \; dz = \iiint_{D'} f[x(u,v),y(u,v),z(u,v)] \cdot ||J|| \cdot \; du \; dv \; dw

Se D' è un dominio normale nella forma

a \leq u \leq b \quad , \quad \alpha(u) \leq v \leq \beta(u) \quad , \quad c \leq w \leq d

con il cambio di variabili

u = U \quad , \quad v = \alpha(U) + V[\beta(U) - \alpha(U)] \quad , \quad v = \omega

Il dominio D' viene trasformato nel parallelepipedo \mathcal{P}=[a,b] \times [0,1] \times [c,d] per cui il teorema è valido nelle nuove variabili, ovvero

\iiint_D f(x,y,z) \; dx \; dy \; dz = \int_a^b dU \int_c^d d\omega \int_0^1 f(U,V,\omega) \cdot ||J|| \cdot dV

Ora, le slide del mio docente dicono questo:

\\ J=\frac{\partial P}{\partial U}\wedge\frac{\partial P}{\partial V}\cdot\frac{\partial P}{\partial\omega}= \\ \\ \\ =\left\{\frac{\partial P}{\partial u}+\frac{\partial P}{\partial v}[\alpha'(U)+V(\beta'(U)-\alpha'(U))]\right\}\wedge\frac{\partial P}{\partial v}(\beta(U)-\alpha(U))\cdot\frac{\partial P}{\partial w}=\\ \\ \\ =\frac{\partial P}{\partial u}\wedge \frac{\partial P}{\partial v}\cdot\frac{\partial P}{\partial w}(\beta(U)-\alpha(U))

da cui

|J|dV=\left|\frac{\partial P}{\partial u}\wedge\frac{\partial P}{\partial v}\cdot\frac{\partial P}{\partial w}\right|(\beta(U)-\alpha(U))dV

Non riesco a capire questo passaggio. L'unica cosa che so è che si tratta di un prodotto misto di tre vettori, ma in che maniera viene eseguito in questo caso?

Grazie in anticipo.
 
 

Re: Prodotto misto di tre vettori #98905

avt
Ifrit
Amministratore
Ciao Faefnir,

in realtà credo fortemente che il problema non risieda tanto nel calcolo del prodotto misto, bensì nel calcolo delle derivate parziali con la regola della catena, la generalizzazione della regola di derivazione delle funzioni composte.

Riporto l'enunciato per funzioni di tre variabili, sebbene sia estendibile a più variabili in maniera del tutto naturale.

Teorema della catena

Sia f:S\subseteq\mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R} una funzione scalare definita su un insieme aperto di \mathbb{R}^3 e sia \mathbf{x}:\mathbb{R}\to S\subset\mathbb{R}^{3} una funzione vettoriale avente per componenti le funzioni reali a valori reali x(t), \ y(t) e z(t):

\mathbf{x}(t)=(x(t),y(t),z(t))

Se le componenti della funzione \mathbf{x}(t) sono derivabili rispetto a t e se f è una funzione differenziabile in \mathbf{x}(t) allora la funzione composta

F(t)=f(\mathbf{x}(t))

è differenziabile nella variabile t e si ha

\frac{\partial F}{\partial t}=\frac{\partial f}{\partial x}\cdot\frac{dx}{dt}+\frac{\partial f}{\partial y}\cdot \frac{dy}{dt}+\frac{\partial f}{\partial z}\cdot\frac{dz}{dt}

In termini espliciti? Il secondo membro ha per addendi il prodotto tra la derivata parziale di f rispetto a una sua variabile moltiplicata per la derivata della variabile rispetto a t.

Utilizziamo questo teorema per risolvere il problema. Consideriamo la funzione P(u,v,w): essa dipende da tre variabili u, \ v \ \mbox{e} \ w.

Nel momento in cui procediamo per sostituzione, poniamo:

u=U \ \ \ \mbox{con} \ U\in [a,b]

Deduciamo quindi che la variabile u è una funzione che dipende esclusivamente dalla nuova variabile U.

La variabile v viene espressa in termini della variabile U e dalla variabile V

\\ v=\alpha(U)+V\cdot (\beta(U)-\alpha(U)) \\ \\ \mbox{con} \ U\in [a,b]\ \ \ \mbox{e} \ \ \ V\in [0,1]

La variabile w (e non v come hai riportato emt ) si esprime in funzione della nuova variabile \omega

w=\omega \ \ \ \mbox{con} \ \omega\in [c,d]

A questo punto calcoliamo le derivate parziali di P rispetto alle nuove coordinate, usando in maniera adeguata la regola della catena

\frac{\partial P}{\partial U}=\frac{\partial P}{\partial u}\cdot\frac{d u}{dU}+\frac{\partial P}{ \partial v}\cdot\frac{dv}{dU}+\frac{\partial P}{\partial w}\cdot\frac{dw}{dU}

Esplicitiamo i calcoli delle derivate rispetto a U. Poiché u=U necessariamente la sua derivata rispetto a U è 1 (è come se derivassimo x rispetto a x)

\frac{du}{dU}=\frac{d}{dU}[U]=1

Per quanto concerne il calcolo della derivata di v rispetto a U bisogna avvalersi delle classiche regole di derivazione: poiché

v=\alpha(U)+V\cdot (\beta(U)-\alpha(U))

allora

\frac{d v}{d U}=\frac{d}{dU}[\alpha(U)+V\cdot (\beta(U)-\alpha(U))]=

Sfruttiamo le proprietà lineari dell'operatore di derivata e scriviamo:

\\ =\frac{d}{dU}[\alpha(U)]+\frac{d}{dU}[V\cdot (\beta(U)-\alpha(U))]=\\ \\ \\ =\frac{d}{dU}[\alpha(U)]+V\cdot\frac{d}{dU}[\beta(U)-\alpha(U)]=\\ \\ \\=\frac{d}{dU}[\alpha(U)]+V\cdot\left(\frac{d}{dU}[\beta(U)]-\frac{d}{dU}[\alpha(U)]\right)

Nota: la variabile U vede V come una costante moltiplicativa.

Per semplificare le notazioni, invece di usare i seguenti simboli per indicare le derivate di \alpha\ \mbox{e} \ \beta rispetto a U

\frac{d}{dU}[\alpha(U)]\ \ \ ,\ \ \frac{d}{dU}[\beta(U)]

possiamo usare \alpha'(U)\ \mbox{e} \ \beta'(U).

In definitiva, siamo in grado di esprimere la derivata parziale di v rispetto alla variabile U come segue:

\\ \frac{d v}{d U}=\frac{d}{dU}[\alpha(U)]+V\cdot\left(\frac{d}{dU}[\beta(U)]-\frac{d}{dU}[\alpha(U)]\right)= \\ \\ \\ =\alpha'(U)+V\cdot(\beta'(U)-\alpha'(U))

La derivata di w rispetto a U è chiaramente 0, perché w non dipende da U

\frac{dw}{dU}=0

Rimpiazziamo le espressioni ottenute nella regola della catena

\frac{\partial P}{\partial U}=\frac{\partial P}{\partial u}\cdot\overbrace{\frac{d u}{dU}}^{=1}+\frac{\partial P}{ \partial v}\cdot\overbrace{\frac{dv}{dU}}^{=\alpha'(U)+V(\beta'(U)-\alpha'(U))}+\frac{\partial P}{\partial w}\cdot\overbrace{\frac{dw}{dU}}^{=0}= \\ \\ \\=\frac{\partial P}{\partial u}+\frac{\partial P}{\partial v}\left(\alpha'(U)+V(\beta'(U)-\alpha'(U))\right)

Procediamo con la stessa tecnica per calcolare \frac{\partial P}{\partial V} \ \mbox{e} \ \frac{\partial P}{\partial \omega}: la prima diventa

\frac{\partial P}{\partial V}=\frac{\partial P}{\partial u}\cdot\frac{du}{dV}+\frac{\partial P}{\partial v}\cdot\frac{dv}{dV}+\frac{\partial P}{\partial w}\cdot\frac{dw}{dV}

Calcoliamo le derivate di u, \ v\ \mbox{e} \ w rispetto a V.

Poiché u=U, la sua derivata rispetto a V è zero perché u non dipende dalla variabile di derivazione.

\frac{du}{dV}=\frac{d}{dV}[U]=0

Per ricavare la derivata di

v=\alpha(U)+V\cdot(\beta(U)-\alpha(U))

rispetto a V, eseguiamo i passaggi:

\\ \frac{dv}{dV}=\frac{d}{dV}[\alpha(U)+V\cdot(\beta(U)-\alpha(U))]= \\ \\ \\ =\frac{d}{dV}[\alpha(U)]+\frac{d}{dV}\left[V\cdot\left(\beta(U)-\alpha(U)\right)\right]=(\bullet)

Si noti che \alpha(U) è una funzione che dipende esclusivamente dalla variabile U, dunque la sua derivata rispetto a V è zero. Si osservi inoltre che

V\cdot (\beta(U)-\alpha(U))

è il prodotto tra la variabile V e la differenza di due funzioni che dipendono esclusivamente da U, di conseguenza l'operatore \frac{d}{dV} interpreta tale differenza come una costante moltiplicativa.

(\bullet)=(\beta(U)-\alpha(U))\frac{dV}{dV}=(\beta(U)-\alpha(U))

La derivata di w rispetto a V è chiaramente nulla perché w è una funzione che dipende esclusivamente da \omega

\frac{dw}{dV}=0

Con le informazioni in nostro possesso, il termine

\frac{\partial P}{\partial V}=\frac{\partial P}{\partial u}\cdot\overbrace{\frac{du}{dV}}^{=0}+\frac{\partial P}{\partial v}\cdot\overbrace{\frac{dv}{dV}}^{\beta(U)-\alpha(U)}+\frac{\partial P}{\partial w}\cdot\overbrace{\frac{dw}{dV}}^{=0}=

diventa

=\frac{\partial P}{\partial v}(\beta(U)-\alpha(U))

Occupiamoci infine della derivata di P rispetto a \omega

\frac{\partial P}{\partial\omega}=\frac{\partial P}{\partial u}\cdot\frac{du}{d\omega}+\frac{\partial P}{\partial v}\cdot\frac{dv}{d\omega}+\frac{\partial P}{\partial w}\cdot\frac{dw}{d\omega}

Notiamo che u\ \mbox{e} \ v sono funzioni che non dipendono esplicitamente dalla variabile \omega, conseguentemente le loro derivate rispetto a tale variabile sono nulle

\frac{du}{d\omega}=0 \ \ \ \mbox{e} \ \ \ \frac{dv}{d\omega}=0

D'altra parte, invece, w=\omega, di conseguenza

\frac{dw}{d\omega}=1

In definitiva

\\ \frac{\partial P}{\partial\omega}=\frac{\partial P}{\partial u}\cdot\overbrace{\frac{du}{d\omega}}^{=0}+\frac{\partial P}{\partial v}\cdot\overbrace{\frac{dv}{d\omega}}^{=0}+\frac{\partial P}{\partial w}\cdot\overbrace{\frac{dw}{d\omega}}^{=1}=\\ \\ \\ =\frac{\partial P}{\partial w}

Consideriamo l'espressione

J=\frac{\partial P}{\partial U}\wedge\frac{\partial P}{\partial V}\cdot\frac{\partial P}{\partial \omega}=

dove \wedge indica in questo caso il prodotto vettoriale, mentre \cdot il prodotto scalare. Se rimpiazziamo le espressioni che abbiamo ottenuto al posto delle derivate parziali, il prodotto misto si esprime come segue

=\left[\frac{\partial P}{\partial u}+\frac{\partial P}{\partial v}\left(\alpha'(U)+V\cdot (\beta'(U)-\alpha'(U))\right)\right]\wedge (\beta(U)-\alpha(U))\frac{\partial P}{\partial V}\cdot\frac{\partial P}{\partial w}

Per le proprietà distributiva del prodotto vettoriale, possiamo distribuire (\beta(U)-\alpha(U))\frac{\partial P}{\partial V} a ciascun termine interno alle parentesi quadre. Osservato inoltre che il seguente prodotto coincide il vettore nullo

\frac{\partial P}{\partial v}(\alpha'(U)+V(\beta'(U)-\alpha'(U)))\wedge (\beta(U)-\alpha(U))\frac{\partial P}{\partial v}=0

(è il prodotto vettoriale tra due vettori paralleli) possiamo finalmente concludere che l'espressione di J è:

J=\frac{\partial P}{\partial u}\wedge\frac{\partial P}{\partial v}\cdot\frac{\partial P}{\partial w}(\beta(U)-\alpha(U))

Fatto!
Ringraziano: CarFaby, Faefnir

Re: Prodotto misto di tre vettori #98907

avt
Faefnir
Punto
Molto esaustivo, grazie infinite!
Ringraziano: Ifrit
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Os