Esercizio forma chiusa di una successione per ricorrenza

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Esercizio forma chiusa di una successione per ricorrenza #98888

avt
J0sePH_
Punto
Vi scrivo perché ho un enorme problema con le successioni per ricorsione, in particolare non riesco a capire o per meglio dire non riesco a far coincidere la tesi (P(n+1)) con l'ipotesi (P(n)). Questa ne è un esempio.

Per ogni n\ge 1

\begin{cases}a_{0}=1\\ \\ a_{n}=a_{n-1}+\left(-\dfrac{1}{4}\right)^{n-2}\cdot(n-1)\end{cases}

Dimostrare che per ogni n\ge0

a_{n}=\frac{1}{25}\left[\left(-1\right)^{n}\cdot 4^{2-n}\cdot(5n-1)+41\right]

Base (P(n)). Per n=0 per a_{n}.

Le prove per a_{n} ve le risparmio, ad ogni modo a_{n}=1

1=\frac{1}{25}\left[\left ( -1 \right )^{0}\cdot 4^{2}\cdot(0-1)+41\right]

che diventa:

1=\frac{1}{25}\left[-16+41\right]\ \ \ \to \ \ \ 1=1

Tesi:

a_{n+1}=\frac{1}{25}\left[\left(-1\right)^{n}\cdot4^{2-n}\cdot(5n-1)+41 \right]+\left(\frac{1}{4}\right)^{n-1}\cdot n

quest'ultimo messo per P(n+1).

Questa tesi deve essere uguale a:

a_{n}=\frac{1}{25}\left[\left(-1\right)^{n+1}\cdot 4^{2-(n+1)}\cdot(5(n+1)-1)+41\right]

Arrivati a questo punto mi spingo in calcoli che non mi portano da nessuna parte, cioè non faccio nulla di matematicamente illegale a livello di calcoli ma non riesco proprio a farli coincidere.
 
 

Esercizio forma chiusa di una successione per ricorrenza #98891

avt
Ifrit
Amministratore
Ciao J0sePh,

l'esercizio ci chiede di dimostrare che la successione definita per ricorrenza

\begin{cases}a_{0}=1\\ \\ a_{n}=a_{n-1}+\left(-\dfrac{1}{4}\right)^{n-2}\cdot(n-1)\end{cases}

può essere espressa in forma chiusa mediante la legge

a_n=\frac{1}{25}\left[(-1)^n\cdot 4^{2-n}\cdot (5n-1)+41\right]

In questa situazione, il principio di induzione è perfetto per dimostrare la proposizione.

Esso consta di soli tre passaggi: bisogna verificare il passo base; assumere come ipotesi che la proposizione sia vera per un generico n\in\mathbb{N} e dimostrare che è vera la proposizione che si ottiene sostituendo a n il termine n+1.

In simboli matematici, indichiamo con P(n) la proposizione, ossia:

\\ P(n): \ a_n=\frac{1}{25}\left[(-1)^n\cdot 4^{2-n}\cdot (5n-1)+41\right] \ \mbox{soddisfa la ricorsione}\\ \\ \begin{cases}a_{0}=1\\ \\ a_{n}=a_{n-1}+\left(-\dfrac{1}{4}\right)^{n-2}\cdot(n-1)\end{cases}

controlliamo che sia vera P(0), ossia verifichiamo il passo base (attenzione ai pedici):

1=a_0=\frac{1}{25}\left[(-1)^0\cdot4^{2-0}\left(5\cdot 0-1\right)+41\right]=

Svolgiamo i calcoli, tenendo a mente che una potenza con esponente nullo e base diversa da zero vale 1.

\\ =\frac{1}{25}\left[4^{2}\left(-1\right)+41\right]=\\ \\ \\ = \frac{1}{25}\left[-16+41\right]=\frac{25}{25}=1

Il passo base è chiaramente verificato perché 1=1.

Passo induttivo: supponiamo che la proposizione sia vera per un generico numero naturale n, cioè supponiamo vera la proposizione

\\ P(n): \ a_n=\frac{1}{25}\left[(-1)^n\cdot 4^{2-n}\cdot (5n-1)+41\right] \ \mbox{soddisfa la relazione}\\ \\ \begin{cases}a_{0}=1\\ \\ a_{n}=a_{n-1}+\left(-\dfrac{1}{4}\right)^{n-2}\cdot(n-1)\end{cases}

e sfruttiamo tale ipotesi per dimostrare che vera P(n+1). Più precisamente dobbiamo dimostrare che a_{n+1} sia nella forma:

\\ a_{n+1}=\frac{1}{25}\left[(-1)^{n+1}\cdot 4^{2-(n+1)}\cdot (5(n+1)-1)+41\right]= \\ \\ \\ =\frac{1}{25}\left[-(-1)^{n}\cdot 4^{1-n}\cdot (5n+4)+41\right]

Nota. Abbiamo utilizzato le proprietà delle potenze per esprimere (-1)^{n+1} come -(-1)^{n}, infatti

(-1)^{n+1}=(-1)\cdot (-1)^{n}= -(-1)^{n} \ \ \ \mbox{per ogni }n\in\mathbb{N}

Rimpiazziamo a ogni occorrenza di n, l'espressione n+1 in P(n), partendo proprio dalla relazione di ricorrenza:

\\ a_{n+1}=a_{(n+1)-1}+\left(-\frac{1}{4}\right)^{(n+1)-2}\cdot ((n+1)-1)= \\ \\ \\ =a_{n}+\left(-\frac{1}{4}\right)^{n-1}\cdot n=

Poiché è vera l'ipotesi induttiva, possiamo sostituire il termine a_n con la relativa espressione e scrivere:

=\frac{1}{25}\left[(-1)^n\cdot 4^{2-n}\cdot (5n-1)+41\right]+\left(-\frac{1}{4}\right)^{n-1}\cdot n=

Da qui in poi, entriamo nella fiera delle proprietà delle potenze.

In accordo con la regola sulla potenza di un prodotto, possiamo distribuire l'esponente n-1 a ciascun fattore della base -\frac{1}{4}

=\frac{1}{25}\left[(-1)^n\cdot 4^{2-n}\cdot (5n-1)+41\right]+\left(-1\right)^{n-1}\left(\frac{1}{4}\right)^{n-1}\cdot n=

Inoltre, siamo autorizzati a esprimere \frac{1}{4} come 4^{-1}: è la definizione di potenza con esponente negativo letta al contrario.

=\frac{1}{25}\left[(-1)^n\cdot 4^{2-n}\cdot (5n-1)+41\right]+\left(-1\right)^{n-1}\left(4^{-1}\right)^{n-1}\cdot n=

Perché fermarci qui?! Svolgiamo la potenza di potenza moltiplicando tra loro gli esponenti

=\frac{1}{25}\left[(-1)^n\cdot 4^{2-n}\cdot (5n-1)+41\right]+\left(-1)^{n-1}\cdot 4^{1-n}\cdot n=

Calcoliamo il minimo comune denominatore

=\frac{(-1)^n\cdot 4^{2-n}\cdot (5n-1)+41+25\left(-1)^{n-1}\cdot 4^{1-n}\cdot n}{25}=

ed esprimiamo (-1)^{n-1} come -(-1)^{n}

=\frac{(-1)^n\cdot 4^{2-n}\cdot (5n-1)+41-25\left(-1)^{n}\cdot 4^{1-n}\cdot n}{25}=

Raccogliamo i fattori comuni degli addendi al numeratore così da ricondurci alla forma richiesta: in particolare (-1)^{n}\ \mbox{e} \ 4^{1-n} tra il primo e il terzo addendo (in altri termini lasciamo fuori dai giochi 41)

=\frac{(-1)^n 4^{1-n}\left[4^{2-n-1+n}(5n-1)-25n\right]+41}{25}=

e aggiustiamo i termini all'interno delle parentesi quadre

\\ =\frac{(-1)^n 4^{1-n}\left[4(5n-1)-25n\right]+41}{25}= \\ \\  \\ =\frac{(-1)^n 4^{1-n}\left[20n-4-25n\right]+41}{25}=

Sommiamo tra loro i monomi simili

=\frac{(-1)^{n}4^{1-n}\left[-5n-4\right]+41}{25}=

Raccogliamo il seno negativo nelle parentesi quadre e riportiamolo davanti a (-1)^{n}

=\frac{-(-1)^{n}4^{1-n}\left[5n+4\right]+41}{25}=

e, volendo, esprimiamo la frazione nella forma

=\frac{1}{25}\left[-(-1)^{n}4^{1-n}\left(5n+4\right)+41\right]

In definitiva abbiamo dimostrato che

a_{n+1}=\frac{1}{25}\left[-(-1)^{n}4^{1-n}\left(5n+4\right)+41\right]

come volevamo.
Ringraziano: CarFaby, J0sePH_

Esercizio forma chiusa di una successione per ricorrenza #98895

avt
J0sePH_
Punto
Chiedo scusa se rispondo ora, ho avuto qualche difficoltà ieri.

Grazie mille Ifrit sei un grande! Adesso ho le idee molto più chiare è una questione anche di allenamento e di proprietà...

Grazie ancora!
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Os