Esercizio forma chiusa di una successione per ricorrenza

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Esercizio forma chiusa di una successione per ricorrenza #98888

avt
J0sePH_
Punto
Vi scrivo perché ho un enorme problema con le successioni per ricorsione, in particolare non riesco a capire o per meglio dire non riesco a far coincidere la tesi (P(n+1)) con l'ipotesi (P(n)). Questa ne è un esempio.

Per ogni n ≥ 1

a_(0) = 1 ; a_(n) = a_(n-1)+(-(1)/(4))^(n-2)·(n-1)

Dimostrare che per ogni n ≥ 0

a_(n) = (1)/(25)[(-1)^(n)·4^(2-n)·(5n-1)+41]

Base (P(n)). Per n = 0 per a_(n).

Le prove per a_(n) ve le risparmio, ad ogni modo a_(n) = 1

1 = (1)/(25)[ (-1)^(0)·4^(2)·(0-1)+41]

che diventa:

1 = (1)/(25)[-16+41] → 1 = 1

Tesi:

a_(n+1) = (1)/(25)[(-1)^(n)·4^(2-n)·(5n-1)+41 ]+((1)/(4))^(n-1)·n

quest'ultimo messo per P(n+1).

Questa tesi deve essere uguale a:

a_(n) = (1)/(25)[(-1)^(n+1)·4^(2-(n+1))·(5(n+1)-1)+41]

Arrivati a questo punto mi spingo in calcoli che non mi portano da nessuna parte, cioè non faccio nulla di matematicamente illegale a livello di calcoli ma non riesco proprio a farli coincidere.
 
 

Esercizio forma chiusa di una successione per ricorrenza #98891

avt
Ifrit
Amministratore
Ciao J0sePh,

l'esercizio ci chiede di dimostrare che la successione definita per ricorrenza

a_(0) = 1 ; a_(n) = a_(n-1)+(-(1)/(4))^(n-2)·(n-1)

può essere espressa in forma chiusa mediante la legge

a_n = (1)/(25)[(-1)^n·4^(2-n)·(5n-1)+41]

In questa situazione, il principio di induzione è perfetto per dimostrare la proposizione.

Esso consta di soli tre passaggi: bisogna verificare il passo base; assumere come ipotesi che la proposizione sia vera per un generico n∈N e dimostrare che è vera la proposizione che si ottiene sostituendo a n il termine n+1.

In simboli matematici, indichiamo con P(n) la proposizione, ossia:

P(n): a_n = (1)/(25)[(-1)^n·4^(2-n)·(5n-1)+41] soddisfa la ricorsione ; a_(0) = 1 ; a_(n) = a_(n-1)+(-(1)/(4))^(n-2)·(n-1)

controlliamo che sia vera P(0), ossia verifichiamo il passo base (attenzione ai pedici):

1 = a_0 = (1)/(25)[(-1)^0·4^(2-0)(5·0-1)+41] =

Svolgiamo i calcoli, tenendo a mente che una potenza con esponente nullo e base diversa da zero vale 1.

= (1)/(25)[4^(2)(-1)+41] = (1)/(25)[-16+41] = (25)/(25) = 1

Il passo base è chiaramente verificato perché 1 = 1.

Passo induttivo: supponiamo che la proposizione sia vera per un generico numero naturale n, cioè supponiamo vera la proposizione

P(n): a_n = (1)/(25)[(-1)^n·4^(2-n)·(5n-1)+41] soddisfa la relazione ; a_(0) = 1 ; a_(n) = a_(n-1)+(-(1)/(4))^(n-2)·(n-1)

e sfruttiamo tale ipotesi per dimostrare che vera P(n+1). Più precisamente dobbiamo dimostrare che a_(n+1) sia nella forma:

a_(n+1) = (1)/(25)[(-1)^(n+1)·4^(2-(n+1))·(5(n+1)-1)+41] = (1)/(25)[-(-1)^(n)·4^(1-n)·(5n+4)+41]

Nota. Abbiamo utilizzato le proprietà delle potenze per esprimere (-1)^(n+1) come -(-1)^(n), infatti

(-1)^(n+1) = (-1)·(-1)^(n) = -(-1)^(n) per ogni n∈N

Rimpiazziamo a ogni occorrenza di n, l'espressione n+1 in P(n), partendo proprio dalla relazione di ricorrenza:

a_(n+1) = a_((n+1)-1)+(-(1)/(4))^((n+1)-2)·((n+1)-1) = a_(n)+(-(1)/(4))^(n-1)·n =

Poiché è vera l'ipotesi induttiva, possiamo sostituire il termine a_n con la relativa espressione e scrivere:

= (1)/(25)[(-1)^n·4^(2-n)·(5n-1)+41]+(-(1)/(4))^(n-1)·n =

Da qui in poi, entriamo nella fiera delle proprietà delle potenze.

In accordo con la regola sulla potenza di un prodotto, possiamo distribuire l'esponente n-1 a ciascun fattore della base -(1)/(4)

= (1)/(25)[(-1)^n·4^(2-n)·(5n-1)+41]+(-1)^(n-1)((1)/(4))^(n-1)·n =

Inoltre, siamo autorizzati a esprimere (1)/(4) come 4^(-1): è la definizione di potenza con esponente negativo letta al contrario.

= (1)/(25)[(-1)^n·4^(2-n)·(5n-1)+41]+(-1)^(n-1)(4^(-1))^(n-1)·n =

Perché fermarci qui?! Svolgiamo la potenza di potenza moltiplicando tra loro gli esponenti

= (1)/(25)[(-1)^n·4^(2-n)·(5n-1)+41]+(-1)^(n-1)·4^(1-n)·n =

Calcoliamo il minimo comune denominatore

= ((-1)^n·4^(2-n)·(5n-1)+41+25(-1)^(n-1)·4^(1-n)·n)/(25) =

ed esprimiamo (-1)^(n-1) come -(-1)^(n)

= ((-1)^n·4^(2-n)·(5n-1)+41-25(-1)^(n)·4^(1-n)·n)/(25) =

Raccogliamo i fattori comuni degli addendi al numeratore così da ricondurci alla forma richiesta: in particolare (-1)^(n) e 4^(1-n) tra il primo e il terzo addendo (in altri termini lasciamo fuori dai giochi 41)

= ((-1)^n 4^(1-n)[4^(2-n-1+n)(5n-1)-25n]+41)/(25) =

e aggiustiamo i termini all'interno delle parentesi quadre

= ((-1)^n 4^(1-n)[4(5n-1)-25n]+41)/(25) = ; ; = ((-1)^n 4^(1-n)[20n-4-25n]+41)/(25) =

Sommiamo tra loro i monomi simili

= ((-1)^(n)4^(1-n)[-5n-4]+41)/(25) =

Raccogliamo il seno negativo nelle parentesi quadre e riportiamolo davanti a (-1)^(n)

= (-(-1)^(n)4^(1-n)[5n+4]+41)/(25) =

e, volendo, esprimiamo la frazione nella forma

= (1)/(25)[-(-1)^(n)4^(1-n)(5n+4)+41]

In definitiva abbiamo dimostrato che

a_(n+1) = (1)/(25)[-(-1)^(n)4^(1-n)(5n+4)+41]

come volevamo.
Ringraziano: CarFaby, J0sePH_

Esercizio forma chiusa di una successione per ricorrenza #98895

avt
J0sePH_
Punto
Chiedo scusa se rispondo ora, ho avuto qualche difficoltà ieri.

Grazie mille Ifrit sei un grande! Adesso ho le idee molto più chiare è una questione anche di allenamento e di proprietà...

Grazie ancora!
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Os