Verifica di un limite con domande a risposta multipla

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Verifica di un limite con domande a risposta multipla #98831

avt
xxautod
Punto
Buongiorno, sono in difficoltà con questo esercizio a risposte multiple che riguarda la definizione di limite di una funzione.

Se \forall \epsilon>0 la disequazione |f(x)-2|<\epsilon è verificata per x<3-\frac{1}{\epsilon} allora:

1) \ \ \ \lim_{x \to -\infty} f(x)=3 \\ \\ 2) \ \ \ \lim_{x \to 3^{-}} f(x)=+\infty \\ \\ 3) \ \ \ \lim_{x \to +\infty} [f(x)+2]=0 \\ \\ 4) \ \ \ \lim_{x \to -\infty} [f(x)-2]=0 \\ \\ 5) \ \ \ \lim_{x \to +\infty} f(x)=2

Non mi è chiaro il modo di ragionare in questo tipo di esercizio.

Grazie e saluti.
 
 

Re: Verifica di un limite con domande a risposta multipla #98832

avt
Ifrit
Ambasciatore
Per rispondere al test a risposta multipla bisogna necessariamente conoscere tutte le definizioni di limite, ecco perché ti invito a ripassare le seguenti lezioni:

- limite finito al finito;

- limite infinito al finito;

- limite finito all'infinito;

- limite infinito all'infinito.

Analizziamo nel dettaglio la traccia.

Sappiamo che per ogni \varepsilon>0, la disequazione con valore assoluto |f(x)-2|<\varepsilon è verificata per x<3-\frac{1}{\varepsilon}.

Deve balzare subito all'occhio la relazione

|f(x)-2|<\varepsilon

dalla quale comprendiamo che quando \varepsilon diventa via via più piccolo, il modulo della differenza si rimpicciolisce a sua volta, conseguentemente

f(x)-2\to 0 \ \ \ \mbox{quando} \ \varepsilon \ \mbox{diventa piccolo}

Sempre al rimpicciolirsi di \varepsilon>0, la relazione

x<3-\frac{1}{\varepsilon}

individua un intorno di -\infty. Osserviamo infatti che più diventa piccolo \varepsilon, più diventa grande \frac{1}{\varepsilon} e fa sì che l'espressione 3-\frac{1}{\varepsilon} diventi sempre "più negativa" (diverge negativamente).

In termini più espliciti, x\to -\infty mentre f(x)-2\to 0, dunque

\lim_{x\to -\infty}[f(x)-2]=0

Facciamo la controprova.

In accordo con la definizione di limite finito per x\to -\infty

\lim_{x\to -\infty}[f(x)-2]=0

se e solo se per ogni \varepsilon>0, esiste un M<0 (che dipende da \varepsilon) tale che per ogni x\in Dom(f) che soddisfa la relazione x<M si ha che:

|f(x)-2|<\varepsilon

Nel nostro caso, l'M che realizza la definizione di limite è

M=3-\frac{1}{\varepsilon}

Abbiamo terminato.

Gli altri non possono essere soluzione del test perché non rispettano le condizioni della traccia.

Osserviamo infatti che:

1) \ \ \ \lim_{x\to -\infty}f(x)=3

se e solo se per ogni \varepsilon>0,\ \exists M<0 tale che per ogni x\in Dom(f) che soddisfa la relazione x<M si ha che

|f(x)-3|<\varepsilon


In base alla definizione di limite sinistro

2)\ \ \ \lim_{x\to 3^{-}}f(x)=+\infty

se e solo se per ogni \varepsilon>0, \ \exists \delta_{\varepsilon}>0 tale che per ogni x\in Dom(f) che soddisfa la relazione 3-\delta_{\varepsilon}<x<3 si ha che f(x)>\varepsilon.


3) \ \ \ \lim_{x\to +\infty}[f(x)+2]=0

In accordo con la definizione di limite finito per x\to +\infty, scriviamo:

per ogni \varepsilon>0 esiste un numero reale M>0 (dipendente da \varepsilon) tale che per ogni x\in Dom(f) che realizza x>M, allora

|f(x)+2|<\varepsilon


La 4) è la risposta esatta.


Consideriamo l'ultima:

5) \ \ \ \lim_{x\to +\infty}f(x)=2

In base alla definizione di limite finito all'infinito, il precedente limite è vero se e solo se per ogni \varepsilon>0, esiste M>0 tale che per ogni x\in Dom(f) che realizza la relazione x>M si ha che

|f(x)-2|<\varepsilon

Ecco fatto.
Ringraziano: Galois, CarFaby
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Os