Verifica di un limite con domande a risposta multipla

Buongiorno, sono in difficoltà con questo esercizio a risposte multiple che riguarda la definizione di limite di una funzione.

Se la disequazione è verificata per allora:



Non mi è chiaro il modo di ragionare in questo tipo di esercizio.

Grazie e saluti.

Per rispondere al test a risposta multipla bisogna necessariamente conoscere tutte le definizioni di limite, ecco perché ti invito a ripassare le seguenti lezioni:

- limite finito al finito;

- limite infinito al finito;

- limite finito all'infinito;

- limite infinito all'infinito.

Analizziamo nel dettaglio la traccia.

Sappiamo che per ogni , la disequazione con valore assoluto è verificata per .

Deve balzare subito all'occhio la relazione



dalla quale comprendiamo che quando diventa via via più piccolo, il modulo della differenza si rimpicciolisce a sua volta, conseguentemente



Sempre al rimpicciolirsi di , la relazione



individua un intorno di . Osserviamo infatti che più diventa piccolo , più diventa grande e fa sì che l'espressione diventi sempre "più negativa" (diverge negativamente).

In termini più espliciti, mentre , dunque



Facciamo la controprova.

In accordo con la definizione di limite finito per



se e solo se per ogni , esiste un (che dipende da ) tale che per ogni che soddisfa la relazione si ha che:



Nel nostro caso, l' che realizza la definizione di limite è



Abbiamo terminato.

Gli altri non possono essere soluzione del test perché non rispettano le condizioni della traccia.

Osserviamo infatti che:



se e solo se per ogni tale che per ogni che soddisfa la relazione si ha che




In base alla definizione di limite sinistro



se e solo se per ogni tale che per ogni che soddisfa la relazione si ha che .




In accordo con la definizione di limite finito per , scriviamo:

per ogni esiste un numero reale (dipendente da ) tale che per ogni che realizza , allora




La 4) è la risposta esatta.


Consideriamo l'ultima:



In base alla definizione di limite finito all'infinito, il precedente limite è vero se e solo se per ogni , esiste tale che per ogni che realizza la relazione si ha che



Ecco fatto.