Integrale di superficie con superficie parametrizzata

Prima di postare leggi le regole del Forum. Puoi anche leggere le ultime discussioni.
Questa sezione è un contenitore temporaneo per i topic speciali a pagamento (One-Shot)

Se hai acquistato uno o più Topic speciali, puoi pubblicarli qui cliccando su "Apri un Topic".

Il registro completo dei Topic risolti e in corso è disponibile sul proprio profilo.

Integrale di superficie con superficie parametrizzata #98767

avt
Faefnir
Punto
Sono alle prese con un integrale di superficie da calcolare su una superficie parametrizzata. Alcuni concetti, come il passaggio da coordinate cartesiane a coordinate polari mi sono noti mentre altri, come quello della parametrizzazione di una funzione, un po' meno.

L'esercizio è il seguente: calcolare l'integrale superficiale della funzione

f=(x - 1)^2 + (y - 2)^2

esteso alla superficie

P\equiv(1+\rho\cos(\theta) , 2+\rho\sin(\theta),4-\rho^2)\\ \\ \mbox{con }\theta\in[0, 2\pi],\ \rho\in[\sqrt{2}, \sqrt{3}]

Anche senza scendere nel dettaglio in ogni passaggio, qual è la procedura generale per questo genere di esercizio?

Vi ringrazio in anticipo.
 
 

Integrale di superficie con superficie parametrizzata #98769

avt
Ifrit
Ambasciatore
Ciao Faefnir,

l'esercizio chiede di determinare l'integrale di superficie (la trattazione teorica la trovi nel link, ti invito a prenderne visione) di cui conosciamo:

- la funzione di cui vogliamo determinare l'integrale

f(x,y,z)=(x-1)^2+(y-2)^2

(Nota: f(x,y,z) è una funzione scalare che dipende esplicitamente da x\ \mbox{e}\ y)

- la superficie, già parametrizzata

P(\rho,\theta)=(1+\rho\cos(\theta), 2+\rho\sin(\theta), 4-\rho^2)

dove \rho\in[\sqrt{2},\sqrt{3}] mentre \theta\in [0,2\pi].

La strategia risolutiva di questa tipologia di esercizi è pressoché standard: è richiesta la massima attenzione nei calcoli.

Il primo passaggio consiste nel calcolare le derivate rispetto a \rho\ \mbox{e a} \ \theta della parametrizzazione, in particolare:

- la derivata rispetto a \rho della parametrizzazione si ricava derivando le sue componenti rispetto alla variabile:

P_{\rho}(\rho,\theta)=(\cos(\theta),\sin(\theta),-2\rho)

- la derivata rispetto a \theta della parametrizzazione P si ricava derivando le sue componenti rispetto a \theta

P_{\theta}(\rho,\theta)=(-\rho\sin(\theta), \rho\cos(\theta), 0)

Note le derivate della parametrizzazione, calcoliamo il vettore normale alla superficie: per farlo è sufficiente calcolare il prodotto vettoriale tra i vettori P_{\rho}\ \mbox{e} \ P_{\theta}. Nel caso in esame, il prodotto vettore è:

N(\rho,\theta)=P_{\rho}\times P_{\theta}=(2\rho^2\cos(\theta),2\rho^2\sin(\theta),\rho)

A questo punto calcoliamo la norma del vettore N, definita come la radice quadrata della somma tra i quadrati delle componenti del vettore

\\ ||N(\rho, \theta)||=\sqrt{[2\rho^2\cos(\theta)]^2+[2\rho^2\sin(\theta)]^2+\rho^2}= \\ \\ =\sqrt{4\rho^4\cos^2(\theta)+4\rho^4\sin^2(\theta)+\rho^2}=\\ \\ =\sqrt{4\rho^4+\rho^2}=\rho\sqrt{4\rho^2+1}

Continuiamo con la risoluzione: abbiamo bisogno della composizione tra la funzione f(x,y,z) e la parametrizzazione della superficie, vale a dire f(P(\rho,\theta)): in termini espliciti, in f sostituiremo x con la prima componente di P; y con la seconda componente di P; z con la terza componente di P

\\ f(P(\rho, \theta))=(1+\rho\cos(\theta)-1)^2+(2+\rho\sin(\theta)-2)^2= \\ \\ =\rho^2\cos^2(\theta)+\rho^2\sin^2(\theta)=\rho^2

Nota: nell'ultima uguaglianza è intervenuta la relazione fondamentale della goniometria.

Finalmente possediamo tutti gli ingredienti per applicare la definizione stessa di integrale di superficie:

\\ \int_{P}fdP=\iint_{D}f(P(\rho,\theta))||N(\rho,\theta)||d\rho d\theta=\\ \\ \\ =\iint_{D}\rho^2\cdot\rho\sqrt{4\rho^2+1} d\rho d\theta=

dove D è l'insieme [\sqrt{2},\sqrt{3}]\times[0,2\pi]. L'integrale doppio da risolvere diventa quindi

=\int_{0}^{2\pi}\left[\int_{\sqrt{2}}^{\sqrt{3}}\rho^2\cdot\rho\sqrt{4\rho^2+1}\ d\rho\right] d\theta

Risolviamo l'integrale rispetto alla variabile \rho tralasciando per il momento gli estremi di integrazione.

\int\rho^2\cdot \rho\sqrt{4\rho^2+1}\ d\rho

Per poterlo risolvere procederemo con il metodo di integrazione per parti, scegliendo come fattore finito (facile da derivare) f(\rho)=\rho^2, e come fattore differenziale (facile da integrare) g'(\rho)=\rho\sqrt{4\rho^2+1}

\\ f(\rho)=\rho^2 \ \ \ \to \ \ \ f'(\rho)=2\rho \\ \\ g'(\rho)=\rho\sqrt{4\rho^2+1}\ \ \ \to \ \ \ g(\rho)=\frac{1}{12}(1+4\rho^2)^{\frac{3}{2}}

Grazie alla formula di integrazione per parti, l'integrale

\int\rho^2\cdot\rho\sqrt{4\rho^2+1}\ d\rho=

diventa

=\rho^2\cdot\frac{1}{12}(1+4\rho^2)^{\frac{3}{2}}-\int 2\rho\cdot\frac{1}{12}(1+4\rho^2)^{\frac{3}{2}}d\rho=

Semplifichiamo 2 con 12, dopodiché trasportiamo fuori da simbolo di integrale la costante moltiplicativa

=\rho^2\cdot\frac{1}{12}(1+4\rho^2)^{\frac{3}{2}}-\frac{1}{6}\int \rho\cdot(1+4\rho^2)^{\frac{3}{2}}d\rho=(\bullet)

Osserviamo a questo punto che l'integrale rimasto è quasi nella forma

\int[f(\rho)]^{\alpha}f'(\rho)d\rho=\frac{[f(\rho)]^{\alpha+1}}{\alpha+1}+c\ \ \ \mbox{con} \ \alpha\ne -1

ci manca solo un 8 nell'integranda, ecco perché moltiplichiamo e dividiamo per tale coefficiente:

\\ (\bullet)=\rho^2\cdot\frac{1}{12}(1+4\rho^2)^{\frac{3}{2}}-\frac{1}{6}\cdot\frac{1}{8}\int 8\rho\cdot(1+4\rho^2)^{\frac{3}{2}}d\rho= \\ \\ \\ =\rho^2\cdot\frac{1}{12}(1+4\rho^2)^{\frac{3}{2}}-\frac{1}{48}\cdot \frac{(1+4\rho^2)^{\frac{3}{2}+1}}{\frac{3}{2}+1}+c=\\ \\ \\ =\rho^2\cdot\frac{1}{12}(1+4\rho^2)^{\frac{3}{2}}-\frac{1}{48}\cdot\frac{2}{5} (1+4\rho^2)^{\frac{5}{2}}+c= \\ \\ \\ =\frac{\rho^2}{12}(1+4\rho^2)^{\frac{3}{2}}-\frac{1}{120}(1+4\rho^2)^{\frac{5}{2}}+c

Ora possiamo dedicarci all'integrale doppio

\\ \int_{0}^{2\pi}\left[\int_{\sqrt{2}}^{\sqrt{3}}\rho^2\cdot\rho\sqrt{4\rho^2+1}\ d\rho\right] d\theta=\\ \\ \\ =\int_{0}^{2\pi}\left[\frac{\rho^2}{12}(1+4\rho^2)^{\frac{3}{2}}-\frac{1}{120}(1+4\rho^2)^{\frac{5}{2}}\right]_{\rho=\sqrt{2}}^{\rho=\sqrt{3}}d\theta=\\ \\ \\ =\int_{0}^{2\pi}\left[\frac{221\sqrt{13}}{120}-\frac{99}{40}\right]d\theta= 2\pi\cdot\left[\frac{221\sqrt{13}}{120}-\frac{99}{40}\right]

Abbiamo finito.

Nota: l'esercizio di per sé non è difficile. In questo caso, l'unico passaggio delicato è proprio il calcolo dell'integrale, oggetto di studio di Analisi 1.
Ringraziano: Omega, CarFaby, Faefnir

Integrale di superficie con superficie parametrizzata #98777

avt
Faefnir
Punto
Grazie infinite! emt
  • Pagina:
  • 1
Os