Espressione con frazioni, potenze e parentesi

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Espressione con frazioni, potenze e parentesi #98677

avt
Leondrago
Punto
Non riesco a risolvere la seguente espressione con le frazioni e con le potenze. In teoria va risolta con le proprietà delle potenze.

Calcolare il valore della seguente espressione

\left\{\left[\left(\frac{4}{15}\right)^2\cdot\left(\frac{5}{2}\right)^2\right]^3\cdot\left(-\frac{5}{2}\right)^6\cdot\left(\frac{3}{10}\right)^{5}-\left(-\frac{1}{2}\right)^2\cdot\frac{1}{6}\right\}\left\{\left[(-2)^2\right]^{-1}\right\}^{-2}

Risultato \frac{1}{6}.

Grazie mille, Leonardo.
 
 

Espressione con frazioni, potenze e parentesi #98681

avt
Ifrit
Amministratore
Ciao Leondrago,

proponiamoci di risolvere l'espressione fratta con le potenze

\left\{\left[\left(\frac{4}{15}\right)^2\cdot\left(\frac{5}{2}\right)^2\right]^3\cdot\left(-\frac{5}{2}\right)^6\cdot\left(\frac{3}{10}\right)^{5}-\left(-\frac{1}{2}\right)^2\cdot\frac{1}{6}\right\}\left\{\left[(-2)^2\right]^{-1}\right\}^{-2}=

Ci avvarremo delle opportune proprietà delle potenze, così da ricavare il risultato nel minor numero di passaggi.

Inoltre dovremo tenere conto dell'ordine delle operazioni: daremo la precedenza alle potenze, dopodiché ci occuperemo delle moltiplicazioni e divisioni, e infine toccherà alle addizioni e sottrazioni.

A complicare l'esercizio ci sono le parentesi: bisognerà iniziare dalle operazioni tra parentesi tonde.

Dopo questo preambolo, iniziamo sfruttando la proprietà sul prodotto di due potenze con lo stesso esponente, grazie alla quale ci riconduciamo all'espressione

=\left\{\left[\left(\frac{4}{15}\cdot\frac{5}{2}\right)^2\right]^3\cdot\left(-\frac{5}{2}\right)^6\cdot\left(\frac{3}{10}\right)^{5}-\left(-\frac{1}{2}\right)^2\cdot\frac{1}{6}\right\}\left\{\left[(-2)^2\right]^{-1}\right\}^{-2}=

Eseguiamo la moltiplicazione tra le frazioni \frac{4}{15}\ \mbox{e} \ \frac{5}{2}, non prima di aver semplificato in croce il 5 con il 15 e il 4 con il 2

\\ =\left\{\left[\left(\frac{2}{3}\cdot\frac{1}{1}\right)^2\right]^3\cdot\left(-\frac{5}{2}\right)^6\cdot\left(\frac{3}{10}\right)^{5}-\left(-\frac{1}{2}\right)^2\cdot\frac{1}{6}\right\}\left\{\left[(-2)^2\right]^{-1}\right\}^{-2}= \\ \\ \\ =\left\{\left[\left(\frac{2}{3}\right)^2\right]^3\cdot\left(-\frac{5}{2}\right)^6\cdot\left(\frac{3}{10}\right)^{5}-\left(-\frac{1}{2}\right)^2\cdot\frac{1}{6}\right\}\left\{\left[(-2)^2\right]^{-1}\right\}^{-2}=

Calcoliamo la potenza di potenza \left[\left(\frac{2}{3}\right)^{2}\right]^{3}, che secondo la regola omonima, sarà uguale alla potenza con base \frac{2}{3} ed esponente uguale al prodotto tra 2 e 3.

\\ =\left\{\left(\frac{2}{3}\right)^{2\cdot 3}\cdot\left(-\frac{5}{2}\right)^6\cdot\left(\frac{3}{10}\right)^{5}-\left(-\frac{1}{2}\right)^2\cdot\frac{1}{6}\right\}\left\{\left[(-2)^2\right]^{-1}\right\}^{-2}=\\ \\ \\ =\left\{\left(\frac{2}{3}\right)^{6}\cdot\left(-\frac{5}{2}\right)^6\cdot\left(\frac{3}{10}\right)^{5}-\left(-\frac{1}{2}\right)^2\cdot\frac{1}{6}\right\}\left\{\left[(-2)^2\right]^{-1}\right\}^{-2}=

Osserviamo che con la stessa proprietà, siamo in grado di svolgere anche l'ultima potenza di potenza

\\ =\left\{\left(\frac{2}{3}\right)^{6}\cdot\left(-\frac{5}{2}\right)^6\cdot\left(\frac{3}{10}\right)^{5}-\left(-\frac{1}{2}\right)^2\cdot\frac{1}{6}\right\}\cdot (-2)^{2\cdot (-1)\cdot (-2)}= \\ \\ \\ =\left\{\left(\frac{2}{3}\right)^{6}\cdot\left(-\frac{5}{2}\right)^6\cdot\left(\frac{3}{10}\right)^{5}-\left(-\frac{1}{2}\right)^2\cdot\frac{1}{6}\right\}\cdot (-2)^{4}=

Orbene, svolgiamo le operazioni interne alle parentesi graffe, applicando a dovere le proprietà delle potenze.

Svolgiamo la prima moltiplicazione, osservando che i fattori sono potenze con lo stesso esponente

\\ =\left\{\left(\frac{2}{3}\cdot\left(-\frac{5}{2}\right)\right)^{6}\cdot\left(\frac{3}{10}\right)^{5}-\left(-\frac{1}{2}\right)^2\cdot\frac{1}{6}\right\}\cdot (-2)^{4}=

Semplificando in croce ed eseguendo la moltiplicazione, otteniamo inoltre:

\\ =\left\{\left(\frac{1}{3}\cdot\left(-\frac{5}{1}\right)\right)^{6}\cdot\left(\frac{3}{10}\right)^{5}-\left(-\frac{1}{2}\right)^2\cdot\frac{1}{6}\right\}\cdot (-2)^{4}=\\ \\ \\ =\left\{\left(-\frac{5}{3}\right)^{6}\cdot\left(\frac{3}{10}\right)^{5}-\left(-\frac{1}{2}\right)^2\cdot\frac{1}{6}\right\}\cdot (-2)^{4}=

Svolgiamo il prodotto tra \left(-\frac{5}{3}\right)^{6}\ \mbox{e} \ \left(\frac{3}{10}\right)^5. In questa occasione, non possiamo utilizzare la proprietà precedente - perché le due potenze non hanno lo stesso esponente - né conviene sviluppare le potenze perché i numeri sarebbero davvero molto grandi - per capirci 5^6=15625.

Facciamoci furbi! Distribuiamo l'esponente di ciascun frazione sia al numeratore che al denominatore, riconducendoci così all'espressione:

=\left\{\frac{(-5)^6}{3^6}\cdot\frac{3^5}{10^5}-\left(-\frac{1}{2}\right)^2\cdot\frac{1}{6}\right\}\cdot (-2)^{4}=(\bullet)

Il passaggio che segue è davvero molto delicato e richiede la massima attenzione! Proprio per evitare di lavorare con numeri grandi, scomponiamo in fattori primi il numero 10 come prodotto tra 2 e 5, dopodiché usiamo la regola sulla potenza di un prodotto che consente di distribuire l'esponente a ciascun fattore della base. Più esplicitamente

10^{5}=(2\cdot 5)^{5}=2^{5}\cdot 5^{5}

Siamo pertanto autorizzati a riscrivere l'espressione come segue:

\\ (\bullet)=\left\{\frac{(-5)^6}{3^6}\cdot\frac{3^5}{2^5\cdot 5^5}-\left(-\frac{1}{2}\right)^2\cdot\frac{1}{6}\right\}\cdot (-2)^{4}=

Osserviamo che (-5)^6=5^6, perché è la potenza di un numero negativo il cui esponente è un numero pari.

=\left\{\frac{5^6}{3^6}\cdot\frac{3^5}{2^5\cdot 5^5}-\left(-\frac{1}{2}\right)^2\cdot\frac{1}{6}\right\}\cdot (-2)^{4}=

A questo punto, semplifichiamo in croce 5^6 con 5^5 e 3^{5} con 3^{6}

\\ =\left\{\frac{5^{6-5}}{3^{6-5}}\cdot\frac{1}{2^5\cdot 1}-\left(-\frac{1}{2}\right)^2\cdot\frac{1}{6}\right\}\cdot (-2)^{4}= \\ \\ \\ =\left\{\frac{5}{3}\cdot\frac{1}{2^5}-\left(-\frac{1}{2}\right)^2\cdot\frac{1}{6}\right\}\cdot (-2)^{4}=

Poiché 2^5=32, l'espressione diventa:

\\ =\left\{\frac{5}{3}\cdot\frac{1}{32}-\left(-\frac{1}{2}\right)^2\cdot\frac{1}{6}\right\}\cdot (-2)^{4}=\\ \\ \\ =\left\{\frac{5}{96}-\left(-\frac{1}{2}\right)^2\cdot\frac{1}{6}\right\}\cdot (-2)^{4}=

Siamo in dirittura d'arrivo: calcoliamo il quadrato di -\frac{1}{2}

=\left\{\frac{5}{96}-\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{6}\right\}\cdot (-2)^{4}=

e svolgiamo il prodotto presente nelle parentesi graffe

=\left\{\frac{5}{96}-\frac{1}{24}\right\}\cdot (-2)^{4}=

Calcoliamo inoltre la differenza tra le frazioni, esprimendole a denominatore comune

\ =\left\{\frac{5-4}{96}\right\}\cdot (-2)^4= \\ \\ \\ = \frac{1}{96}\cdot (-2)^4=\frac{1}{96}\cdot 16=\frac{16}{96}=

e infine riduciamo ai minimi termini la frazione ottenuta dividendo numeratore e denominatore per 16.

=\frac{1}{6}

Abbiamo finito.
Ringraziano: Omega, Galois, CarFaby, Leondrago, BepiProva
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Os