Esercizio sul carattere di una serie a segni alterni

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Esercizio sul carattere di una serie a segni alterni #98591

avt
peppe2994
Punto
Determinare il carattere della seguente serie al variare del parametro \alpha nei reali.

\sum_{2}^{\infty} (-1)^n\left(\frac{n^3+3}{n^3-5}\right)^{\alpha n^4}

Domande correlate:
1)Ma quel -1 non c'è modo di farlo entrare dentro il termine generale ?

2)Quando sia il criterio di Leibniz che la verifica sulla convergenza assoluta falliscono, esiste qualche altro metodo valido per la determinazione del carattere di una serie a segni alterni ?
 
 

Esercizio sul carattere di una serie a segni alterni #98594

avt
Ifrit
Amministratore
L'esercizio chiede di determinare il comportamento della serie a segni alterni

\sum_{n=2}^{+\infty}(-1)^n\left(\frac{n^3+3}{n^3-5}\right)^{\alpha n^4}

al variare del parametro reale \alpha. In queste situazioni è opportuno individuare gli eventuali valori di \alpha per i quali è verificata la condizione necessaria per la convergenza di una serie. In maniera più esplicita, indicato con a_n il termine generale della serie, ossia:

a_n=(-1)^{n}\left(\frac{n^3+3}{n^3-5}\right)^{\alpha n^4}

ricercheremo i valori di \alpha per cui il seguente limite è zero:

\lim_{n\to +\infty}a_n= 0 \ \ \ \to \ \ \ \lim_{n\to +\infty}(-1)^{n}\left(\frac{n^3+3}{n^3-5}\right)^{\alpha n^4}=0

Se infatti viene meno questa condizione, certamente la serie data non converge.

Per poter semplificare il nostro compito, sfruttiamo un teorema riguardante il limiti con il valore assoluto:

\lim_{n\to +\infty}a_n=0 \iff \lim_{n\to +\infty}|a_n|=0

Applicandolo al caso in esame, possiamo bellamente tralasciare il termine (-1)^n per analizzare il limite.

Consideriamo quindi il seguente limite di successione

\lim_{n\to+\infty}\left(\frac{n^3+3}{n^3-5}\right)^{\alpha n^4}=

e procediamo con alcuni passaggi algebrici che ci permettono di ricondurci in qualche modo a dei limiti facili da risolvere.

Per prima cosa sommiamo e sottraiamo 5 al numeratore

=\lim_{n\to+\infty}\left(\frac{n^3-5+8}{n^3-5}\right)^{\alpha n^4}=

e spezziamo l'espressione tra parentesi in somma di frazioni

=\lim_{n\to+\infty}\left(\frac{n^3-5}{n^3-5}+\frac{8}{n^3-5}\right)^{\alpha n^4}=

Semplifichiamo n^3-5

=\lim_{n\to+\infty}\left(1+\frac{8}{n^3-5}\right)^{\alpha n^4}=

A questo punto utilizziamo la relazione notevole

a^b=e^{b\ln(a)} \ \ \ \mbox{con} \ a >0

che consente di esprimere una potenza come un'esponenziale con all'esponente un logaritmo naturale. Il limite pertanto diventa:

=\lim_{n\to+\infty}e^{\alpha n^4 \ln\left(1+\frac{8}{n^3-5}\right)}

In accordo con l'andamento della funzione esponenziale, sappiamo che essa tende a zero se e solo se il suo esponente tende a meno infinito, pertanto dobbiamo trovare i valori di \alpha per cui il limite seguente è -\infty:

\lim_{n\to +\infty}\alpha n^4\ln\left(1+\frac{8}{n^3-5}\right)=(\bullet)

Questo limite può essere studiato agilmente per mezzo delle successioni asintotiche, in particolare ci verrà utile la seguente stima asintotica notevole

\ln(1+\beta_{n})\sim_{\beta_n\to 0}\beta_{n}

valida se \beta_n è una successione infinitesima. Tale relazione consente di passare al limite

(\bullet)=\lim_{n\to +\infty}\alpha n^4\cdot\frac{8}{n^3-5}=\lim_{n\to+\infty}\frac{8\alpha n^4}{n^3-5}=

Nota: poiché n^3 è un infinito, possiamo trascurare -5 al denominatore e scrivere:

=\lim_{n\to+\infty}\frac{8\alpha n^4}{n^3}=\lim_{n\to+\infty}8\alpha n=\begin{cases}-\infty&\mbox{se} \ \alpha<0 \\ 0&\mbox{se} \ \alpha=0  \\ +\infty &\mbox{se} \ \alpha>0\end{cases}

di conseguenza

\lim_{n\to+\infty}e^{\alpha n^4 \ln\left(1+\frac{8}{n^3-5}\right)}=\begin{cases}0&\mbox{se}\ \alpha<0 \\ 1&\mbox{se}\ \alpha=0 \\ +\infty &\mbox{se}\ \alpha>0 \end{cases}

Affinché sia soddisfatta la condizione necessaria per la convergenza, dobbiamo pretendere che \alpha sia un numero reale negativo, in caso contrario la serie non converge.

A questo punto studiamo la serie con i metodi opportuni partendo dal presupposto che utilizzare il criterio di Leibniz è altamente sconsigliato per via della pessima espressione del termine generale. Il metodo alternativo consiste nello studiare la convergenza assoluta della serie e sperare di ricavare le dovute conclusioni per tutti gli \alpha<0.

Studiamo quindi la serie

\sum_{n=2}^{+\infty}|a_n|=\sum_{n=2}^{+\infty}\left(\frac{n^3+3}{n^3-5}\right)^{\alpha n^4}

Se converge la nuova serie, convergerà anche la serie di partenza.

Il vantaggio di lavorare con questa serie consiste nel fatto che essa è a termini positivi, ergo possiamo utilizzare sia il criterio del rapporto oppure il metodo della radice.

Proprio perché compare n^{4} all'esponente, il criterio della radice è quello da preferire.

Impostiamo e calcoliamo il limite

\lim_{n\to+\infty}\sqrt[n]{|a_n|}=\lim_{n\to +\infty}\sqrt[n]{\left(\frac{n^3+3}{n^3-5}\right)^{\alpha n^4}}=

Esprimiamo la radice n-esima in forma di potenza con esponente fratto

=\lim_{n\to +\infty}\left(\frac{n^3+3}{n^3-5}\right)^{\frac{\alpha n^4}{n}}}=

e una volta semplificata in maniera opportuna l'esponente, ricaviamo il limite

=\lim_{n\to +\infty}\left(\frac{n^3+3}{n^3-5}\right)^{\alpha n^3}=

Procediamo esattamente come prima, sommiamo e sottraiamo 5 e spezziamo la frazione in maniera tale da ricondurci a qualcosa di notevole

=\lim_{n\to +\infty}\left(\frac{n^3-5+8}{n^3-5}\right)^{\alpha n^3}=\lim_{n\to+\infty}\left(1+\frac{8}{n^3-5}\right)^{\alpha n^3}=

Scriviamo la potenza in forma esponenziale

=\lim_{n\to+\infty}e^{\alpha n^3\ln\left(1+\frac{8}{n^3-5}\right)}=

Come prima, sfruttiamo ancora una volta la stima asintotica del logaritmo e scriviamo il risultato

=\lim_{n\to+\infty}e^{\alpha \frac{8n^3}{n^3-5}}=e^{8\alpha}

Ricordiamo che il criterio della radice ha esito positivo (garantisce cioè la convergenza) se e solo se il limite della radice è minore di 1, pertanto impostiamo e risolviamo la disequazione esponenziale

e^{8\alpha}<1\ \ \to \ \ 8\alpha<0 \ \ \to \ \ \alpha<0

Possiamo pertanto affermare che per \alpha<0 vi è convergenza assoluta.

In definitiva per ogni \alpha<0 la condizione necessaria di convergenza è soddisfatta, inoltre la serie iniziale converge assolutamente (e quindi semplicemente).

Per gli altri valori del parametro, la serie non converge perché viene meno la condizione necessaria.

Domande correlate

1. No, in questo caso non è possibile trasportare (-1)^{n} all'interno della parentesi: te lo vietano le proprietà delle potenze. Avresti potuto farlo se l'esponente della parentesi fosse stato n.

2. Oltre al criterio di convergenza assoluta e criterio di Leibniz, non esistono altri metodi elementari che consentono di studiare la convergenza di serie a segni alterni.
Ringraziano: Omega, peppe2994

Esercizio sul carattere di una serie a segni alterni #98596

avt
peppe2994
Punto
Mi hai chiarito un mondo. Tutto perfetto, grazie.
Ringraziano: Ifrit
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Os