Funzioni di più variabili: minimo relativo e formula di Taylor

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Funzioni di più variabili: minimo relativo e formula di Taylor #98581

avt
Faefnir
Punto
Salve a tutti. Sto studiando la parte relativa ai punti critici di una funzione di n variabili.

Sia f(p) : A \subset \mathbb{R}^n, dove p = \vec{x} = \langle x_1, x_2, \dots x_n \rangle

p^0 è un punto di minimo relativo se presenta un intorno I_\delta dove in ogni punto di questo intorno sussiste la relazione

f(p) \geq f(p^0)

Condizione necessaria perché p^0 sia di minimo relativo per la funzione f(p) è che tutte le derivate prime siano nulle in p^0 e la matrice Hessiana in p^0 sia semidefi nita positiva.

Condizione sufficiente perché p^0 sia di minimo relativo per la funzione f(p) è che tutte le derivate prime siano nulle in p^0 e la matrice Hessiana in p^0 sia defi nita positiva.

Stando alla spiegazione presente nell'opuscolo fornito dal nostro docente, si cerca di dimostrare la relazione f(p) \geq f(p^0) tramite l'uso della formula di Taylor per più variabili.
Nell'ipotesi che f(p) sia derivabile due volte, si può scrivere la formula di Taylor, con n = 2, della funzione f(p) nei dintorni di p^0

f(p) - f(p^0) = \left( \dfrac{\partial f}{\partial x_i} \right)_{p^0} + \frac{1}{2} \left( \dfrac{\partial^2 f}{\partial x_i \partial x_i} \right)_{p^0} (x_i + x^0_i) (x_j + x^0_j) + \sigma
con
\lim_{p \to p^0} \dfrac{\sigma}{||p - p^0||^2} = 0

il termine \left(\frac{\partial f}{\partial x_i} \right)_{p^0} è uguale 0 per il teorema di Fermat. Ora, citando l'opuscolo fornito dal docente

in corrispondenza al numero positivo \frac{1}{4}m esiste un \delta > 0 tale che per ||p - p^0|| < \delta

si ha

-\dfrac{1}{4}m < \dfrac{\sigma}{||p - p^0||^2} < \dfrac{1}{4}m

quindi

\dfrac{f(p) - f(p^0)}{||p - p^0||} \geq \dfrac{1}{2}m + \dfrac{\sigma}{||p - p^0||^2} > \dfrac{1}{2}m - \dfrac{1}{4}m = \dfrac{1}{4}m


Fermo restando che non abbiamo mai approfondito la parte relativa al resto di Peano, avrei alcune domande: m sarebbe il valore del minimo assoluto? Qualcuno saprebbe spiegarlo meglio? Il docente ha omesso dei passaggi intermedi?

Grazie in anticipo
 
 

Re: Funzioni di più variabili: minimo relativo e formula di Taylor #98582

avt
Ifrit
Ambasciatore
Ciao Faenrir,

ho tentato di leggere e interpretare più e più volte la spiegazione fornita dal tuo insegnante, però ho l'impressione che ci sia più di qualche problema sia nelle notazioni adottate, sia nella spiegazione.

Quell'm poi compare all'improvviso e non è chiaro cosa rappresenti.

Se tanto mi dà tanto, ho l'impressione che il tuo insegnante utilizzi la seguente definizione di matrice definita positiva

Sia M una matrice quadrata simmetrica di ordine n, diremo che M è una matrice definita positiva se e solo se esiste m>0 tale che

x^{t}Mx\ge m||x||^2 \ \ \ \mbox{per ogni} \ x\in\mathbb{R}^n

dove x^{t} è il vettore riga, trasposto di x (vettore colonna).

Controlla sui tuoi appunti e aggiornami per favore.

NOTA: ho riscontrato diverse anomalie nei segni, per favore potresti controllare e dirmi se ci sono dei typo?

(Se posso permettermi, il tuo professore ha utilizzato delle notazioni infelici.)
Ringraziano: CarFaby, Faefnir

Re: Funzioni di più variabili: minimo relativo e formula di Taylor #98583

avt
Faefnir
Punto
Si, effettivamente con queste espressioni il concetto è più difficile di quello che lo è già in realtà.
Per quanto riguarda eventuali errori di battitura, non ne ho trovato a parte l'ultima espressione dove ho dimenticato di imporla maggiore di zero

\dfrac{f(p) - f(p^0)}{||p - p^0||} \geq \dfrac{1}{2}m + \dfrac{\sigma}{||p - p^0||^2} > \dfrac{1}{2}m - \dfrac{1}{4}m = \dfrac{1}{4}m > 0

Per completezza di informazione, riporto anche ciò che c'è scritto dopo questa espressione

da cui f(p) > f(p^0) per ||p - p^0|| < \delta, \quad p \neq p^0, come volevasi dimostrare. Si noti che il nostro risultato è più forte di quello richiesto, cioè f(p) \geq f(p^0) Pertanto la nostra condizione è sufficiente perché in p^0 ci sia un minimo proprio, cioè non solo è minore o uguale a tutti i valori assunti nell'intorno, ma in nessuno di tali altri punti la funzione assume lo stesso valore che in p^0.

Re: Funzioni di più variabili: minimo relativo e formula di Taylor #98584

avt
Ifrit
Ambasciatore
Ok, tentiamo di venirne a capo, mettendoci comodi in \mathbb{R}^2 (tanto il tuo insegnante ragiona per n=2).

Prendiamo in considerazione solo la condizione sufficiente, che è la parte critica.

Sia f:A\subset\mathbb{R}^2\to \mathbb{R} una funzione scalare. Sia p^{0}=(x_1^0, x_2^0) un punto di A,

se f è derivabile due volte in p^{0}, allora

se la matrice Hessiana è definita positiva, allora p^{0} è un punto di minimo relativo.

Dimostrazione: il trucco consiste nell'utilizzare il teorema di Taylor per funzioni di più variabili e scrivere l'approssimazione di Taylor centrato in $p^{0}$

f(p)=f(p^{0})+\nabla f(p^{0})\cdot (p-p^0)+\frac{1}{2}(p-p^0)^{t}\cdot H_{f}(p^0)(p-p^0)+\sigma

dove

\nabla f(p^{0}) è il gradiente della funzione f(p) valutato in p^{0}

H_{f}(p^{0}) è la matrice hessiana associata alla funzione f(p)

\sigma rappresenta una qualsiasi funzione di due variabili infinitesima per p\to p^{0}, il cui ordine di infinitesimo rispetto all'infinitesimo ||p-p^0||^2 è pari a due.

Nota che il simbolo \cdot rappresenta il prodotto scalare euclideo.

Per il teorema di Fermat sui punti stazionari, poiché p^{0} è un punto di minimo allora il gradiente di f valutato in p^{0} deve essere identicamente nullo, ergo l'approssimazione di Taylor diventa

f(p)=f(p^{0})+\frac{1}{2}(p-p^0)^{t}\cdot H_{f}(p^0)\cdot (p-p^0)+\sigma

Trasportiamo al primo membro f(p^{0})

f(p)-f(p^{0})=\frac{1}{2}(p-p^0)^{t}\cdot H_{f}(p^0)\cdot (p-p^0)+\sigma

e per p\ne p^{0} dividiamo i due membri per il quadrato della norma di p-p^{0}

\frac{f(p)-f(p^{0})}{||p-p^{0}||^2}=\frac{1}{2}\frac{(p-p^0)^{t}\cdot H_{f}\cdot (p^0)(p-p^0)}{||p-p^{0}||^2}+\frac{\sigma}{||p-p^{0}||^2}

(Nota il quadrato al denominatore al primo membro)

Per ipotesi H_{f} è una matrice definita positiva, di conseguenza per definizione (alternativa) di matrice hessiana definita positiva, esiste m>0 tale che per ogni x\in\mathbb{R}^2 si ha che

x^{t}\cdot H_{f}(p^0)\cdot x\ge m||x||^2

Data l'arbitrarietà di x, possiamo sceglierlo anche pari a x=(p-p^{0}) così che la definizione diventi:

(p-p^{0})^{t}\cdot H_{f}(p^{0})\cdot (p-p^{0})\ge m ||p-p^{0}||^2

Questa disuguaglianza consente di scrivere la seguente:

\\ \frac{f(p)-f(p^{0})}{||p-p^{0}||^2}=\frac{1}{2}\frac{(p-p^0)^{t}\cdot H_{f}(p^0)\cdot (p-p^0)}{||p-p^{0}||^2}+\frac{\sigma}{||p-p^{0}||^2}\ge \\ \\ \\ \ge \frac{1}{2}\frac{m ||p-p^{0}||^2}{||p-p^{0}||^2}+\frac{\sigma}{||p-p^{0}||^2}

da cui semplificando

\frac{f(p)-f(p^{0})}{||p-p^{0}||^2}\ge \frac{1}{2}m+\frac{\sigma}{||p-p^{0}||^2}

Adesso vi è un trucchetto che puoi applicare ogniqualvolta hai una funzione infinitesima: tale trucco serve a garantire la positività di f(p)-f(p^{0}).

Consideriamo il numero positivo \frac{1}{4}m (è positivo perché m lo è).

Poiché \frac{\sigma}{||p-p^{0}||^2} è infinitesimo per p\to p^{0}, riusciamo a determinare un \delta>0 tale che se

||p-p^{0}||<\delta \ \ \ \mbox{con} \ p\ne p^{0}

allora

-\frac{1}{4}m<\frac{\sigma}{||p-p^0||^2}<\frac{1}{4}m

Della doppia disuguaglianza, quella che ci interessa è

-\frac{1}{4}m<\frac{\sigma}{||p-p^{0}||^2}

grazie alla quale

\frac{f(p)-f(p^{0})}{||p-p^{0}||^2}\ge \frac{1}{2}m+\overbrace{\frac{\sigma}{||p-p^{0}||^2}}^{>-\frac{1}{4}m}

diventa

\frac{f(p)-f(p^{0})}{||p-p^{0}||^2}>\frac{1}{2}m-\frac{1}{4}m=\frac{1}{4}m>0

in un intorno (bucato) di p^{0}.

Stiamo asserendo quindi che esiste un intorno di p^{0}

I_{\delta}=\{p\in\mathbb{R}^2: ||p-p^{0}||<\delta\}

in cui per ogni p\in I_{\delta} si ha che

f(p)-f(p^{0})\ge 0

ossia che p^{0} è un punto di minimo relativo per la funzione f(p).

Considerazioni

1. L'uguaglianza nell'ultima relazione si ha se e solo se p=p^{0};

2. la dimostrazione proposta si adatta in maniera naturale anche alle funzioni in n variabili;

3. le notazioni del tuo insegnante non sono standard purtroppo e impediscono a qualsiasi altro matematico di comprendere a pieno la dimostrazione che propone. Come se non bastasse, continuo ad avere diverse perplessità sui segni da lui scritti.
Ringraziano: CarFaby, Faefnir

Re: Funzioni di più variabili: minimo relativo e formula di Taylor #98589

avt
Faefnir
Punto
Grazie, ora è molto più chiaro!
Incredibile come il docente abbia concentrato in poche righe quello che si dovrebbe esprimere in una pagina intera. L'unica cosa forse ancora poco chiara è la definizione "alternativa" di matrice hessiana definita positiva

Re: Funzioni di più variabili: minimo relativo e formula di Taylor #98590

avt
Ifrit
Ambasciatore
In realtà è un teorema vero e proprio che solitamente non viene presentato nei corsi di analisi matematica 2, è argomento di algebra lineare. Tra l'altro, per evitare di dimostrarlo viene a volte presentata come una semplice osservazione.

Non perdiamoci d'animo e cerchiamo di fornire una dimostrazione analitica di questo fatto.

Teorema

Se M una matrice simmetrica di ordine n definita positiva, allora esiste un numero reale positivo m>0 tale che

v^{t}Mv\ge m ||v||^{2} \ \ \ \mbox{per ogni} \ v\in\mathbb{R}^n

Dimostrazione

Sia S il sottoinsieme di \mathbb{R}^n formato dai vettori di norma unitaria.

S=\{x\in\mathbb{R}^{n}: ||x||=1\}

Si può dimostrare agilmente che esso è un insieme compatto di \mathbb{R}^{n}. [Per la chiusura, osserva che la norma è una funzione continua e che S è la controimmagine mediante la funzione norma di 1; per la limitatezza, nota che S è una ipersfera (dunque limitata)].

Consideriamo la funzione

\phi: S\to\mathbb{R}

che associa a ogni vettore x\in S il numero reale

\phi(x)=x^{t}M x

Essa è una funzione continua sul compatto S e per il teorema di Weierstrass, esiste (almeno) un x_{0}\in S tale che

\phi(x)\ge \phi(x_0) \ \ \ \mbox{per ogni} \ x\in S

(Stiamo dicendo che \phi(x_0) è un minimo assoluto per \phi sull'insieme S)

o in maniera più esplicita

x^{t}Mx\ge x_{0}^{t}M x_{0}

Indichiamo con m l'espressione x_0^{t}Mx_0, poniamo cioè:

m=x_{0}^{t}Mx_0

Poiché per ipotesi M è definita positiva, allora m>0, di conseguenza siamo autorizzati a scrivere la doppia disuguaglianza

x^{t}Mx\ge x_{0}^{t}M x_{0}=m>0 \ \ \ \mbox{per ogni} \ x\in S

Ora interviene un passaggio delicato. Sia v un vettore di \mathbb{R}^{n}-\{\mathbf{0}\}, allora

1. \frac{v}{||v||} è un vettore di norma 1, dunque appartiene a S;

2. per quanto detto in precedenza:

\frac{v^{t}}{||v||}M \frac{v}{||v||}\ge m \ \ \ \mbox{per ogni} \ v\in\mathbb{R}^{n}-\{\mathbf{0}\}

3. per le proprietà relative alla moltiplicazione per uno scalare, il primo membro può essere espresso in maniera leggermente differente:

\frac{1}{||v||^2} (v^{t}M v)\ge m

4. Moltiplicando infine per ||v||^2 i due membri, ricaviamo la relazione

v^{t}M v\ge m ||v||^2 \ \ \ \mbox{per ogni} \ v\in\mathbb{R}^n

Osservazione: il vettore identicamente nullo \mathbf{0} soddisfa la relazione.
Ringraziano: Faefnir

Re: Funzioni di più variabili: minimo relativo e formula di Taylor #98593

avt
Faefnir
Punto
Che fatica!

Grazie infinite per l'aiuto!
Ringraziano: Ifrit
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