Equazione differenziale di ordine 2 con metodo di somiglianza

Non riesco a risolvere questa equazione differenziale del secondo ordine con il metodo di somiglianza:

Ho calcolato che il e dunque la famiglia di soluzioni dell'omogenea associata è:

Ora devo procedere e considerare le due equazioni differenziali

e sommare le loro soluzioni particolari. Qui non capisco: la prima equazione

ha una soluzione particolare che dovrebbe essere

dato che il polinomio è di primo grado

mentre la soluzione della seconda

dovrebbe essere

visto che il polinomio è di grado zero. Facendo i conti però la soluzione non torna.

Ciao federico123,

l'esercizio ci chiede di determinare tutte e sole le funzioni che soddisfano l'equazione differenziale lineare del secondo ordine, a coefficienti costanti e non omogenea

che possiamo risolvere con il metodo di somiglianza.

Prima di tutto consideriamo l'equazione differenziale del secondo ordine omogenea associata, vale a dire:

e associamo l'equazione caratteristica

che possiamo risolvere osservando che il primo membro coincide con il quadrato del binomio , dunque l'equazione diventa

da cui ricaviamo la soluzione con molteplicità algebrica 2.

In termini più espliciti, l'equazione caratteristica ammette due soluzioni reali e coincidenti, di conseguenza la famiglia di funzioni che soddisfano l'omogenea è

dove sono costanti reali da determinare.

Per ricavare le soluzioni particolari, possiamo avvalerci sì del metodo di somiglianza, però bisogna considerare due equazioni differenziali distinte

e

calcolare le soluzioni particolari a esse associate e infine sommarle tra loro così da ricavare una soluzione particolare dell'equazione di partenza.

Occupiamoci della prima equazione differenziale

e osserviamo che il secondo membro è del tipo

dove

è il polinomio di grado 0 (costante), mentre coincide con la radice multipla del polinomio caratteristico.

In questo caso, la soluzione particolare si presenterà nella forma

dove è un polinomio dello stesso grado di . Esplicitamente:

La costante è da determinare e per farlo è sufficiente calcolare la derivata prima e seconda di e sostituire nell'equazione

In accordo con le regole di derivazione, la derivata prima risulta

mentre la derivata seconda è

Affinché sia soluzione particolare dell'equazione

è necessario che soddisfi l'equazione

Rimpiazziamo i termini che abbiamo determinato

Con molta cautela, sommiamo tra loro i termini simili al primo membro, ricavando così l'equazione

da cui, dividendo i due membri per otteniamo

In definitiva, la soluzione particolare della prima equazione è

Determiniamo a questo punto la soluzione della seconda equazione differenziale: ricerchiamo cioè una funzione tale che

Per poter applicare il metodo di somiglianza, è necessario rivedere il polinomio al secondo membro nella forma

dove e .

In questo caso, il coefficiente dell'esponente dell'esponenziale è uguale a zero e non coincide con le soluzioni dell'equazione caratteristica, di conseguenza la soluzione particolare sarà nella forma

dove e è un polinomio che ha lo stesso grado di (è un polinomio di grado zero nel nostro caso), vale a dire:

Chiaramente la derivata prima e seconda di una costante è zero, dunque la relazione

si traduce nell'equazione

La soluzione particolare associata all'equazione

è .

Note , possiamo determinare la soluzione particolare associata all'equazione data

e infine esplicitare l'integrale generale associato all'equazione differenziale, ottenendo:

dove sono costanti reali.