Equazione differenziale di ordine 2 con metodo di somiglianza

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Equazione differenziale di ordine 2 con metodo di somiglianza #98565

avt
federico123
Cerchio
Non riesco a risolvere questa equazione differenziale del secondo ordine con il metodo di somiglianza:

y''+2y'+y=e^{-x}+2

Ho calcolato che il \Delta=0 e \lambda=-1 dunque la famiglia di soluzioni dell'omogenea associata è:

y_{o}(x)= e^(-x)(A+Bx)

Ora devo procedere e considerare le due equazioni differenziali

y''+2y'+y=e^{-x}\\ \\ y''+2y'+y=2

e sommare le loro soluzioni particolari. Qui non capisco: la prima equazione

y''+2y'+y=e^{-x}

ha una soluzione particolare che dovrebbe essere

Y(x)=x^2e^{-x}(Ax+B)

dato che il polinomio Q(x) è di primo grado
mentre la soluzione della seconda

y''+2y'+y=2

dovrebbe essere

Y(x)= e^{-x}(B)

visto che il polinomio è di grado zero. Facendo i conti però la soluzione non torna.
 
 

Equazione differenziale di ordine 2 con metodo di somiglianza #98567

avt
Ifrit
Amministratore
Ciao federico123,

l'esercizio ci chiede di determinare tutte e sole le funzioni che soddisfano l'equazione differenziale lineare del secondo ordine, a coefficienti costanti e non omogenea

y''+2y'+1=e^{-x}+2

che possiamo risolvere con il metodo di somiglianza.

Prima di tutto consideriamo l'equazione differenziale del secondo ordine omogenea associata, vale a dire:

y''+2y'+1=0

e associamo l'equazione caratteristica

\lambda^2+2\lambda+1=0

che possiamo risolvere osservando che il primo membro coincide con il quadrato del binomio \lambda+1, dunque l'equazione diventa

(\lambda+1)^2=0

da cui ricaviamo la soluzione \lambda=-1 con molteplicità algebrica 2.

In termini più espliciti, l'equazione caratteristica ammette due soluzioni reali e coincidenti, di conseguenza la famiglia di funzioni che soddisfano l'omogenea è

y_{o}(x)=c_1e^{-x}+x c_2 e^{-x}

dove c_1 \ \mbox{e} \ c_2 sono costanti reali da determinare.

Per ricavare le soluzioni particolari, possiamo avvalerci sì del metodo di somiglianza, però bisogna considerare due equazioni differenziali distinte

y''+2y'+1=e^{-x}

e

y''+2y'+1=2

calcolare le soluzioni particolari a esse associate e infine sommarle tra loro così da ricavare una soluzione particolare dell'equazione di partenza.

Occupiamoci della prima equazione differenziale

y''+2y'+1=e^{-x}

e osserviamo che il secondo membro è del tipo

g(x)=Q(x)e^{\lambda x}

dove

Q(x)=1 è il polinomio di grado 0 (costante), mentre \lambda=-1 coincide con la radice multipla del polinomio caratteristico.

In questo caso, la soluzione particolare si presenterà nella forma

y_{p_1}(x)=x^2 e^{\lambda x}\bar{Q}(x)

dove \bar{Q}(x) è un polinomio dello stesso grado di Q(x). Esplicitamente:

y_{p_1}(x)=Cx^2e^{-x}

La costante C è da determinare e per farlo è sufficiente calcolare la derivata prima e seconda di y_{p_1}(x) e sostituire nell'equazione

In accordo con le regole di derivazione, la derivata prima risulta

y_{p_1}'(x)=2 C e^{-x}x-Ce^{-x}x^2

mentre la derivata seconda è

y_{p_1}''(x)=2Ce^{-x}-4Cxe^{-x}+Cx^2e^{-x}

Affinché y_{p_1}(x) sia soluzione particolare dell'equazione

y''+2y'+y=e^{-X}

è necessario che y_{p_1}(x) soddisfi l'equazione

y_{p_1}''(x)+2y_{p_1}'(x)+y_{p_1}(x)=e^{-x}

Rimpiazziamo i termini che abbiamo determinato

\overbrace{2Ce^{-x}-4 Ce^{-x}x+Ce^{-x}x^2}^{=y_{p_1}''(x)}+\overbrace{4Ce^{-x}x-2Ce^{-x}x^2}^{=2y_{p_1}'(x)}+\overbrace{Ce^{-x}x^2}^{=y_{p_1}(x)}=e^{-x}

Con molta cautela, sommiamo tra loro i termini simili al primo membro, ricavando così l'equazione

2Ce^{-x}=e^{-x}

da cui, dividendo i due membri per 2e^{-x} otteniamo

C=\frac{1}{2}

In definitiva, la soluzione particolare della prima equazione è

y_{p_1}(x)=\frac{1}{2}e^{-x}x^2

Determiniamo a questo punto la soluzione della seconda equazione differenziale: ricerchiamo cioè una funzione y_{p_2}(x) tale che

y_{p_2}''(x)+2 y_{p_2}'(x)+y_{p_2}(x)=2

Per poter applicare il metodo di somiglianza, è necessario rivedere il polinomio al secondo membro nella forma

g(x)=Q(x)e^{\lambda x}

dove Q(x)=2 e \lambda=0.

In questo caso, il coefficiente dell'esponente dell'esponenziale è uguale a zero e non coincide con le soluzioni dell'equazione caratteristica, di conseguenza la soluzione particolare sarà nella forma

y_{p_2}(x)=e^{\lambda x}\bar{Q}(x)

dove \lambda=0 e \bar{Q}(x) è un polinomio che ha lo stesso grado di Q(x) (è un polinomio di grado zero nel nostro caso), vale a dire:

y_{p_2}(x)=C

Chiaramente la derivata prima e seconda di una costante è zero, dunque la relazione

y_{p_2}''(x)+2 y_{p_2}'(x)+y_{p_2}(x)=2

si traduce nell'equazione

C=2

La soluzione particolare associata all'equazione

y_{p_2}''(x)+2 y_{p_2}'(x)+y_{p_2}(x)=2

è y_{p_2}(x)=2.

Note y_{p_1}(x)\ \mbox{e} \ y_{p_2}(x), possiamo determinare la soluzione particolare associata all'equazione data

y_{p}(x)=y_{p_1}(x)+y_{p_2}(x)=\frac{1}{2}x^2e^{-x}+2

e infine esplicitare l'integrale generale associato all'equazione differenziale, ottenendo:

\\ y(x)=y_{o}(x)+y_{p}(x)= \\ \\ =\frac{1}{2}x^2e^{-x}+2+c_1e^{-x}+x c_2 e^{-x}

dove c_{1}\ \mbox{e} \ c_2 sono costanti reali.
Ringraziano: Omega, CarFaby, federico123
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