Esercizio su rette e piani ortogonali

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Esercizio su rette e piani ortogonali #98522

avt
mariolnn
Punto
Salve, ho qualche dubbio nel risolvere questo esercizio che chiede di verificare che retta e piano nello spazio non sono ortogonali per poi calcolare un piano che contiene una retta e un punto. Ecco la traccia

Verificare che la retta r di equazione

\begin{cases} x+y-z+2=0 \\ 3x-z-1=0 \end{cases}

non è ortogonale al piano \pi di equazione x+2y-5z+3=0.

Trovare il piano \alpha che contiene la retta r e passa per il punto P(3,3,0).


Io ho svolto l'esercizio in questo modo:

sono passato alla forma parametrica della retta e ho trovato la sua direzione.


Ho poi calcolato il vettore di giacitura del piano \pi e trovato l'angolo tra i due vettori con la rispettiva formula, ma escono numeri strani e mi blocco.

Per quanto riguarda la seconda parte ho sfruttato la formula del fascio di rette

\lambda (x+y-z+2)+\eta (3x-z-1)=0

Ho imposto il passaggio per il punto P ed ho trovato:

-2x+y+3=0

Grazie anticipatamente per il vostro aiuto.
 
 

Esercizio su rette e piani ortogonali #98525

avt
Galois
Amministratore
Per stabilire se una retta e un piano nello spazio sono o meno ortogonali non è affatto necessario calcolare l'angolo da essi formato, ma è più comodo e veloce ragionare con le rispettive direzioni.

Conosciamo l'equazione cartesiana di una retta

r: \begin{cases}x+y-z+2=0 \\ 3x-z-1=0\end{cases}

e l'equazione cartesiana di un piano

\pi: \ x+2y-5z+3=0

I coefficienti direttori del piano \pi sono i coefficienti delle variabili x, \ y, z dell'equazione che lo definiscono, ossia

v_{\pi}=(a,b,c)=(1,2,-5)

Calcoliamo poi il vettore direzione della retta r, che è dato dal prodotto vettoriale tra i coefficienti direttori dei piani che la definiscono

v_r=(1,1,-1) \times (3,0,-1) = (-1,-2,-3)

I coefficienti direttori di un piano individuano la direzione ortogonale a tutte le direzioni parallele al piano, mentre il vettore direzione di una retta è la direzione di un qualsiasi vettore parallelo a essa.

Ne segue che retta e piano sono ortogonali se e solo se i parametri direttori di retta e piano sono paralleli, dunque

r \perp \pi \iff v_r // v_{\pi} \iff v_r \times v_{\pi}=(0,0,0)

La condizione di parallelismo tra vettori è, infatti, l'annullarsi del loro prodotto vettoriale.

Dal momento che

v_r \times v_{\pi}= (-1,-2,-3) \times (1,2,-5) = (16,-8,0) \neq (0,0,0)

possiamo concludere che retta r e piano \pi non sono perpendicolari.


Passiamo ora alla seconda parte dell'esercizio che ci chiede di trovare il piano \alpha che contiene la retta r e passa per il punto P(3,3,0).

A tal scopo scriviamo l'equazione del fascio di piani proprio avente per sostegno la retta r

\mathcal{F}: \lambda(x+y-z+2)+\eta(3x-z-1)=0

e imponiamo il passaggio per il punto P(3,3,0).

Prima però, per facilitare i conti, supponiamo che sia \lambda \neq 0 e poniamo

\frac{\eta}{\lambda}=k

Dunque

\mathcal{F}: x+y-z+2+k(3x-z-1)=0

Ora

P \in \mathcal{F} \iff 3+3-0+2+9k-0-k=0

Siamo così ricaduti in un'equazione di primo grado nell'incognita k

3+3-0+2+9k-0-k=0 \iff 8k=-8 \iff k=-1

Sostituendo tale valore nell'equazione del fascio si ottiene

\alpha: \ -2x+y+3=0

che è il piano cercato. È tutto! emt
Ringraziano: Omega, Ifrit, CarFaby, mariolnn

Esercizio su rette e piani ortogonali #98526

avt
mariolnn
Punto
Grazie mille per la spiegazione emt
Volevo chiederti un'ultima cosa..
Se l'esercizio avesse richiesto di stabilire se la retta r fosse parallela al piano pigreco anziché ortogonale, avrei dovuto considerare sempre i vettori direttori di retta e piano?
Ringraziano: Galois

Esercizio su rette e piani ortogonali #98527

avt
Galois
Amministratore
Sì, ma avresti dovuto imporre che il prodotto scalare fosse nullo e verificare che la retta non giace sul piano.

Per tutti gli approfondimenti del caso ti invito a leggere la nostra lezione sulle posizioni tra retta e piano.
Ringraziano: mariolnn
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Os