Esercizio su incognita e formule inverse

Prima di postare leggi le regole del Forum. Puoi anche leggere le ultime discussioni.
Questa sezione è un contenitore temporaneo per i topic speciali a pagamento (One-Shot)

Se hai acquistato uno o più Topic speciali, puoi pubblicarli qui cliccando su "Apri un Topic".

Il registro completo dei Topic risolti e in corso è disponibile sul proprio profilo.

Esercizio su incognita e formule inverse #98433

avt
Leondrago
Punto
Salve, frequento il primo anno dell'istituto tecnico industriale e la prof di matematica ci ha chiesto di trovare l'incognita A, B, C e D in questi esercizi, ma io non credo di aver mai fatto nulla di simile alle scuole medie, mi potreste spiegare come devo fare?

2A =-3B, \ \ \ \frac{3}{A} =\frac{ B}{2} , \\ \\       AB=3-C, \ \ \ \frac{A}{B} =\frac{ C}{D}


Grazie tante, Leo.
 
 

Esercizio su incognita e formule inverse #98440

avt
Ifrit
Amministratore
Ciao Leondrago,

il nostro obiettivo consiste nel determinare A, \ B , \ C\ \mbox{e} \ D dalle relazioni

\\ 2A=-3B\ \ \ ,\ \ \ \frac{3}{A}=\frac{B}{2} \\ \\ \\ AB=3-C\ \ \ , \ \ \ \frac{A}{B}=\frac{C}{D}

Questo problema può essere risolto agevolmente se si conoscono le equazioni e in particolare i principi di equivalenza per le equazioni.

Senza andare troppo nel dettaglio, basta ricordare quali sono le operazioni inverse della somma, differenza, prodotto e quoziente (per ora):

- l'operazione inversa dell'addizione è la sottrazione e, viceversa l'operazione inversa della sottrazione è l'addizione;

- l'operazione inversa della moltiplicazione è la divisione e, viceversa l'operazione inversa della divisione è la moltiplicazione.

Detto questo consideriamo la relazione

2A=-3B

e supponiamo di voler calcolare A. In questa situazione l'incognita A è accompagnata dalla costante moltiplicativa 2, e per sbarazzarcene, dividiamo (operazione inversa della moltiplicazione) per due sia a destra che a sinistra;

\frac{2A}{2}=\frac{-3B}{2}

da cui, dopo aver semplificato

A=\frac{-3B}{2}

In questa maniera, siamo stati in grado di esprimere l'incognita A in termini di B.

Torniamo all'equazione

2A=-3B

e supponiamo di voler calcolare B. Osserviamo che B è moltiplicata per -3. Per sbarazzarci della "costante che moltiplica" dividiamo i due membri per -3

\frac{2A}{-3}=\frac{-3B}{-3}

Semplifichiamo il secondo membro e sfruttiamo a dovere la regola dei segni per concludere che

-\frac{2A}{3}=B

ossia

B=-\frac{2A}{3}

Consideriamo la seconda relazione

\frac{3}{A}=\frac{B}{2}

che possiamo trattare alla stregua di una proporzione, essa infatti si può esprimere in maniera del tutto equivalente come

3:A=B:2

Calcoliamo il medio A (è la nostra incognita) avvalendoci della proprietà fondamentale delle proporzioni, effettuando cioè il prodotto degli estremi fratto il medio noto B

A=\frac{3\times 2}{B} \ \ \ \to \ \ \ A=\frac{6}{B}

Nota importante: poiché B è al denominatore, esso non può essere nullo perché in matematica è assolutamente vietato dividere per zero.

Torniamo alla proporzione

3:A=B:2

e calcoliamo B: basta moltiplicare tra loro gli estremi e dividere per il medio noto

B=\frac{2\times 3}{A}\ \ \ \to \ \ \ B=\frac{6}{A}

Ecco fatto.

Occupiamoci ora della relazione più difficile da analizzare.

AB=3-C

Per poter calcolare A (o meglio, esprimere A in termini di B\ \mbox{e}\ C) dobbiamo liberarla dalla presenza di B. Poiché B moltiplica A, sarà necessario dividere (operazione inversa della moltiplicazione) a destra e a sinistra per B

\frac{AB}{B}=\frac{3-C}{B}

da cui, semplificando B al primo membro

A=\frac{3-C}{B}

Torniamo alla relazione

AB=3-C

e questa volta calcoliamo B. Il trucco consiste nel liberare B da A dividendo membro a membro per la lettera che "dà fastidio"

\frac{AB}{A}=\frac{3-C}{A}

da cui

B=\frac{3-C}{A}

Non abbiamo ancora finito: è necessario esprimere C in termini di A\ \mbox{e} \ B.

AB=3-C

Per prima cosa cambiamo l'ordine dei membri

3-C=AB

Il nostro obiettivo consiste nell'isolare C al primo membro, liberandola quindi da 3 e dal segno meno.

Poiché a -C è sommato 3, per potercene sbarazzare è sufficiente sottrarre (operazione inversa dell'addizione) membro a membro per 3

3-C-3=AB-3

da cui

-C=AB-3

Per sbarazzarci del segno meno, basta cambiare i segni a tutti i termini, sia al membro di sinistra che al membro di destra

C=-AB+3

Analizziamo l'ultima

\frac{A}{B}=\frac{C}{D}

Tale equazione può essere interpretata tranquillamente come la proporzione:

A:B=C:D

Ricaveremo le varie incognite utilizzando la teoria delle proporzioni:

A è uguale al prodotto dei medi diviso l'altro estremo

A=\frac{B\times C}{D}

B è uguale al prodotto degli estremi diviso l'altro medio

B=\frac{A\times D}{C}

C è uguale al prodotto degli estremi diviso il medio noto

C=\frac{A\times D}{B}

e infine l'estremo D coincide con il prodotto tra i medi, diviso per l'altro estremo

D=\frac{B\times C}{A}


Nota: ho tentato di semplificare il più possibile la spiegazione proprio per evitare le equazioni che, se tanto mi dà tanto, non hai ancora affrontato in maniera esplicita. Considera questo periodo come una fase transitoria, atta a prepararti alla teoria delle equazioni.
Ringraziano: Omega, Galois, CarFaby, Leondrago
  • Pagina:
  • 1
Os