Studio di funzione con arcotangente e somma

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Studio di funzione con arcotangente e somma #98422

avt
duendor
Punto
Buongiorno, ho difficoltà nello svolgere lo studio della seguente funzione in cui è presente un'arcotangente.

f(x)=x+2\arctan\left(\frac{1}{x+1}\right)

Dopo aver calcolato il dominio (x \neq -1)
ho impostato la disequazione

\arctan\left(\frac{1}{x+1}\right)>\frac{-x}{2}

per calcolare il segno della funzione, ma non so come proseguire.

Grazie per la disponibilità.
 
 

Studio di funzione con arcotangente e somma #98425

avt
Ifrit
Amministratore
Ciao duendor,

Il nostro obiettivo consiste nell'effettuare lo studio della funzione

f(x)=x+2\arctan\left(\frac{1}{x+1}\right)

Il primo passo prevede di calcolare il dominio: in questo caso è sufficiente richiedere che il denominatore, x+1, sia differente da zero

x+1\ne 0 \ \ \ \to \ \ \ x\ne -1

Il dominio è pertanto

Dom(f)=\mathbb{R}-\{-1\}=(-\infty, -1)\cup (-1, +\infty)

Dopo aver ricavato l'insieme di esistenza, solitamente si procede con lo studio del segno: bisognerebbe cioè analizzare la disequazione

f(x)\ge 0 \ \ \ \to \ \ \ x+2\arctan\left(\frac{1}{x+1}\right)\ge 0

Purtroppo la disequazione non è risolvibile elementarmente (nel senso che non esiste una procedura elementare che consenta di determinare gli insiemi su cui la funzione è positiva/negativa). Niente paura, possiamo bypassare questo passo e dedurre il segno avvalendoci di considerazioni analitiche.

Dedichiamoci al calcolo dei limiti agli estremi del dominio:

\\ \lim_{x\to-\infty}f(x) \ \ \ , \ \ \ \lim_{x\to -1^{-}}f(x) \\ \\ \lim_{x\to-1^{+}}f(x) \ \ \ , \ \ \ \lim_{x\to +\infty}f(x)

partendo dal primo.

\lim_{x\to -\infty}f(x)=\lim_{x\to -\infty}\left[x+2\arctan\left(\frac{1}{x+1}\right)\right]=(\bullet)

Quando x tende a -\infty, l'argomento dell'arcotangente è infinitesimo, infatti

\lim_{x\to -\infty}\frac{1}{x+1}=0

di conseguenza il limite precedente diventa

\\ (\bullet)=\lim_{x\to-\infty}x+\lim_{x\to-\infty}2\arctan\left(\frac{1}{x+1}\right)=\\ \\ =[-\infty+2\cdot 0]=-\infty

Dal risultato deduciamo che la funzione non ammette asintoto orizzontale sinistro, però potrebbe presentarsi un asintoto obliquo

y=mx+q

dove il coefficiente angolare m è definito come il seguente limite che deve essere finito e diverso da zero

m=\lim_{x\to-\infty}\frac{f(x)}{x}

mentre l'ordinata all'origine q coincide con il limite

q=\lim_{x\to-\infty}[f(x)-mx]

Iniziamo dal primo limite, ossia

\\ m=\lim_{x\to -\infty}\frac{f(x)}{x}= \\ \\ \\ = \lim_{x\to-\infty}\frac{x+2\arctan\left(\frac{1}{x+1}\right)}{x}=\\ \\ \\ =\lim_{x\to-\infty}\left[\frac{x}{x}+\frac{2\arctan\left(\frac{1}{x+1}\right)}{x}\right]=1

Il limite è 1 perché il primo addendo si semplifica e vale 1, mentre

\lim_{x\to-\infty}\frac{2\arctan\left(\frac{1}{x+1}\right)}{x}=0

Calcoliamo a questo punto l'ordinata all'origine

\\ q=\lim_{x\to-\infty}[f(x)-mx]=\lim_{x\to-\infty}\left[x+2\arctan\left(\frac{1}{x+1}\right)-x\right]=\\ \\ \\ =\lim_{x\to -\infty}2\arctan\left(\frac{1}{x+1}\right)=0

Possiamo concludere che l'equazione dell'asintoto obliquo sinistro è:

y=mx+q \ \ \ \to \ \ \ y=x

Occupiamoci del limite sinistro

\lim_{x\to -1^{-}}f(x)=\lim_{x\to -1^{-}}\left[x+2\arctan\left(\frac{1}{x+1}\right)\right]

e calcoliamolo notando che quando x tende a -1 per valori più piccoli di -1, la somma x+1 tende a zero per valori più piccoli di zero, pertanto:

\lim_{x\to -1^{-}}\frac{1}{x+1}=-\infty

Tenendo a mente che se l'argomento dell'arcotangente va a meno infinito allora l'arcotangente va a -\frac{\pi}{2}, possiamo affermare che:

\\ \lim_{x\to -1^{-}}f(x)=\lim_{x\to -1^{-}}\left[x+2\arctan\left(\frac{1}{x+1}\right)\right]=\left[-1+2\cdot\arctan(-\infty)\right]=\\ \\ \\ =-1+2\cdot\left(-\frac{\pi}{2}\right)=-1-\pi

Procediamo allo stesso modo con il limite destro per x\to -1:

\lim_{x\to -1^{+}}f(x)=\lim_{x\to -1^{+}}\left[x+2\arctan\left(\frac{1}{x+1}\right)\right]=-1+\pi

L'unica cosa che cambia rispetto ai passaggi precedenti consiste nel fatto che quando x tende a -1 per valori più grandi di -1, la somma x+1 tende a zero per valori più grandi di zero, pertanto:

\lim_{x\to -1^{+}}\frac{1}{x+1}=+\infty

L'argomento dell'arcotangente esplode a più infinito, dunque l'arcotangente tende a \frac{\pi}{2}.

I due limiti garantiscono che x=-1 non è un asintoto verticale.

Occupiamoci infine del limite

\lim_{x\to+\infty}f(x)=\lim_{x\to+\infty}\left[x+2\arctan\left(\frac{1}{x+1}\right)\right]=

usando la medesima impostazione utilizzata per quello per x\to -\infty

=\lim_{x\to +\infty}x+\lim_{x\to+\infty}2\arctan\left(\frac{1}{x+1}\right)=[+\infty+0]=+\infty

Non c'è asintoto orizzontale destro, può esserci invece l'asintoto obliquo destro

y=m_1x+q_1

Le definizioni di m_1 \ \mbox{e} \ q_1 ricalcano quelle di m\ \mbox{e} \ q, cambia solamente l'infinito a cui tende x

\\ m_1=\lim_{x\to +\infty}\frac{f(x)}{x} \\ \\ q_{1}=\lim_{x\to +\infty}[f(x)-m_1x]

I due limiti si calcolano con lo stesso principio già visto per m\ \mbox{e}\ q

\\ m_1=\lim_{x\to +\infty}\frac{x+2\arctan\left(\frac{1}{x+1}\right)}{x}= \\ \\ \\ =\lim_{x\to +\infty}\frac{x}{x}+\lim_{x\to+\infty}\frac{2\arctan\left(\frac{1}{x+1}\right)}{x}=1

Trovato m_1 calcoliamo q_1

\\ \lim_{x\to +\infty}[f(x)-m_1x]=\lim_{x\to+\infty}\left[x+2\arctan\left(\frac{1}{x+1}\right)-x\right]=\\ \\ \\ =\lim_{x\to +\infty}2\arctan\left(\frac{1}{x+1}\right)=0

L'equazione dell'asintoto obliquo destro è

y=m_1x+q_1\ \ \ \to \ \ \ y=x

Nota: y=x è l'equazione della bisettrice del primo e terzo quadrante.

Calcolati i limiti, possiamo dedicarci alla derivata prima: in base alla
regola di derivazione della somma, possiamo scrivere quanto segue:

\\ \frac{d}{dx}[f(x)]=\frac{d}{dx}\left[x+2\arctan\left(\frac{1}{x+1}\right)\right]= \\ \\ \\ = \frac{d}{dx}[x]+\frac{d}{dx}\left[2\arctan\left(\frac{1}{x+1}\right)\right]=

La derivata di x è chiaramente 1, mentre per calcolare la derivata del secondo addendo, è necessario tirare in ballo la derivata dell'arcotangente in combinazione con la regola sulla derivata della funzione composta

=1+2\cdot \frac{1}{1+\left(\frac{1}{x+1}\right)^2}\cdot\frac{d}{dx}\left[\frac{1}{x+1}\right]=

Siamo quasi arrivati all'espressione della derivata: non ci resta che calcolare l'ultima, usando la regola di derivazione del quoziente

=1+2\cdot \frac{1}{1+\left(\frac{1}{x+1}\right)^2}\cdot\left(-\frac{1}{(x+1)^2}\right)=

A questo punto sono semplici passaggi algebrici

=1-\frac{2}{1+(1+x)^2}

In definitiva l'espressione della derivata prima è

f'(x)=1-\frac{2}{1+(1+x)^2}

Studiamo il segno della derivata per determinare gli intervalli di monotonia, ossia gli intervalli in cui f(x) è una funzione crescente o decrescente.

f'(x)\ge 0 \ \ \ \to \ \ \ 1-\frac{2}{1+(1+x)^2}\ge 0

Una volta scritta a denominatore comune, la disequazione diventa

\\ \frac{1+(x+1)^2-2}{1+(x+1)^2}\ge 0 \\ \\ \\ \frac{x^2+2x}{1+(x+1)^2}\ge 0

In accordo con la teoria delle disequazioni fratte, studiamo il segno del numeratore e del denominatore:

N\ge 0 \ \ \ \to \ \ \ x^2+2x\ge 0

Quella ottenuta è una disequazione di secondo grado soddisfatta per valori esterni, ossia per

x\le -2\ \ \ \vee \ \ \ x\ge 0

dove \vee indica il connettivo logico "o".

L'analisi del segno del denominatore è praticamente immediata:

D>0 : \ 1+(x+1)^2>0 \ \ \ \mbox{per ogni }x\in\mathbb{R}

osserviamo infatti che al primo membro troviamo una somma tra una costante positiva (1) e un quadrato [(x+1)^2].

Dopo aver costruito la tabella dei segni ricaviamo che la derivata prima è:

- positiva se x<-2 oppure se x>0;

- nulla se x=-2 oppure se x=0;

- negativa se -2<x<-1 oppure se -1<x<0.

Ciò ci permette di asserire che la funzione f(x) è:

- strettamente crescente nell'intervallo (-\infty, -2) oppure nell'intervallo (0,+\infty);

- ha un punto di massimo relativo nel punto x=-2 e il massimo associato è

M=f(-2)=-2+2\arctan\left(\frac{1}{-1}\right)=-2-\frac{\pi}{2}

- ha un punto di minimo relativo nel punto x=0, il cui minimo associato è

m=f(0)=2\arctan\left(1\right)=2\cdot\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{2}

Con le informazioni in nostro possesso, possiamo estrapolare informazioni sul segno della funzione:

Per x>-1, la funzione ha minimo pari a m=\frac{\pi}{2}, quindi per ogni x>-1

f(x)\ge \frac{\pi}{2}>0

Ciò garantisce che la positività della funzione nell'intervallo (-1, +\infty).

Per x<-1, la funzione ha massimo pari a M=-2-\frac{\pi}{2}<0, dunque siamo autorizzati a scrivere la disuguaglianza

f(x)\le M<0 \ \ \ \mbox{per ogni }x<-1

Essa assicura che f(x) è negativa nell'intervallo (-\infty, -1).

L'analisi della derivata prima è conclusa. Occupiamoci della derivata seconda

\\ f''(x)=\frac{d}{dx}[f'(x)]=\frac{d}{dx}\left[1-\frac{2}{(x+1)^2+1}\right]= \\ \\ \\ = \frac{d}{dx}[1]-\frac{d}{dx}\left[\frac{2}{(x+1)^2+1}\right]=\frac{2\cdot 2(x+1)}{[(x+1)^2+1]^2}

Determiniamo il segno della derivata seconda che ci fornirà gli intervalli in cui f(x) è una funzione convessa oppure concava.

Impostiamo la disequazione

f''(x)\ge 0 \ \ \ \to \ \ \ \frac{4(x+1)}{(1+(x+1)^2)^2}\ge 0

e risolviamola seguendo la strategia standard: studieremo il segno del numeratore, quello del denominatore dopodiché costruiremo la tabella dei segni per dedurre il segno di f''(x)

\\ N\ge 0 : \ 4(x+1)\ge 0 \ \ \ \to \ \ \ x\ge -1\\ \\ D>0: \ (1+(x+1)^2)^2>0 \ \ \ \mbox{per ogni }x\in\mathbb{R}

Una volta rappresentata la tabella dei segni, possiamo concludere che la derivata seconda è:

- positiva per x>-1;

- mai nulla (si annulla per x=-1, ma non appartiene al dominio della funzione madre!);

- negativa per x<-1.

Ciò significa che la funzione f(x) è:

- convessa per x>-1;

- concava per x<-1.

Non ci sono punti flesso perché la derivata seconda non si annulla nel dominio di f(x).
Ringraziano: Omega, CarFaby
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Os