Convergenza integrale con parametro

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Convergenza integrale con parametro #98418

avt
duendor
Punto
Buongiorno, ho dei dubbi sulla risoluzione del seguente esercizio, in cui si chiede di determinare per quali valori del parametro \alpha esiste finito l'integrale:

\int_{0}^{+\infty}e^{-3\alpha x} \sin(e^{-2x})dx

Grazie!
 
 

Re: Convergenza integrale con parametro #98419

avt
Ifrit
Ambasciatore
Ciao duendor,

l'esercizio ci chiede di determinare per quali valori di \alpha\in\mathbb{R}, l'integrale

\int_{0}^{+\infty}e^{-3\alpha x}\sin(e^{-2x})dx

è finito. Prima di buttarci a capofitto nei calcoli, è opportuno effettuare alcune considerazioni.

La prima cosa che balza all'occhio è il dominio di integrazione dell'integrale: [0,+\infty) è un ]intervallo illimitato.

Indichiamo con f(x) la funzione integranda

f(x)=e^{-3\alpha x}\sin(e^{-2x})

e osserviamo che è una funzione continua nell'intervallo [0,+\infty), infatti è prodotto tra la ]funzione esponenziale y=e^{-3\alpha x} e la funzione seno y=\sin(e^{-2x}) entrambe notoriamente continue.

Deduciamo che

\int_{0}^{+\infty}e^{-3\alpha x}\sin(e^{-2x})dx

è un integrale improprio di prima specie.

Si noti, inoltre che f(x) è una funzione positiva, infatti sia la funzione esponenziale, sia la funzione goniometrica sono positive sull'intervallo di integrazione.

Approfondimento: non dovrebbero esserci dubbi sulla positività della funzione esponenziale.

Per quanto concerne la positività della funzione y=\sin(e^{-2x}), è sufficiente notare che

0<e^{-2x}\le 1\ \ \ \mbox{per ogni }x\in[0,+\infty)

ossia l'argomento del seno assume i valori dell'intervallo (0,1] sul quale il seno è positivo.

Per poter studiare la convergenza dell'integrale al variare del parametro \alpha possiamo avvalerci del criterio del confronto asintotico.

Per x\to +\infty, l'argomento del seno è infinitesimo,

e^{-2x}\to 0

di conseguenza siamo autorizzati a usare la stima asintotica notevole

\sin(g(x))\sim_{g(x)\to 0}g(x)

da cui si ricava che:

\sin(e^{-2x})\sim_{x\to +\infty}e^{-2x}

Poiché e^{-3\alpha x} è asintoticamente equivalente a se stessa, possiamo scrivere l'equivalenza asintotica

e^{-3\alpha x}\sin(e^{-2x})\sim_{x\to+\infty}e^{-3\alpha x}e^{-2x}=e^{-3\alpha x-2 x}=e^{-(3\alpha+2)x}

In accordo con il criterio di equivalenza asintotica, l'integrale dato converge se e solo se è convergente

\int_{0}^{+\infty}e^{-(3\alpha+2)x}dx

Quest'ultimo è facilmente calcolabile, infatti è sufficiente considerare l'integrale noto

\int e^{\beta x}dx=\frac{e^{\beta x}}{\beta}+c

dove \beta\in\mathbb{R}-\{0\} e c è una costante additiva.

In accordo con la definizione di integrale improprio di prima specie

\\ \int_{0}^{+\infty}e^{-(3\alpha+2)x}dx= \\ \\ \\ =\lim_{M\to +\infty}\int_{0}^{M}e^{-(3\alpha+2)x}dx=\\ \\ \\ =\lim_{M\to +\infty}\left[\frac{e^{-(3\alpha+2)x}}{-(3\alpha+2)}\right]_{0}^{M}= \\ \\ \\ = \lim_{M\to +\infty}\frac{e^{-M(2+3\alpha)}-1}{-(2+3\alpha)}

Ci siamo ricondotti a un limite parametrico che è finito se e solo se il termine esponenziale collassa a 0, e ciò avviene nel momento in cui

2+3\alpha>0\ \ \ \to \ \ \ \alpha>-\frac{2}{3}

Si osservi infatti che se 2+3\alpha>0, il limite

\lim_{M\to +\infty}e^{-M(2+3\alpha)}=[e^{-\infty}]=0

di conseguenza

\lim_{M\to +\infty}\frac{e^{-M(2+3\alpha)}-1}{-(2+3\alpha)}=\frac{-1}{-(2+3\alpha)}=\frac{1}{2+3\alpha}

Se

2+3\alpha<0\ \ \ \to \ \ \ \alpha<-\frac{2}{3}

il seguente limite diverge

\lim_{M\to +\infty}e^{-M(2+3\alpha)}=[e^{+\infty}]=+\infty

dunque diverge anche il limite che definisce l'integrale improprio.

Se

2+3\alpha=0\ \ \ \to \ \ \ \alpha=-\frac{2}{3}

allora e^{-(2+3\alpha)x}=e^{0}=1, di conseguenza

\int_{0}^{+\infty}e^{-(3\alpha+2)x}dx=\int_{0}^{+\infty}1dx=+\infty

In virtù del criterio del confronto asintotico, possiamo concludere che:

- se \alpha>-\frac{2}{3}, allora

\int_{0}^{+\infty}e^{-3\alpha x}\sin(e^{-2x})dx

converge;

- se \alpha\le-\frac{2}{3}, l'integrale dato diverge.

L'analisi è conclusa.
Ringraziano: Galois, duendor
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Os