L'esercizio chiede di determinare per quali valori di

la
serie di potenze
converge puntualmente.
Dovrebbe essere evidente che l'espressione della serie può essere semplificata. Possiamo infatti raccogliere

al denominatore del termine generale e semplificare.
Ad ogni modo, il problema può essere affrontato in due modi differenti:
- facendo affidamento alla teoria che caratterizza le serie di potenze;
- utilizzando le strategie generali valide per le
serie di funzioni.
Sia chiaro, ricaveremo comunque le medesime conclusioni, pertanto scegliere l'una o l'altra strategia risolutiva non cambia nulla se non la mole di calcoli. Per comodità, vediamo come comportarci usando la teoria delle serie di potenze.
Osserviamo che la serie si presenta nella forma
dove
è una
successione a termini positivi.
La strategia risolutiva passa per il calcolo del raggio di convergenza

, grazie al quale riusciamo a determinare l'intervallo di convergenza associato alla serie.
Il raggio di convergenza è il reciproco di

, dove

è definito mediante il seguente limite
Nel caso in esame
mentre
Esplicitati i due termini, possiamo costruire il limite
Per poterlo calcolare, esprimiamo in forma normale la
frazione di frazioni
dopodiché eseguiamo il prodotto all'interno del
valore assoluto
Notiamo che in realtà il valore assoluto è del tutto superfluo in questa circostanza perché il suo argomento è un rapporto di quantità positive.
Il limite si presenta nella forma di indecisione
![\left[\frac{\infty}{\infty}\right]](data:image/gif;base64,R0lGODlhIAAiAIQAAP///wAAAEBAQNDQ0MDAwPDw8HBwcGBgYODg4LCwsICAgKCgoFBQUCAgIDAwMBAQEJCQkAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAACH5BAEAAAAALAAAAAAgACIAAAXmoCAKA2CeaKoCxrgERFygRXsQKHEIB4IOsYMisEIIEoThwbRg+Gq+lGK4UsxMg8BhsUQpVFOiypB6NcZgKljVCJS8aXGKjOI6HlcT3atOERYnEEsFDg04BTdxKwAJDCJfJgUKbQ44iouYmQBhmp2XnqCcoKF9o5qipqelqYuoJwGwsbKzsnxyrK2ruFK6uyeuvrbBVb3BwMObxb7Hw8wANTyWJjo8Uby3J0ZISkxOzwbWv71WJ1lbXb+fKHtMAWdz6ukpbW/ywmh1B3d5LHGx0n8CDSp0KJEJAbEgrWj06IQkStJUhAAAOw==)
, però possiamo scioglierla velocemente lasciando gli
infiniti e trascurando le costanti
Poiché il limite

, il raggio di convergenza associato alla nostra serie è
In accordo con la teoria delle serie di potenze, se

soddisfa la relazione
ossia se

, la serie di potenze converge.
Se invece
la serie non converge, mentre il caso
merita qualche approfondimento in più.
Se

, la serie di potenze si tramuta nella
serie numerica
Più precisamente, essa è una serie a segni alterni infatti si presenta nella forma
con
Per capire se converge o diverge, è sufficiente fare affidamento al
criterio di Leibniz, il quale garantisce la convergenza della serie se la successione

è:
- positiva, e lo è perché rapporto di quantità positive);
- decrescente, e lo è perché
è una disequazione vera per ogni
- infinitesima, e lo è perché è zero il limite
Per Leibniz, la serie di potenze converge anche in

.
Se

, la serie di potenze si riscrive nella forma
la quale però non converge perché si comporta esattamente come la
serie armonica
che è notoriamente divergente.
In definitiva, possiamo affermare che la serie di potenze converge se

oppure se

e mettendo assieme queste informazioni, concludiamo che l'insieme di convergenza è
Abbiamo finito.