Studio di una serie di potenze e la sua convergenza semplice

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Studio di una serie di potenze e la sua convergenza semplice #98403

avt
xxkimeraxx
Punto
Salve a tutti, devo studiare la convergenza semplice di una serie di potenze e dire in quale intervallo appartiene la x.

La serie di potenze è la seguente:

\sum_{n=1}^{\infty} \left(\frac{nx^n}{n^2+n}\right)
 
 

Re: Studio di una serie di potenze e la sua convergenza semplice #98406

avt
Ifrit
Amministratore
L'esercizio chiede di determinare per quali valori di x\in\mathbb{R} la serie di potenze

\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{nx^n}{n^2+n}

converge puntualmente.

Dovrebbe essere evidente che l'espressione della serie può essere semplificata. Possiamo infatti raccogliere n al denominatore del termine generale e semplificare.

\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{nx^n}{n^2+n}=\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{nx^n}{n(n+1)}=\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{x^n}{n+1}

Ad ogni modo, il problema può essere affrontato in due modi differenti:

- facendo affidamento alla teoria che caratterizza le serie di potenze;

- utilizzando le strategie generali valide per le serie di funzioni.

Sia chiaro, ricaveremo comunque le medesime conclusioni, pertanto scegliere l'una o l'altra strategia risolutiva non cambia nulla se non la mole di calcoli. Per comodità, vediamo come comportarci usando la teoria delle serie di potenze.

Osserviamo che la serie si presenta nella forma

\sum_{n=1}^{+\infty}a_n x^n

dove

a_n=\frac{n}{n^2+n}=\frac{1}{n+1}

è una successione a termini positivi.

La strategia risolutiva passa per il calcolo del raggio di convergenza R, grazie al quale riusciamo a determinare l'intervallo di convergenza associato alla serie.

Il raggio di convergenza è il reciproco di l, dove l è definito mediante il seguente limite

l=\lim_{n\to +\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\right|

Nel caso in esame

a_n=\frac{1}{n+1}

mentre

a_{n+1}=\frac{1}{(n+1)+1}=\frac{1}{n+2}

Esplicitati i due termini, possiamo costruire il limite

\\ l=\lim_{n\to +\infty}\left|\frac{\frac{1}{n+2}}{\frac{1}{n+1}}\right|=

Per poterlo calcolare, esprimiamo in forma normale la frazione di frazioni

=\lim_{n\to +\infty}\left|\frac{1}{n+2}\cdot(n+1)\right|=

dopodiché eseguiamo il prodotto all'interno del valore assoluto

=\lim_{n\to +\infty}\left|\frac{n+1}{n+2}\right|=

Notiamo che in realtà il valore assoluto è del tutto superfluo in questa circostanza perché il suo argomento è un rapporto di quantità positive.

=\lim_{n\to +\infty}\frac{n+1}{n+2}=

Il limite si presenta nella forma di indecisione \left[\frac{\infty}{\infty}\right], però possiamo scioglierla velocemente lasciando gli infiniti e trascurando le costanti

=\lim_{n\to +\infty}\frac{n}{n}=1

Poiché il limite l=1, il raggio di convergenza associato alla nostra serie è

R=\frac{1}{l}=1

In accordo con la teoria delle serie di potenze, se x soddisfa la relazione

|x|<R\ \ \ \to \ \ \ |x|<1

ossia se -1<x<1, la serie di potenze converge.

Se invece

|x|>R \ \ \to \ \ |x|>1 \ \to \ x<-1\ \vee \ x>1

la serie non converge, mentre il caso

|x|=R \ \ \to \ \ |x|=1 \ \to \ x=-1 \ \vee \ x=1

merita qualche approfondimento in più.

Se x=-1, la serie di potenze si tramuta nella serie numerica

\sum_{n\to +\infty}(-1)^n\frac{1}{n+1}

Più precisamente, essa è una serie a segni alterni infatti si presenta nella forma

\sum_{n=1}^{+\infty}(-1)^{n}b_n

con

b_n=\frac{1}{n+1}

Per capire se converge o diverge, è sufficiente fare affidamento al criterio di Leibniz, il quale garantisce la convergenza della serie se la successione b_n=\frac{1}{n+1} è:

- positiva, e lo è perché rapporto di quantità positive);

- decrescente, e lo è perché

b_{n+1}<b_n \ \ \ \to \frac{1}{n+2}<\frac{1}{n+1}

è una disequazione vera per ogni n\in\mathbb{N}

- infinitesima, e lo è perché è zero il limite

\lim_{n\to+\infty}b_n=\lim_{n\to+\infty}\frac{1}{n+1}=0

Per Leibniz, la serie di potenze converge anche in x=-1.

Se x=1, la serie di potenze si riscrive nella forma

\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n+1}

la quale però non converge perché si comporta esattamente come la serie armonica

\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n}

che è notoriamente divergente.

In definitiva, possiamo affermare che la serie di potenze converge se -1<x<1 oppure se x=-1 e mettendo assieme queste informazioni, concludiamo che l'insieme di convergenza è

I=[-1,1)

Abbiamo finito.
Ringraziano: Galois, CarFaby
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Os