Studio di una serie di potenze e la sua convergenza semplice
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![]() xxkimeraxx Punto | Salve a tutti, devo studiare la convergenza semplice di una serie di potenze e dire in quale intervallo appartiene la La serie di potenze è la seguente: ![]() |
#98406
![]() Ifrit Amministratore | L'esercizio chiede di determinare per quali valori di ![]() converge puntualmente. Dovrebbe essere evidente che l'espressione della serie può essere semplificata. Possiamo infatti raccogliere ![]() Ad ogni modo, il problema può essere affrontato in due modi differenti: - facendo affidamento alla teoria che caratterizza le serie di potenze; - utilizzando le strategie generali valide per le serie di funzioni. Sia chiaro, ricaveremo comunque le medesime conclusioni, pertanto scegliere l'una o l'altra strategia risolutiva non cambia nulla se non la mole di calcoli. Per comodità, vediamo come comportarci usando la teoria delle serie di potenze. Osserviamo che la serie si presenta nella forma ![]() dove ![]() è una successione a termini positivi. La strategia risolutiva passa per il calcolo del raggio di convergenza Il raggio di convergenza è il reciproco di ![]() Nel caso in esame ![]() mentre ![]() Esplicitati i due termini, possiamo costruire il limite ![]() Per poterlo calcolare, esprimiamo in forma normale la frazione di frazioni ![]() dopodiché eseguiamo il prodotto all'interno del valore assoluto ![]() Notiamo che in realtà il valore assoluto è del tutto superfluo in questa circostanza perché il suo argomento è un rapporto di quantità positive. ![]() Il limite si presenta nella forma di indecisione ![]() Poiché il limite ![]() In accordo con la teoria delle serie di potenze, se ossia se Se invece ![]() la serie non converge, mentre il caso ![]() merita qualche approfondimento in più. Se ![]() Più precisamente, essa è una serie a segni alterni infatti si presenta nella forma ![]() con ![]() Per capire se converge o diverge, è sufficiente fare affidamento al criterio di Leibniz, il quale garantisce la convergenza della serie se la successione ![]() - positiva, e lo è perché rapporto di quantità positive); - decrescente, e lo è perché ![]() è una disequazione vera per ogni - infinitesima, e lo è perché è zero il limite ![]() Per Leibniz, la serie di potenze converge anche in Se ![]() la quale però non converge perché si comporta esattamente come la serie armonica ![]() che è notoriamente divergente. In definitiva, possiamo affermare che la serie di potenze converge se Abbiamo finito. |
Ringraziano: Galois, CarFaby |
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