Determinare una base per un sottospazio, per il complemento ortogonale e trovare la proiezione ortogonale di un vettore

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Determinare una base per un sottospazio, per il complemento ortogonale e trovare la proiezione ortogonale di un vettore #98195

avt
simo.fildi
Punto
Salve ragazzi, ho un esercizio in cui devo trovare una base per un sottospazio definito da un'equazione cartesiana e una base per il suo complemento ortogonale, per poi determinare la proiezione ortogonale sui due sottospazi di un vettore assegnato.

Ecco il testo del problema:

sia U il sottospazio vettoriale di \mathbb{R}^4 di equazione cartesiana 2a+b-c=0.

- Determinare una base di U.

- Determinare le equazioni cartesiane e una base di U^{\perp}.

- Dato il vettore \mathbf{v}=(1,0,0,1), calcolare le proiezioni ortogonali di \mathbf{v} sui sottospazi U e U^{\perp}.

Grazie in anticipo emt
 
 

Determinare una base per un sottospazio, per il complemento ortogonale e trovare la proiezione ortogonale di un vettore #98198

avt
Galois
Coamministratore
Il testo dell'esercizio fornisce un sottospazio vettoriale di \mathbb{R}^4 definito mediante un'equazione cartesiana

U=\{(a,b,c,d) \in \mathbb{R}^4 \mbox{ tali che } 2a+b-c=0\}

e dobbiamo:

1) Determinare una base di U.

2) Determinare le equazioni cartesiane e una base del complemento ortogonale U^{\perp}.

3) Dato il vettore \mathbf{v}=(1,0,0,1) calcolare le proiezioni ortogonali \mbox{proj}_U(\mathbf{v}) \mbox{ e } \mbox{proj}_{U^{\perp}}(\mathbf{v}) di \mathbf{v} sui sottospazi U \mbox{ e } U^{\perp}

Procediamo con ordine e risolviamo i vari punti uno per volta. Ti raccomando di leggere le lezioni e le pagine di approfondimento che linkerò di volta in volta in fase di risposta.

1) U è sottospazio di \mathbb{R}^n, con n=4, definito da una sola equazione cartesiana.

In accordo con quanto visto nella lezione su dimensione e base di un sottospazio definito da equazioni cartesiane possiamo affermare immediatamente che la dimensione del sottospazio U è data da

\mbox{dim}(U)=n-1=4-1=3

Pertanto a tre delle quattro incognite a, \ b, \ c, \ d dobbiamo assegnare il ruolo di parametro.

Ad esempio (la scelta è del tutto arbitraria) poniamo

a=\alpha, \ c=\beta, \ d=\delta

Sostituiamo nell'equazione del sottospazio

2\alpha+y-\beta=0

e ricaviamo il valore dell'incognita y

y=-2\alpha+\beta

La forma vettoriale di un generico elemento del sottospazio U è

(\alpha, \ -2\alpha+\beta, \ \beta, \ \delta)

Esprimiamola sotto forma di combinazione lineare dei parametri \alpha, \ \beta, \ \delta:

\\ (\alpha, \ -2\alpha+\beta, \ \beta, \ \delta) = \\ \\ \alpha(1,-2,0,0)+\beta(0,1,1,0)+\delta(0,0,0,1)

I vettori della precedente combinazione formano una base per U:

B_{U}=\{(1,-2,0,0), \ (0,1,1,0), \ (0,0,0,1)\}


2) Dobbiamo ora trovare una base per U^{\perp}, cioè per il complemento ortogonale del sottospazio U.

Osserviamo preliminarmente che la dimensione del complemento ortogonale è 1

\mbox{dim}(U^{\perp})=1

infatti se U è un sottospazio di \mathbb{R}^n allora \mathbb{R}^n è somma diretta di U e U^{\perp}, quindi nel nostro caso

\mathbb{R}^4=U \oplus U^{\perp}

Per la formula di Grassmann

\mbox{dim}(\mathbb{R}^4) = \mbox{dim}(U)+\mbox{dim}(U^{\perp})

da cui segue che

\mbox{dim}(U^{\perp})=\mbox{dim}(\mathbb{R}^4) - \mbox{dim}(U)=4-3=1

Troviamone ora una base, la quale conterrà un solo vettore.

Per definizione, ogni vettore appartenente a U^{\perp} è ortogonale (rispetto al prodotto scalare canonico di \mathbb{R}^4) a tutti i vettori della base di U precedentemente trovata

B_{U}=\{(1,-2,0,0), \ (0,1,1,0), \ (0,0,0,1)\}

Cioè, per ogni \mathbf{u}=(x,y,z,t)\in U^{\perp}:

\\ (x,y,z,t) \cdot (1,-2,0,0) = 0 \\ \\ (x,y,z,t) \cdot (0,1,1,0) = 0 \\ \\ (x,y,z,t) \cdot (0,0,0,1) = 0

Svolgendo i precedenti prodotti scalari ricaviamo le seguenti condizioni

\\ (x,y,z,t) \cdot (1,-2,0,0) = 0 \iff x-2y=0 \\ \\ (x,y,z,t) \cdot (0,1,1,0) = 0 \iff y+z=0 \\ \\ (x,y,z,t) \cdot (0,0,0,1) = 0 \iff t=0

Formiamo con esse un sistema lineare

\begin{cases}x-2y=0 \\ y+z=0 \\ t=0\end{cases}

Determinare una base per U^{\perp} equivale a trovare una base per l'insieme delle soluzioni del sistema lineare omogeneo poc'anzi scritto.

La matrice incompleta associata al sistema

A=\begin{pmatrix}1&-2&0&0 \\ 0&1&1&0 \\ 0&0&0&1\end{pmatrix}

ha rango 3.

Per stabilirlo non serve fare alcun conto. Basta infatti osservare che la precedente matrice ha per righe le componenti dei vettori della base di U, e in quanto tali sono linearmente indipendenti, ragion per cui la matrice da essi formata ha rango massimo.

Poiché il sistema dipende da 4 incognite (x,y,z,t), per determinare una base per l'insieme delle soluzioni, assegniamo a

4-\mbox{rango}(A)=4-3=1

incognita il ruolo di parametro libero. Poniamo, ad esempio

y=\alpha

e ricaviamo il valore delle altre incognite in funzione di \alpha

\begin{cases}y=\alpha \\ x-2y=0 \to x=2y \to x=2\alpha \\ y+z=0 \to z=-y \to z=-\alpha \\ t=0\end{cases}

Le infinite soluzioni del sistema sono, allora

(x,y,z,t)=(2\alpha, \ \alpha, \ -\alpha, \ 0), \mbox{ con } \alpha \in \mathbb{R}.

Esprimendole sotto forma di combinazione lineare otteniamo una base per l'insieme delle soluzioni del sistema e quindi una base per U^{\perp}

(x,y,z,t)=(2\alpha, \ \alpha, \ -\alpha, \ 0)=\alpha(2,1,-1,0)

Dunque

B_{U^{\perp}}=\{(2,1,-1,0)\}

Le equazioni cartesiane di U^{\perp} le abbiamo già individuate e sono quelle del precedente sistema lineare omogeneo, ossia

U^{\perp}=\{(x,y,z,t)\in \mathbb{R}^4 \mbox{ tali che } x-2y=0, \ y+z=0, \ t=0\}

A ogni modo ti invito a leggere la nostra lezione su come ricavare le equazioni cartesiane da un sistema di generatori, in tal modo potrei vedere qual è il metodo generale con cui si procede.


3) In generale, per calcolare la proiezione ortogonale di un vettore su un sottospazio vettoriale U occorre procedere come segue:

- individuare una base per U;

- rendere la base trovata una base ortonormale con il processo di Gram-Schmidt;

- la proiezione ortogonale di un generico vettore \mathbf{v} sul sottospazio U è il vettore:

\mbox{proj}_U(\mathbf{v})=\langle\mathbf{v},\mathbf{u}_1\rangle\mathbf{u}_1+\langle\mathbf{v},\mathbf{u}_2\rangle\mathbf{u}_2+...+\langle\mathbf{v},\mathbf{u}_r\rangle\mathbf{u}_r

dove \{\mathbf{u}_1,\mathbf{u}_2, ..., \mathbf{u}_r\} è una base ortonormale per U e \langle ... \ , \ ... \rangle denota il prodotto scalare definito in U.

Iniziamo col trovare la proiezione ortogonale di \mathbf{v}=(1,0,0,1) sul sottospazio U.

Una base di U l'abbiamo già calcolata

B_{U}=\{(1,-2,0,0), \ (0,1,1,0), \ (0,0,0,1)\}

Ti invito a tenere sotto mano la lezione sul processo di ortogonalizzazione Gram-Schmidt. Siano:

\\ \mathbf{v}_1=(1,-2,0,0) \\ \\ \mathbf{v}_2=(0,1,1,0) \\ \\ \mathbf{v}_3=(0,0,0,1)

i vettori di B_{U}. Per ortogonalizzarla poniamo

\\ \mathbf{w}_1=\mathbf{v}_1=(1,-2,0,0) \\ \\ \mathbf{w}_2=\mathbf{v}_2-\frac{\mathbf{v}_2 \cdot \mathbf{w}_1}{\mathbf{w}_1 \cdot \mathbf{w}_1}\mathbf{w}_1 = \\ \\ \\ = (0,1,1,0)-\frac{(0,1,1,0) \cdot (1,-2,0,0)}{(1,-2,0,0) \cdot (1,-2,0,0)} (1,-2,0,0) = \\ \\ \\ = (0,1,1,0)-\frac{0-2+0+0}{1+4+0+0}(1,-2,0,0) = \\ \\ \\ = (0,1,1,0) - \frac{-2}{5}(1,-2,0,0) = (0,1,1,0)+\frac{2}{5}(1,-2,0,0) = \\ \\ \\ = \left(\frac{2}{5},\frac{1}{5},1,0\right) \\ \\ \\ \mathbf{w}_3=\mathbf{v}_3-\frac{\mathbf{v}_3 \cdot \mathbf{w}_1}{\mathbf{w}_1 \cdot \mathbf{w}_1}\mathbf{w}_1-\frac{\mathbf{v}_3 \cdot \mathbf{w}_2}{\mathbf{w}_2 \cdot \mathbf{w}_2}\mathbf{w}_2 = \\ \\ \\ = (0,0,0,1) - \frac{(0,0,0,1) \cdot (1,-2,0,0)}{(1,-2,0,0) \cdot (1,-2,0,0)}(1,-2,0,0) + \\ \\ \\ -  \frac{(0,0,0,1) \cdot \left(\frac{2}{5},\frac{1}{5},1,0 \right )}{\left(\frac{2}{5},\frac{1}{5},1,0 \right ) \cdot \left(\frac{2}{5},\frac{1}{5},1,0 \right )} \left(\frac{2}{5},\frac{1}{5},1,0 \right ) = \\ \\ \\ = (0,0,0,1)-\mathbf{0}-\mathbf{0}= \\ \\ = (0,0,0,1)

dove \mathbf{0} è il vettore nullo di \mathbb{R}^4.

In definitiva, una base ortogonale di U è

\\ \{\mathbf{w}_1, \ \mathbf{w}_2, \ \mathbf{w}_3\} = \\ \\ \\ = \left\{(1,-2,0,0), \ \left(\frac{2}{5},\frac{1}{5},1,0\right), \ (0,0,0,1)\right\}

Per ortonormalizzarla dobbiamo dividere le componenti dei primi due vettori per la rispettiva norma. Il terzo vettore ha, infatti, già norma 1.

\\ ||\mathbf{w}_1||=\sqrt{1^2+(-2)^2} = \sqrt{1+4}=\sqrt{5} \\ \\ \\ ||\mathbf{w}_2|| = \sqrt{\frac{4}{25}+\frac{1}{25}+1} = \sqrt{\frac{30}{25}} = \sqrt{\frac{6}{5}}=\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{5}}

Una base ortonormale di U è allora formata dai vettori

\\ \mathbf{u}_1=\left(\frac{1}{\sqrt{5}}, -\frac{2}{\sqrt{5}},0,0\right) \\ \\ \\ \mathbf{u}_2=\left(\frac{2\sqrt{5}}{5\sqrt{6}}, \frac{\sqrt{5}}{5\sqrt{6}},\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{6}},0\right)=\left(\sqrt{\frac{2}{15}}, \sqrt{\frac{1}{30}}, \sqrt{\frac{5}{6}},0 \right ) \\ \\ \\ \mathbf{u}_3=(0,0,0,1)

Possiamo finalmente trovare la proiezione ortogonale di \mathbf{v}=(1,0,0,1) su U:

(*) \ \mbox{proj}_U(\mathbf{v})=\langle\mathbf{v},\mathbf{u}_1\rangle\mathbf{u}_1+\langle\mathbf{v},\mathbf{u}_2\rangle\mathbf{u}_2+\langle\mathbf{v},\mathbf{u}_3\rangle\mathbf{u}_3

Calcoliamo a parte i prodotti scalari

\\ \langle\mathbf{v},\mathbf{u}_1\rangle = (1,0,0,1) \cdot \left(\frac{1}{\sqrt{5}}, -\frac{2}{\sqrt{5}},0,0\right) = \frac{1}{\sqrt{5}} \\ \\ \\ \langle\mathbf{v},\mathbf{u}_2\rangle = (1,0,0,1) \cdot \left(\sqrt{\frac{2}{15}}, \sqrt{\frac{1}{30}}, \sqrt{\frac{5}{6}},0 \right ) = \sqrt{\frac{2}{15}} \\ \\ \\ \langle\mathbf{v},\mathbf{u}_3\rangle = (1,0,0,1) \cdot (0,0,0,1) = 1

Sostituendo in (*) e svolgendo i conti otteniamo:

\\ \mbox{proj}_U(\mathbf{v})=\frac{1}{\sqrt{5}}\left(\frac{1}{\sqrt{5}}, -\frac{2}{\sqrt{5}},0,0\right) + \\ \\ \\ + \sqrt{\frac{2}{15}} \left(\sqrt{\frac{2}{15}}, \sqrt{\frac{1}{30}}, \sqrt{\frac{5}{6}},0 \right ) + 1 (0,0,0,1) = \\ \\ \\ = \left(\frac{1}{5},-\frac{2}{5},0,0\right)+\left(\frac{2}{15}, \frac{1}{15}, \frac{1}{3},0\right) + (0,0,0,1) = \left(\frac{1}{3},-\frac{1}{3},\frac{1}{3},1 \right)

-------

La base del sottospazio U^{\perp} è, fortunatamente, formata da un solo vettore

B_{U^{\perp}}=\{(2,1,-1,0)\}

Per renderla ortonormale è sufficiente dividere le componenti del vettore (2,1,-1,0) per la sua norma

||(2,1,-1,0)||=\sqrt{4+1+1}=\sqrt{6}

quindi

\left\{\left(\frac{2}{\sqrt{6}}, \frac{1}{\sqrt{6}}, -\frac{1}{\sqrt{6}}, 0\right)\right\}

è la base ortonormale cercata. Di conseguenza:

\\ \mbox{proj}_{U^{\perp}}(\mathbf{v})=\left[(1,0,0,1) \cdot \left(\frac{2}{\sqrt{6}}, \frac{1}{\sqrt{6}}, -\frac{1}{\sqrt{6}}, 0\right)\right]\left(\frac{2}{\sqrt{6}}, \frac{1}{\sqrt{6}}, -\frac{1}{\sqrt{6}}, 0\right) = \\ \\ \\ = \frac{2}{\sqrt{6}} \left(\frac{2}{\sqrt{6}}, \frac{1}{\sqrt{6}}, -\frac{1}{\sqrt{6}}, 0\right) = \left(\frac{2}{3},\frac{1}{3},-\frac{1}{3},0 \right )




È tutto, ma prima di salutarti ti segnalo un modo più veloce per risolvere il punto 3).

Poiché la base del complemento ortogonale è formata da un solo vettore, conviene dapprima calcolare la proiezione ortogonale del vettore \mathbf{v} su U^{\perp}, per poi determinare la proiezione ortogonale di \mathbf{v} su U come differenza, ossia

\mbox{proj}_{U}(\mathbf{v})=\mathbf{v}-\mbox{proj}_{U^{\perp}}(\mathbf{v})

Svolgendo i conti è immediato notare che si ottiene lo stesso risultato, infatti

\\ \mbox{proj}_{U}(\mathbf{v})=\mathbf{v}-\mbox{proj}_{U^{\perp}}(\mathbf{v}) = \\ \\ =(1,0,0,1)-\left(\frac{2}{3},\frac{1}{3},-\frac{1}{3},0\right)=\left(\frac{1}{3},-\frac{1}{3},\frac{1}{3},1\right)
Ringraziano: Ifrit, CarFaby, simo.fildi
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