Determinare una base per un sottospazio, per il complemento ortogonale e trovare la proiezione ortogonale di un vettore

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Determinare una base per un sottospazio, per il complemento ortogonale e trovare la proiezione ortogonale di un vettore #98195

avt
simo.fildi
Punto
Ho un esercizio in cui devo trovare una base per un sottospazio definito da un'equazione cartesiana, una base per il suo complemento ortogonale e calcolare le proiezioni ortogonali di un vettore sui due sottospazi rispetto al prodotto scalare canonico. Vi riporto il testo del problema...

Sia U il sottospazio vettoriale di \mathbb{R}^4 di equazione cartesiana 2x+y-z=0.

(a) Determinare una base di U.

(b) Calcolare le equazioni cartesiane e una base di U^{\perp} rispetto al prodotto scalare canonico.

(c) Dato il vettore \mathbf{v}=(1,0,0,1), calcolare le proiezioni ortogonali di \mathbf{v} sui sottospazi U^{\perp} e U.
 
 

Determinare una base per un sottospazio, per il complemento ortogonale e trovare la proiezione ortogonale di un vettore #98198

avt
Galois
Amministratore
È noto che U è un sottospazio vettoriale di \mathbb{R}^4 definito mediante un'equazione cartesiana

U=\{(x,y,z,t) \in \mathbb{R}^4 \ | \ 2x+y-z=0\}

e dobbiamo:

- trovare una base di U.

- calcolare le equazioni cartesiane e una base del complemento ortogonale U^{\perp} di U rispetto al prodotto scalare canonico.

- determinare le proiezioni ortogonali del vettore \mathbf{v}=(1,0,0,1) sui sottospazi U^{\perp} e U.

Procediamo con ordine e risolviamo i vari punti uno per volta.


Base del sottospazio U

U è sottospazio di \mathbb{R}^n, con n=4, definito da una sola equazione cartesiana, dunque la sua dimensione è pari a 3

\mbox{dim}(U)=n-1=4-1=3

Per calcolarne a una base scriviamoci l'equazione cartesiana che lo definisce

2x+y-z=0

e, da essa, ricaviamo la forma vettoriale di un suo qualsiasi elemento.

Assegniamo il ruolo di parametro libero alle incognite x,z,t:

x=a \ \ ; \ \ z=b \ \ ; \ \ t=c \ \ \mbox{ con } a,b,c \in \mathbb{R}

Sostituiamo nell'equazione del sottospazio e ricaviamo il valore di y

2x+y-z=0 \ \to \ 2a+y-b=0 \ \to \ y=-2a+b

La forma vettoriale di un generico elemento del sottospazio U è

(x,y,z,t)=(a, \ -2a+b, \ b, \ c)

Esprimiamola sotto forma di combinazione lineare dei parametri a,b,c:

(x,y,z,t)=(a, \ -2a+b, \ b, \ c)= \\ \\ = a(1,-2,0,0)+b(0,1,1,0)+c(0,0,0,1)

I vettori della precedente combinazione formano una base per U:

\mathcal{B}_{U}=\{(1,-2,0,0), \ (0,1,1,0), \ (0,0,0,1)\}


Calcolo di una base di U^{\perp}

U^{\perp} è un sottospazio vettoriale di \mathbb{R}^4 i cui elementi sono i vettori di \mathbb{R}^4 ortogonali, rispetto al prodotto scalare canonico, a ogni elemento di U, ossia

U^{\perp}=\{\mathbf{w} \in \mathbb{R}^4 \ | \ \mathbf{w} \cdot \mathbf{u} = 0 \ \ \forall \ \mathbf{u} \in U\}

Per calcolare una base del complemento ortogonale procediamo, allora, come segue.

Sia \mathbf{w}=(x,y,z,t) un qualsiasi vettore di \mathbb{R}^4 espresso in coordinate riferite alla base canonica e imponiamo che i prodotti scalari tra \mathbf{w} e i vettori di \mathcal{B}_U siano contemporaneamente nulli

\begin{cases} (x,y,z,t) \cdot (1,-2,0,0) = 0 \\ (x,y,z,t) \cdot (0,1,1,0) = 0 \\ (x,y,z,t) \cdot (0,0,0,1) = 0 \end{cases}

Svolgiamo i prodotti scalari e otteniamo il seguente sistema lineare omogeneo nelle incognite x,y,z,t

\begin{cases} x-2y=0 \\ y+z=0 \\ t=0 \end{cases}

Per com'è stato costruito, una base per l'insieme delle soluzioni del sistema sarà una base di U^{\perp}.

La matrice incompleta associata è

A=\begin{pmatrix}1&-2&0&0 \\ 0&1&1&0 \\ 0&0&0&1\end{pmatrix}

ed ha rango pari a 3. Poiché il sistema dipende da 4 incognite, per il teorema di Rouché-Capelli ammette \infty^1 soluzioni, date da:

(x,y,z,t)=(2a,a,-a,0)=a(2,1,-1,0) \ \ \mbox{ con } a \in \mathbb{R}

di conseguenza

B_{U^{\perp}}=\{\mathbf{u}\}=\{(2,1,-1,0)\}


Equazioni cartesiane di U^{\perp}

In questo caso c'è ben poco da fare: le equazioni cartesiane di U^{\perp} le abbiamo già individuate e sono quelle del sistema lineare omogeneo con cui ne abbiamo calcolato una base, ossia

U^{\perp}=\{(x,y,z,t)\in \mathbb{R}^4 \ | \ x-2y=0, \ y+z=0, \ t=0\}


Proiezione ortogonale di \mathbf{v} su U^{\perp}

Poiché la dimensione di U^{\perp} è pari a 1, la proiezione ortogonale del vettore \mathbf{v}=(1,0,0,1) sul sottospazio U^{\perp} è data da:

P_{U^{\perp}}(\mathbf{v}) = (\mathbf{v} \cdot \mathbf{u}_1) \mathbf{u}_1

dove \mathbf{u}_1 è quel vettore che individua una base ortonormale di U^{\perp}.

Per calcolare \mathbf{u}_1 è sufficiente normalizzare il vettore che forma una base di U^{\perp}, ossia

\mathbf{u}_1=\frac{1}{||\mathbf{u}||} \ ||\mathbf{u}||

Calcoliamo la norma di \mathbf{u}:

||\mathbf{u}||=||(2,1,-1,0)|| = \sqrt{4+1+1+0} = \sqrt{6}

di conseguenza

\\ \mathbf{u}_1=\frac{1}{||\mathbf{u}||} \ ||\mathbf{u}|| = \frac{1}{\sqrt{6}}(2,1,-1,0) = \\ \\ \\ = \left(\frac{2}{\sqrt{6}}, \frac{1}{\sqrt{6}}, -\frac{1}{\sqrt{6}}, 0\right)

In definitiva:

\\ P_{U^{\perp}}(\mathbf{v}) = (\mathbf{v} \cdot \mathbf{u}_1) \mathbf{u}_1= \\ \\ = \left[(1,0,0,1) \cdot \left(\frac{2}{\sqrt{6}}, \frac{1}{\sqrt{6}}, -\frac{1}{\sqrt{6}}, 0\right)\right]\left(\frac{2}{\sqrt{6}}, \frac{1}{\sqrt{6}}, -\frac{1}{\sqrt{6}}, 0\right) = \\ \\ \\ = \frac{2}{\sqrt{6}} \left(\frac{2}{\sqrt{6}}, \frac{1}{\sqrt{6}}, -\frac{1}{\sqrt{6}}, 0\right) = \left(\frac{2}{3},\frac{1}{3},-\frac{1}{3},0 \right)


Proiezione ortogonale di \mathbf{v} su U

Poiché il complemento ortogonale di U ha dimensione pari a 1, la proiezione ortogonale P_U(\mathbf{v}) di \mathbf{v} su U è data dalla differenza tra \mathbf{v} e la proiezione di \mathbf{v} su U^{\perp}, ossia:

\\ P_U(\mathbf{v})=\mathbf{v}-P_{U^{\perp}}(\mathbf{v})=\\ \\ = (1,0,0,1)-\left(\frac{2}{3},\frac{1}{3},-\frac{1}{3},0\right)=\left(\frac{1}{3},-\frac{1}{3},\frac{1}{3},1\right)

Abbiamo terminato!
Ringraziano: Ifrit, CarFaby, simo.fildi
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Os