Dominio funzione con arcoseno ed equazione di terzo grado

Avrei bisogno di una mano per calcolare il dominio di una funzione con arcoseno, per la quale le condizioni di esistenza conducono a un'equazione di terzo grado irrisolvibile in maniera elementare.

Ecco la funzione:



preciso che il -1 non è argomento del log, lo è tutto il modulo,non sono riuscito a scrivere di meglio col latex, chiedo venia.

Salve, sono uno studente di ingegneria, e operando con l'eserciziario consigliatoci dalla professoressa, mi sono imbattuto in questa funzione. L'eserciziario è di un professore del dipartimento di matematica, quindi forse gli esercizi sono più difficili di quello a cui sono abituato.

Non avendo praticamente fatto matematica al liceo, ho seguito il vostro forum riguardo le disequazioni e lo studio del dominio, con ottimi risultati. Seguendo proprio lo schema classico, la prima difficoltà l'ho incontrata nell'imposizione delle c.e. dell' arcoseno. Testato anche su wolfram (2x^3-x)\2 <>=+-1 non ha soluzioni umane.

Mi avvicino al risultato, o meglio ottengo i valori che sono da escludere poi dal dominio se impongo tutto quello minore, maggiore ecc... di 0.

Vorrei davvero capire il procedimento, perché sono quasi sicuro che più che iniziare a fare i calcoli, questa funzione vada prima ragionata, ma non sono riuscito a capire come. Vi prego di trattarmi senza dare nulla per scontato e linkandomi quante più cose utili a riguardo del Vostro forum, mi interessa capire come ragionare in questi casi più che l'esercizio in sé.

Cordiali saluti.

Ciao Simone il Ramingo,

in effetti l'esercizio che proponi richiede un po' di malizia matematica per portarlo a termine con eleganza.

Ci viene chiesto di calcolare il dominio della funzione



In essa compaiono diverse funzioni che presentano criticità dal punto di vista del dominio:

- la radice quadrata ha bisogno che il proprio radicando sia non negativo;

- il logaritmo richiede che il proprio argomento sia maggiore di zero;

- l'arcoseno pretende che il proprio argomenti sia compreso tra -1 e 1 inclusi.

Insomma, bisogna imporre diverse condizioni affinché i termini che compongono siano ben posti.

Proprio perché tali termini sono incapsulati l'uno dentro l'altro, possiamo procedere in maniera leggermente differente: invece di imporre tutto d'un colpo le condizioni di esistenza, procederemo un passo alla volta, imponendo man mano i vincoli richiesti.

Affinché la radice quadrata abbia senso richiediamo che il suo radicando sia non negativo, ossia deve sussistere la relazione



Essa è una disequazione logaritmica in cui la base è compresa tra 0 e 1 (esclusi).

Tale disequazione è ben posta nel momento in cui l'argomento del logaritmo è positivo, ossia se:



Ci siamo quindi ricondotti a una disequazione con valore assoluto, la quale può essere risolta osservando che il valore assoluto di "qualcosa" è positivo se e solo se quel "qualcosa" è diverso da zero.

Questa semplice considerazione ci permette di imbastire la disguaglianza



che è soddisfatta nel momento in cui sussistono entrambe le seguenti relazioni:

- la doppia disuguaglianza che identifica la condizione di esistenza dell'arcoseno



da cui moltiplicando per 2 i tre membri



- La condizione di non nullità dell'arcoseno: ricordiamo che l'arcoseno è zero se e solo se il proprio argomento è zero.



Purtroppo la doppia disequazione



non si risolve in maniera elementare: teniamola da parte (senza dimenticarcene) e continuiamo la trattazione nella speranza che vi sia una condizione più stringente di questa che ci permetta di non prenderla in considerazione (Spoiler: succederà proprio questo!).

Per quanto concerne la relazione



è sufficiente moltiplicare i due membri per 2



raccogliere il fattore comune



e sfruttare la legge di annullamento del prodotto che in negativo garantisce che il prodotto al primo membro è diverso da zero se e solo se sono diversi da zero entrambi i fattori che lo compongono



Da queste relazioni, comprendiamo che sicuramente



non appartengono al dominio della funzione, inoltre deve sussistere la doppia disequazione



(che non sappiamo risolvere!).

Teniamo a mente queste informazioni e occupiamoci della disequazione



Isoliamo il logaritmo al primo membro



e applichiamo ai due membri la funzione inversa del logaritmo in base , ossia l'esponenziale in base .

Attenzione: la base del logaritmo è compresa tra 0 e 1, pertanto dobbiamo ricordarci di cambiare il verso della disequazione nel momento in cui applichiamo la funzione inversa



In base alla teoria delle disequazioni con i logaritmi, tale relazione diventa



Ci siamo quindi ricondotti a una disequazione con valore assoluto del tipo



che è equivalente alla doppia disequazione



Nel nostro caso



diventa quindi



Da cui, applicando ai tre membri la funzione seno (inversa dell'arcoseno) ricaviamo



da cui, tenendo conto dei valori notevoli della funzione goniometrica



Moltiplicati i tre membri per 2, ricaviamo la doppia disuguaglianza



Nota importante: la condizione ottenuta è più stringente rispetto a



infatti se è compreso tra -1 e 1, a maggior ragione sarà compreso tra -2 e 2, ciò ci permette di "dimenticare" la relazione che identifica la C.E. dell'arcoseno, giacché i valori che soddisfano la disequazione



soddisferanno anche la C.E.

La doppia disequazione ottenuta ha il medesimo insieme delle soluzioni del sistema di disequazioni



Risolviamo singolarmente le due disequazioni partendo dalla prima



Il polinomio di terzo grado al primo membro può essere scomposto con il metodo di Ruffini, il quale consente di esprimere la disequazione come



Studiamo il segno di ciascun fattore al primo membro, partendo dal primo



Per studiare il segno del secondo fattore, è necessario determinare le soluzioni della disequazione di secondo grado



la quale è soddisfatta per ogni .

Aiutandoci con la tabella dei segni, possiamo concludere che la disequazione



è soddisfatta se e solo se .

Risolviamo la seconda disequazione del sistema, ossia



Il processo è sempre lo stesso: scomponiamo con Ruffini il polinomio di terzo grado e studiamo in seguito i segni dei fattori che lo compongono.

Grazie alla regola di Ruffini, la precedente disequazione diventa



da cui



Costruendo la tabella dei segni e prendendo in considerazione la "parte negativa o nulla" otteniamo .

Facciamo il punto della situazione: la prima disequazione del sistema è soddisfatta per , la seconda per



Intersecando le soluzioni parziali, concludiamo che l'insieme delle soluzioni è



Attenzione: non dimentichiamoci che da questo insieme vanno esclusi i valori



ottenuti durante l'analisi.

Possiamo concludere che il dominio della funzione è:



o scritto in maniera equivalente



Abbiamo finito.

Grazie mille, mi è tutto chiaro avevo intuito tutti i passaggi tranne la scomposizione e il pensare di trovare una condizione più restringente.

Ho capito dove ho sbagliato. Prima di tutto nel scomporre la funzioni in due funzioni a seconda del segno della quantità nel modulo, quando invece bastava imporla solo diversa da 0 (solo in questo caso, in quanto argomento del logaritmo vero?), e ho commesso qualche errore quando ho provato a scomporre con Ruffini e l'ho dato per polinomio non scomponibile.

A riguardo posso chiedere una cosa su Ruffini in questo caso? Applicando la regola secondo cui una possibile radice è data dal termine noto fratto il coefficiente del termine di grado massimo, ci si ritrova con 1/2. Ora quali sono i divisori di un rapporto?

Cioè mi ero bloccato perché non sapevo cosa sostituire alla x per ottenere 0 (si era 1 o -1 a seconda del caso, ma sono sciocco e avrò sbagliato a fare questo banale conto, anche un po' demoralizzato da questo esercizio in vero).

Ad ogni modo grazie ancora!

Per poter innescare la regola di Ruffini a un polinomio



con , abbiamo bisogno di una radice particolare. Se ammette radici razionali, ossia della forma allora per teorema:

- il numeratore deve dividere necessariamente il termine noto ;

- il denominatore deve dividere necessariamente il coefficiente del termine di grado massimo .

Per farti un esempio esplicito, consideriamo il polinomio



Il termine noto è 1 mentre il coefficiente del termine di grado massimo è 2.

Le possibili radici razionali del polinomio sono del tipo



dove è un divisore intero del termine noto 1 e è un divisore intero di 2;

In maniera del tutto immediata scriviamo:



quindi le possibili radici razionali sono:



dove e vale a dire:



Tutto qui!


In realtà è una proprietà del valore assoluto. La disequazione



ha lo stesso insieme delle soluzioni di



Questa proprietà deriva dal fatto che, per definizione, il valore assoluto di "qualcosa" è sempre positivo o nullo ed in particolare è uguale a zero se e solo se "qualcosa" è pari a zero.

Nel momento in cui devi risolvere la disequazione



è come se ti stessi chiedendo per quali valori di è positivo ma non nullo. Per rispondere a questa domanda è sufficiente escludere i valori che annullano l'argomento , per i quali il valore assoluto è nullo a sua volta.

Tutto chiaro. Grazie mille davvero, a presto!