Dominio funzione con arcoseno ed equazione di terzo grado

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Dominio funzione con arcoseno ed equazione di terzo grado #98154

avt
Simone il Ramingo
Punto
Avrei bisogno di una mano per calcolare il dominio di una funzione con arcoseno, per la quale le condizioni di esistenza conducono a un'equazione di terzo grado irrisolvibile in maniera elementare.

Ecco la funzione:

f(x)=\sqrt{\log_{\frac{\pi}{6}}\left({\left|\arcsin{\left(\frac{2x^3-x}{2}\right)\right|\right)-1}}}

preciso che il -1 non è argomento del log, lo è tutto il modulo,non sono riuscito a scrivere di meglio col latex, chiedo venia.

Salve, sono uno studente di ingegneria, e operando con l'eserciziario consigliatoci dalla professoressa, mi sono imbattuto in questa funzione. L'eserciziario è di un professore del dipartimento di matematica, quindi forse gli esercizi sono più difficili di quello a cui sono abituato.

Non avendo praticamente fatto matematica al liceo, ho seguito il vostro forum riguardo le disequazioni e lo studio del dominio, con ottimi risultati. Seguendo proprio lo schema classico, la prima difficoltà l'ho incontrata nell'imposizione delle c.e. dell' arcoseno. Testato anche su wolfram (2x^3-x)\2 <>=+-1 non ha soluzioni umane.

Mi avvicino al risultato, o meglio ottengo i valori che sono da escludere poi dal dominio se impongo tutto quello minore, maggiore ecc... di 0.

Vorrei davvero capire il procedimento, perché sono quasi sicuro che più che iniziare a fare i calcoli, questa funzione vada prima ragionata, ma non sono riuscito a capire come. Vi prego di trattarmi senza dare nulla per scontato e linkandomi quante più cose utili a riguardo del Vostro forum, mi interessa capire come ragionare in questi casi più che l'esercizio in sé.

Cordiali saluti.
 
 

Re: Dominio funzione con arcoseno ed equazione di terzo grado #98156

avt
Ifrit
Ambasciatore
Ciao Simone il Ramingo,

in effetti l'esercizio che proponi richiede un po' di malizia matematica per portarlo a termine con eleganza.

Ci viene chiesto di calcolare il dominio della funzione

f(x)=\sqrt{\log_{\frac{\pi}{6}}\left({\left|\arcsin{\left(\frac{2x^3-x}{2}\right)\right|\right)-1}}}

In essa compaiono diverse funzioni che presentano criticità dal punto di vista del dominio:

- la radice quadrata ha bisogno che il proprio radicando sia non negativo;

- il logaritmo richiede che il proprio argomento sia maggiore di zero;

- l'arcoseno pretende che il proprio argomenti sia compreso tra -1 e 1 inclusi.

Insomma, bisogna imporre diverse condizioni affinché i termini che compongono f(x) siano ben posti.

Proprio perché tali termini sono incapsulati l'uno dentro l'altro, possiamo procedere in maniera leggermente differente: invece di imporre tutto d'un colpo le condizioni di esistenza, procederemo un passo alla volta, imponendo man mano i vincoli richiesti.

Affinché la radice quadrata abbia senso richiediamo che il suo radicando sia non negativo, ossia deve sussistere la relazione

\log_{\frac{\pi}{6}}\left(\left|\arcsin\left(\frac{2x^3-x}{2}\right)\right|\right)-1\ge 0

Essa è una disequazione logaritmica in cui la base \frac{\pi}{6} è compresa tra 0 e 1 (esclusi).

Tale disequazione è ben posta nel momento in cui l'argomento del logaritmo è positivo, ossia se:

\left|\arcsin\left(\frac{2x^3-x}{2}\right)\right|>0

Ci siamo quindi ricondotti a una disequazione con valore assoluto, la quale può essere risolta osservando che il valore assoluto di "qualcosa" è positivo se e solo se quel "qualcosa" è diverso da zero.

Questa semplice considerazione ci permette di imbastire la disguaglianza

\arcsin\left(\frac{2x^3-x}{2}\right)\ne 0

che è soddisfatta nel momento in cui sussistono entrambe le seguenti relazioni:

- la doppia disuguaglianza che identifica la condizione di esistenza dell'arcoseno

-1\le \frac{2x^3-x}{2}\le 1

da cui moltiplicando per 2 i tre membri

-2\le 2x^3-x\le 2

- La condizione di non nullità dell'arcoseno: ricordiamo che l'arcoseno è zero se e solo se il proprio argomento è zero.

\frac{2x^3-x}{2}\ne 0

Purtroppo la doppia disequazione

-2\le 2x^3-x\le 2

non si risolve in maniera elementare: teniamola da parte (senza dimenticarcene) e continuiamo la trattazione nella speranza che vi sia una condizione più stringente di questa che ci permetta di non prenderla in considerazione (Spoiler: succederà proprio questo!).

Per quanto concerne la relazione

\frac{2x^3-x}{2}\ne 0

è sufficiente moltiplicare i due membri per 2

2x^3-x\ne 0

raccogliere il fattore comune x

x(2x^2-1)\ne 0

e sfruttare la legge di annullamento del prodotto che in negativo garantisce che il prodotto al primo membro è diverso da zero se e solo se sono diversi da zero entrambi i fattori che lo compongono

\\ x\ne 0 \\ \\ 2x^2-1\ne 0 \ \ \ \to \ \ \ x\ne\pm\frac{1}{\sqrt{2}}

Da queste relazioni, comprendiamo che sicuramente

0, \ -\frac{1}{\sqrt{2}}\ \ \ \mbox{e} \ \ \ \frac{1}{\sqrt{2}}

non appartengono al dominio della funzione, inoltre deve sussistere la doppia disequazione

-2\le 2x^3-x\le 2

(che non sappiamo risolvere!).

Teniamo a mente queste informazioni e occupiamoci della disequazione

\log_{\frac{\pi}{6}}\left(\left|\arcsin\left(\frac{2x^3-x}{2}\right)\right|\right)-1\ge 0

Isoliamo il logaritmo al primo membro

\log_{\frac{\pi}{6}}\left(\left|\arcsin\left(\frac{2x^3-x}{2}\right)\right|\right)\ge 1

e applichiamo ai due membri la funzione inversa del logaritmo in base \frac{\pi}{6}, ossia l'esponenziale in base \frac{\pi}{6}.

Attenzione: la base del logaritmo è compresa tra 0 e 1, pertanto dobbiamo ricordarci di cambiare il verso della disequazione nel momento in cui applichiamo la funzione inversa

\left(\frac{\pi}{6}\right)^{\log_{\frac{\pi}{6}}\left(\left|\arcsin\left(\frac{2x^3-x}{2}\right)\right|\right)}\le \left(\frac{\pi}{6}\right)^1

In base alla teoria delle disequazioni con i logaritmi, tale relazione diventa

\left|\arcsin\left(\frac{2x^3-x}{2}\right)\right|\le\frac{\pi}{6}

Ci siamo quindi ricondotti a una disequazione con valore assoluto del tipo

|A(x)|\le k \ \ \ \mbox{con} \ k>0

che è equivalente alla doppia disequazione

-k\le A(x)\le k

Nel nostro caso

\left|\arcsin\left(\frac{2x^3-x}{2}\right)\right|\le\frac{\pi}{6}

diventa quindi

-\frac{\pi}{6}\le\arcsin\left(\frac{2x^3-x}{2}\right)\le\frac{\pi}{6}

Da cui, applicando ai tre membri la funzione seno (inversa dell'arcoseno) ricaviamo

\sin\left(-\frac{\pi}{6}\right)\le \sin\left(\arcsin\left(\frac{2x^3-x}{2}\right)\right)\le\sin\left(\frac{\pi}{6}\right)

da cui, tenendo conto dei valori notevoli della funzione goniometrica

-\frac{1}{2}\le\frac{2x^3-x}{2}\le\frac{1}{2}

Moltiplicati i tre membri per 2, ricaviamo la doppia disuguaglianza

-1\le 2x^3-x\le 1

Nota importante: la condizione ottenuta è più stringente rispetto a

-2\le 2x^3-x\le 2

infatti se 2x^3-x è compreso tra -1 e 1, a maggior ragione sarà compreso tra -2 e 2, ciò ci permette di "dimenticare" la relazione che identifica la C.E. dell'arcoseno, giacché i valori che soddisfano la disequazione

-1\le 2x^3-x\le 1

soddisferanno anche la C.E.

La doppia disequazione ottenuta ha il medesimo insieme delle soluzioni del sistema di disequazioni

\begin{cases}2x^3-x\ge -1 \\ \\ 2x^3-x\le 1\end{cases}

Risolviamo singolarmente le due disequazioni partendo dalla prima

2x^3-x\ge -1 \ \ \ \to \ \ \ 2x^3-x+1\ge 0

Il polinomio di terzo grado al primo membro può essere scomposto con il metodo di Ruffini, il quale consente di esprimere la disequazione come

(1+x)(2x^2-2x+1)\ge 0

Studiamo il segno di ciascun fattore al primo membro, partendo dal primo

1+x\ge 0 \ \ \ \to \ \ \ x\ge -1

Per studiare il segno del secondo fattore, è necessario determinare le soluzioni della disequazione di secondo grado

2x^2-2x+1\ge 0

la quale è soddisfatta per ogni x\in\mathbb{R}.

Aiutandoci con la tabella dei segni, possiamo concludere che la disequazione

(1+x)(2x^2-2x+1)\ge 0

è soddisfatta se e solo se x\ge -1.

Risolviamo la seconda disequazione del sistema, ossia

2x^3-x\le 1 \ \ \ \to \ \ \ 2x^3-x-1\le 0

Il processo è sempre lo stesso: scomponiamo con Ruffini il polinomio di terzo grado e studiamo in seguito i segni dei fattori che lo compongono.

Grazie alla regola di Ruffini, la precedente disequazione diventa

(x-1)(2x^2+2x+1)\le 0

da cui

\\ x-1\ge 0 \ \ \ \to \ \ \ x\ge 1 \\ \\ 2x^2+2x+1\ge 0 \ \ \ \to \ \ \ \mbox{per ogni} \ x\in\mathbb{R}

Costruendo la tabella dei segni e prendendo in considerazione la "parte negativa o nulla" otteniamo x\le 1.

Facciamo il punto della situazione: la prima disequazione del sistema è soddisfatta per x\ge -1, la seconda per x\le 1

\begin{cases}2x^3-x\ge -1 \ \ \ \to \ \ \ x\ge -1\\ \\ 2x^3-x\le 1 \ \ \ \to \ \ \ x\le 1\end{cases}

Intersecando le soluzioni parziali, concludiamo che l'insieme delle soluzioni è

-1\le x\le 1

Attenzione: non dimentichiamoci che da questo insieme vanno esclusi i valori

0, \ -\frac{1}{\sqrt{2}},\ \frac{1}{\sqrt{2}}

ottenuti durante l'analisi.

Possiamo concludere che il dominio della funzione è:

Dom(f)=[-1,1]-\left\{-\frac{1}{\sqrt{2}}, \ 0 , \ \frac{1}{\sqrt{2}}\right\}=

o scritto in maniera equivalente

\\ -1\le x<-\frac{1}{\sqrt{2}}\ \vee \ -\frac{1}{\sqrt{2}}<x<0\ \vee \\ \\ \\ \vee  \ 0<x<\frac{1}{\sqrt{2}}\ \vee \ \frac{1}{\sqrt{2}}<x\le 1

Abbiamo finito.
Ringraziano: Omega, CarFaby, Bepi, Simone il Ramingo

Re: Dominio funzione con arcoseno ed equazione di terzo grado #98158

avt
Simone il Ramingo
Punto
Grazie mille, mi è tutto chiaro avevo intuito tutti i passaggi tranne la scomposizione e il pensare di trovare una condizione più restringente.

Ho capito dove ho sbagliato. Prima di tutto nel scomporre la funzioni in due funzioni a seconda del segno della quantità nel modulo, quando invece bastava imporla solo diversa da 0 (solo in questo caso, in quanto argomento del logaritmo vero?), e ho commesso qualche errore quando ho provato a scomporre con Ruffini e l'ho dato per polinomio non scomponibile.

A riguardo posso chiedere una cosa su Ruffini in questo caso? Applicando la regola secondo cui una possibile radice è data dal termine noto fratto il coefficiente del termine di grado massimo, ci si ritrova con 1/2. Ora quali sono i divisori di un rapporto?

Cioè mi ero bloccato perché non sapevo cosa sostituire alla x per ottenere 0 (si era 1 o -1 a seconda del caso, ma sono sciocco e avrò sbagliato a fare questo banale conto, anche un po' demoralizzato da questo esercizio in vero).

Ad ogni modo grazie ancora!

Re: Dominio funzione con arcoseno ed equazione di terzo grado #98159

avt
Ifrit
Ambasciatore
Per poter innescare la regola di Ruffini a un polinomio

P_{n}(x)=a_{n}x^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_1x+a_0

con a_n\ne 0, abbiamo bisogno di una radice particolare. Se P_{n}(x) ammette radici razionali, ossia della forma \frac{p}{q} allora per teorema:

- il numeratore p deve dividere necessariamente il termine noto a_0;

- il denominatore q deve dividere necessariamente il coefficiente del termine di grado massimo a_n.

Per farti un esempio esplicito, consideriamo il polinomio

P_3(x)=2x^3-x+1

Il termine noto è 1 mentre il coefficiente del termine di grado massimo è 2.

Le possibili radici razionali del polinomio sono del tipo

\frac{p}{q}

dove p è un divisore intero del termine noto 1 e q è un divisore intero di 2;

In maniera del tutto immediata scriviamo:

\\ \mbox{Divisori di} \ 1=\{-1,\ 1\} \\ \\ \mbox{Divisori di}\ 2=\{-2,\ -1,\ 1,\ 2\}

quindi le possibili radici razionali sono:

\frac{p}{q}

dove p\in\{-1,\ 1\} e q\in\{-2,\ -1,\ 1,\ 2\} vale a dire:

\left\{-\frac{1}{2}, \ -1, \ 1, \ \frac{1}{2}\right\}

Tutto qui! emt

... Prima di tutto nel scomporre la funzioni in due funzioni a seconda del segno della quantità nel modulo, quando invece bastava imporla solo diversa da 0 (solo in questo caso, in quanto argomento del logaritmo vero?)...

In realtà è una proprietà del valore assoluto. La disequazione

|A(x)|>0

ha lo stesso insieme delle soluzioni di

A(x)\ne 0

Questa proprietà deriva dal fatto che, per definizione, il valore assoluto di "qualcosa" è sempre positivo o nullo ed in particolare è uguale a zero se e solo se "qualcosa" è pari a zero.

Nel momento in cui devi risolvere la disequazione

|A(x)|>0

è come se ti stessi chiedendo per quali valori di x, \ |A(x)| è positivo ma non nullo. Per rispondere a questa domanda è sufficiente escludere i valori che annullano l'argomento A(x), per i quali il valore assoluto è nullo a sua volta.
Ringraziano: Omega, CarFaby

Re: Dominio funzione con arcoseno ed equazione di terzo grado #98160

avt
Simone il Ramingo
Punto
Tutto chiaro. Grazie mille davvero, a presto! emt
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