Risoluzione equazioni differenziali omogenee di secondo grado a coefficienti costanti

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Risoluzione equazioni differenziali omogenee di secondo grado a coefficienti costanti #98055

avt
ricted
Punto
Buongiorno,

sto studiando la risoluzione delle equazioni differenziali omogenee di secondo grado a coefficienti costanti e sto avendo qualche difficoltà a comprendere la teoria dietro al procedimento "operativo".
Riporto di seguito l'impostazione con cui mi è stato spiegato l'argomento:

"Detto P(D)v l'operatore lineare definito come

P(D)v=v^{(n)}+a_{n-1}(t)v^{(n-1)}+...+a_{1}(t)v'+a_{0}(t)v

e restringendoci al caso in cui i coefficienti sono costanti, consideriamo P(D)u=0.

Notiamo che

D^{k}e^{\lambda t}=\lambda ^{k}e^{\lambda t}

e quindi

P(D)e^{\lambda t}=\sum_{k=0}^{n}a_{k}D^{k}e^{\lambda t}=e^{\lambda t}P(\lambda ).

Di conseguenza se \lambda è una radice dell'equazione caratteristica P(\lambda)=0, la funzione e^{\lambda t} è una soluzione dell'equazione omogenea P(D)u=0."

Faccio fatica a comprendere bene il significato dell'operatore P(D) e la relazione fra P(D)e^{\lambda t} e P(D)u. Se poteste arricchire un poco la spiegazione sopra riportata chiarendo i vari step ve ne sarei grato!

Grazie mille in anticipo!

P.S. Ho precedentemente guardato la pagina da voi scritta sull'argomento ma purtroppo non sono riuscito a chiarire questo punto.
 
 

Re: Risoluzione equazioni differenziali omogenee di secondo grado a coefficienti costanti #98064

avt
Ifrit
Amministratore
Ciao ricted,

io credo fortemente che il tuo problema sia capire le notazioni adottate dal tuo insegnante.

Tenterò di esplicitare i passaggi e allo stesso tempo cercherò di fornirti una giustificazione ai simboli usati dal tuo professore.

Consideriamo il polinomio monico di grado n\in\mathbb{N}-\{0\}

P(X)=X^n+a_{n-1}X^{n-1}+...+a_1 X+a_0

Siamo abituati ad attribuire all'indeterminata X dei numeri reali, mentre diventa meno intuitivo rimpiazzare l'incognita con l'operatore di derivazione D (è semplicemente un simbolo che indica la derivata).

Se al posto di X rimpiazziamo D ricaviamo l'operatore lineare

P(D):=D^{n}+a_{n-1}D^{n-1}+...+a_1D^{1}+a_0

Nota: essendo un operatore, esso deve necessariamente agire su un ente matematico, detto operando, che in questo caso è una funzione u derivabile n-volte almeno.

L'operatore P(D) agisce su una funzione u, associando a quest'ultima l'espressione

P(D)u=D^{n}u+a_{n-1}D^{n-1}u+...+a_1 D^{1}u+a_0 u

dove D^{i}u \ \mbox{con} \ i=1,..., n rappresenta la derivata di ordine i associata ad u.

Nota: sebbene non rappresenti affatto una moltiplicazione tra un polinomio e un monomio, il tuo professore tratta P(D)u come se lo fosse, infatti possiamo constatare quanto segue:

\\ P(D)u=\left(D^{n}+a_{n-1}D^{n-1}+...+a_1D^{1}+a_0\right)\cdot u= \\ \\ =D^{n}u+a_{n-1}D^{n-1}u+...+a_1D^{1}u+a_0u\right

Ribadiamolo, non è da intendersi come una moltiplicazione tra un polinomio e un monomio però la notazione è così suggestiva e facile da ricordare che viene spesso utilizzata anche in letteratura.

Grazie a questo breve preambolo comprendiamo che ogni equazione differenziale lineare di ordine n omogenea

D^{n}u+a_{n-1}D^{n-1}u+...+a_{1}Du+a_0 u=0

può essere espressa in maniera compatta come

P(D)u=0

dove P(x) è il polinomio definito in precedenza.

Chiarito ciò, il tuo professore tira fuori dal cilindro un'uguaglianza

D^{k}e^{\lambda t}=\lambda^k e^{\lambda t}\ \ \ \mbox{per ogni} \ k\in\mathbb{N}

(In realtà, è molto semplice da dimostrare: è sufficiente avvalersi del principio di induzione, in cui la variabile induttiva è k, e della regola di derivazione dell'esponenziale).

È proprio grazie ad essa che possiamo scrivere la seguente relazione

\\ P(D)e^{\lambda t}= \\ \\ =\overbrace{D^{n}e^{\lambda t}}^{\lambda^ne^{\lambda t}}+a_{n-1}\overbrace{D^{n-1}e^{\lambda t}}^{\lambda^{n-1}e^{\lambda t}}+...+a_{1}\overbrace{D e^{\lambda t}}^{\lambda e^{\lambda t}}+a_0 e^{\lambda t}= \\ \\ =\lambda^ne^{\lambda t}+a_{n-1}\lambda^{n-1}e^{\lambda t}+...+a_{1}\lambda e^{\lambda t}+a_0 e^{\lambda t}=

A questo punto raccogliamo a fattore comune e^{\lambda t}

=e^{\lambda t}(\lambda^{n}+a_{n-1}\lambda^{n-1}+...+a_{1}\lambda+a_0)=e^{\lambda t}P(\lambda)

e osserviamo che l'espressione all'interno delle parentesi tonde non è altro che il polinomio P nell'indeterminata \lambda.

I passaggi effettuati dimostrano quindi l'uguaglianza notevole

P(D)e^{\lambda t}=e^{\lambda t}P(\lambda)

mediante la quale siamo in grado di affermare quanto segue:

se \lambda_0 è radice del polinomio P(\lambda) allora necessariamente u(t)=e^{\lambda_0 t} è soluzione dell'equazione differenziale

P(D)u=0

Il perché è immediato: se \lambda_0 è radice di P(\lambda) allora per definizione

P(\lambda_0)=0

e in virtù della legge di annullamento del prodotto

e^{\lambda_0 t}P(\lambda_0)=0

di conseguenza:

P(D)e^{\lambda_0 t}=0

per via dell'uguaglianza fondamentale.

L'ultima relazione garantisce il fatto che u(t)=e^{\lambda_0 t} è (una) soluzione dell'equazione differenziale lineare omogenea.

=================================

Chiosa conclusiva: purtroppo il tuo professore ha commesso una piccola leggerezza sulle notazioni, complicando inutilmente la dimostrazione.

Passa dalla notazione di derivata D^{k}u(t) alla notazione u^{(k)}(t) senza alcuna specifica, ed è probabilmente questa sua leggerezza che ha confuso un po' le acque.

Spero comunque che la spiegazione sia sufficientemente chiara ora.
Ringraziano: ricted

Re: Risoluzione equazioni differenziali omogenee di secondo grado a coefficienti costanti #98065

avt
ricted
Punto
Ora è tutto più chiaro. Sì, mi ero perso proprio a causa della notazione adottata. Grazie mille ancora!
Ringraziano: Ifrit
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Os