Calcolo di un integrale improprio con seno, coseno e radice

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Calcolo di un integrale improprio con seno, coseno e radice #98025

avt
math.h
Punto
Un particolare integrale improprio, con integranda fratta data da un rapporto con seno, coseno e radice, mi sta dando un po' di problemi, soprattutto per la trigonometria.

\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{\cos(x)}{\sqrt{2\sin(x)+\cos^2(x)-1}}dx

Vorrei postare il ragionamento che ho fatto: ho visto che in zero la funzione non c'è, ho utilizzato il criterio del confronto asintotico (per x\to 0^+) sui coseni così da avere una funzione più semplice da studiare. Il problema è dopo, non so se le sostituzioni che si possono fare con gli integrali trigonometrici siano lecite insieme all'utilizzo delle formule parametriche.

Il problema è che appunto non so come andare avanti dopo aver applicato il criterio (sempre se è concettualmente giusto applicarlo)!

Grazie a chi mi aiuterà.
 
 

Re: Calcolo di un integrale improprio con seno, coseno e radice #98034

avt
Ifrit
Amministratore
Ciao Math.h,

il nostro intento consiste nello studiare il comportamento dell'integrale

\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{\cos(x)}{\sqrt{2\sin(x)+\cos^2(x)-1}}dx

e, nel caso in cui converga, calcolarne esplicitamente il valore.

Prima di tutto osserviamo che 0 è un punto singolare per la funzione integranda

f(x)=\frac{\cos(x)}{\sqrt{2\sin(x)+\cos^2(x)-1}}

infatti il denominatore si annulla per x=0, pertanto

\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{\cos(x)}{\sqrt{2\sin(x)+\cos^2(x)-1}}dx

è un integrale improprio di seconda specie.

Per poter studiarne il comportamento, possiamo avvalerci del metodo del confronto asintotico (vedi criteri di convergenza per gli integrali impropri di seconda specie): in buona sostanza determineremo una stima asintotica della funzione integranda nell'intorno destro di x_0=0.

Prima di buttarci a capofitto nei calcoli, conviene però invocare la relazione fondamentale della trigonometria la quale consente di esprimere la funzione integranda nella forma equivalente (e più comoda)

f(x)=\frac{\cos(x)}{\sqrt{2\sin(x)-\sin^2(x)}}

Per x\to 0^{+} sussistono le seguenti stime asintotiche:

- per la funzione coseno

\cos(x)\sim_{x\to 0^{+}}1

- per il radicando

2\sin(x)-\sin^2(x)\sim_{x\to 0^{+}}2\sin(x)\sim_{x\to 0^{+}}2x

Abbiamo trascurato il quadrato del seno perché è un infinitesimo di ordine superiore rispetto a 2\sin(x), dopodiché abbiamo sfruttato la stima asintotica notevole del seno che scaturisce dal suo limite notevole.

In definitiva, siamo autorizzati a scrivere la stima

f(x)=\frac{\cos(x)}{\sqrt{2\sin(x)-\sin^2(x)}}\sim_{x\to 0^{+}}\frac{1}{\sqrt{2x}}

In forza del confronto asintotico, se converge

\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{1}{\sqrt{2x}}dx

convergerà anche l'integrale che stiamo studiando. Senza svolgere alcun calcolo, sappiamo che

\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{1}{\sqrt{2x}}dx

converge perché possiamo ricondurlo a un integrale improprio notevole del tipo

\int_{0}^{a>0}\frac{1}{x^{\alpha}}dx \ \ \ \mbox{con}\ \alpha<1

che è notoriamente convergente. Nel nostro caso \alpha=\frac{1}{2}<1, dunque

\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{\cos(x)}{\sqrt{2\sin(x)+\cos^2(x)-1}}dx

converge.

Calcolo dell'integrale

Calcoliamo l'integrale improprio sfruttando la definizione stessa:

\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{\cos(x)}{\sqrt{2\sin(x)-\sin^2(x)}}dx=\lim_{m\to 0^{+}}\int_{m}^{\frac{\pi}{2}}\frac{\cos(x)}{\sqrt{2\sin(x)-\sin^2(x)}}dx=

Osserviamo che fissato 0<m<\frac{\pi}{2}

\int_{m}^{\frac{\pi}{2}}\frac{\cos(x)}{\sqrt{2\sin(x)-\sin^2(x)}}dx

è un integrale definito infatti la funzione non presenta punti singolari nell'intervallo \left[m,\frac{\pi}{2}\right] dunque siamo autorizzati a usare tutte le tecniche risolutive che vogliamo/conosciamo.

La tecnica migliore consiste nel procedere con il metodo di sostituzione (per approfondire: integrali per sostituzione). Poniamo

t=\sin(x)

e calcoliamo il nuovo differenziale, derivando ciascun membro per la relativa variabile

dt=\cos(x)dx

Come se non bastasse, dobbiamo trasformare anche gli estremi:

- a x_0=m associamo t_0=\sin(m)

- a x_1=\frac{\pi}{2} associamo t_1=\sin\left(\frac{\pi}{2}\right)=1

In definitiva l'integrale

\int_{m}^{\frac{\pi}{2}}\frac{\cos(x)}{\sqrt{2\sin(x)-\sin^2(x)}}dx=

diventa

=\int_{\sin(m)}^{1}\frac{1}{\sqrt{2t-t^2}}dt=(\bullet)

Per determinarne il valore al variare di m è sufficiente completare il quadrato all'interno della radice aggiungendo e sottraendo 1

\\ 2t-t^2= (-1+2t-t^2)+1= \\ \\ =1-(t^2-2t+1)=1-(t-1)^2

e scrivere quindi

(\bullet)=\int_{\sin(m)}^{1}\frac{1}{\sqrt{1-(t-1)^2}}dt=(\bullet\bullet)

La forma in cui esso si presenta ricalca fedelmente il modello

\int\frac{h'(t)}{\sqrt{1-[h(t)]^2}}dt=\arcsin(h(t))+c

dove \arcsin(h(t)) è la funzione arcoseno, pertanto

\\ (\bullet\bullet)=\left[\arcsin(t-1)\right]_{\sin(m)}^{1}= \\ \\ =\arcsin(1-1)-\arcsin(\sin(m)-1)=\\ \\ =\arcsin(0)-\arcsin(\sin(m)-1)=\\ \\ =-\arcsin(\sin(m)-1)

(Per approfondire: integrali fondamentali in forma generale)

Ora che disponiamo del valore dell'integrale al variare di m, possiamo calcolare il limite e ottenere il risultato

\\ \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{\cos(x)}{\sqrt{2\sin(x)-\sin^2(x)}}dx=\\ \\ \\ =\lim_{m\to 0^{+}}\int_{m}^{\frac{\pi}{2}}\frac{\cos(x)}{\sqrt{2\sin(x)-\sin^2(x)}}dx= \\ \\ \\ = \lim_{m\to 0^{+}}-\arcsin(\sin(m)-1)=-\arcsin(-1)=\\ \\ \\ =-\left(-\frac{\pi}{2}\right)=\frac{\pi}{2}

Abbiamo finalmente concluso l'esercizio.
Ringraziano: CarFaby, math.h

Re: Calcolo di un integrale improprio con seno, coseno e radice #98036

avt
math.h
Punto
Ciao Ifrit. Ti ringrazio molto per la soluzione dell'esercizio!
Ho tuttavia un dubbio: dato che nell'intorno di 0 (dove ci sono problemi) la funzione stessa è positiva, potrei eventualmente utilizzare il teorema del confronto?
Cioè potrei eventualmente maggiorare la funzione trovandone una convergente che a sua volta (per le ipotesi del teorema sulla convergenza) mi garantisca la convergenza della funzione? Se sì, come posso fare?
Anche se è un metodo che porta allo stesso risultato, preferisco averci chiaro anche un modo alternativo per dimostrare la convergenza della funzione. Grazie mille!emt

Re: Calcolo di un integrale improprio con seno, coseno e radice #98039

avt
Ifrit
Amministratore
In effetti è possibile scrivere una funzione che maggiori l'integranda nell'intervallo \left(0,\frac{\pi}{2}\right] e il cui integrale risulti convergente.

Possiamo dimostrare infatti che

\frac{\cos(x)}{\sqrt{2\sin(x)-\sin^2(x)}}\le\frac{\cos(x)}{\sqrt{\sin(x)}} \ \ \ \forall x\in \left(0,\frac{\pi}{2}\right]

Procediamo! Grazie alla proprietà dei radicali relativa al prodotto possiamo scrivere le seguenti relazioni

\\ \sqrt{2\sin(x)-\sin^2(x)}=\sqrt{\sin(x)(2-\sin(x))}=\\ \\ = \sqrt{\sin(x)}\sqrt{2-\sin(x)}

(Le uguaglianze sono lecite: stiamo giocando con funzioni positive)

Teniamole da parte e cerchiamo di vincolare il termine \sqrt{2-\sin(x)}.

Il seno è una funzione limitata da -1 e 1, infatti soddisfa il vincolo

-1\le\sin(x)\le 1 \ \ \ \forall x\in \left(0,\frac{\pi}{2}\right]

Cambiando di segno i tre membri e i versi delle disuguaglianze ricaviamo

-1\le -\sin(x)\le 1 \ \ \ \forall x\in \left(0,\frac{\pi}{2}\right]

Sommando 2 ai tre membri i versi delle disuguaglianze rimangono invariate

1\le 2-\sin(x)\le 3\ \ \ \forall x\in \left(0,\frac{\pi}{2}\right]

Nel momento in cui applichiamo la radice quadrata ai tre membri, otteniamo inoltre

1\le\sqrt{2-\sin(x)}\le\sqrt{3}

(Nota: il verso non cambia perché la radice quadrata è una funzione strettamente crescente).

Quando moltiplichiamo i tre membri per la quantità positiva \sqrt{\sin(x)} otteniamo la doppia disuguaglianza

\sqrt{\sin(x)}\le \sqrt{\sin(x)}\sqrt{2-\sin(x)}\le \sqrt{3}\sqrt{\sin(x)} \ \ \ \forall x\in\left(0,\frac{\pi}{2}\right]

che passata ai reciproci (e cambiando i versi) diventa

\frac{1}{\sqrt{3}\sqrt{\sin(x)}}\le\frac{1}{\sqrt{\sin(x)}\sqrt{2-\sin(x)}}\le\frac{1}{\sqrt{\sin(x)}}\ \ \ \forall x\in\left(0,\frac{\pi}{2}\right]

Infine, moltiplicando i tre membri per la funzione (positiva nell'intervallo di riferimento) \cos(x) ricaviamo

\frac{\cos(x)}{\sqrt{3}\sqrt{\sin(x)}}\le\overbrace{\frac{\cos(x)}{\sqrt{\sin(x)}\sqrt{2-\sin(x)}}\le\frac{\cos(x)}{\sqrt{\sin(x)}}}^{\mbox{disuguaglianza utile}}\ \ \ \forall x\in\left(0,\frac{\pi}{2}\right]

Abbiamo dimostrato quindi che la funzione integranda è maggiorata dalla funzione

h(x)=\frac{\cos(x)}{\sqrt{\sin(x)}}

il cui integrale associato diventa

\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{\cos(x)}{\sqrt{\sin(x)}}dx

Il suo comportamento si deduce dal calcolo esplicito - in sostanza bisogna calcolare l'integrale improprio con la definizione.

\\ \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{\cos(x)}{\sqrt{\sin(x)}}dx=\\ \\ \\ =\lim_{m\to 0^{+}}\int_{m}^{\frac{\pi}{2}}\frac{\cos(x)}{\sqrt{\sin(x)}}dx= \\ \\ \\ =\lim_{m\to 0^{+}}[2\sqrt{\sin(x)}]_{m}^{\frac{\pi}{2}}=\\ \\ \\ =\lim_{m\to 0^{+}}(2-2\sqrt{\sin(m)})=2

In definitiva l'integrale della funzione maggiorante converge.

Nota: l'integrale

\int\frac{\cos(x)}{\sqrt{\sin(x)}}dx

si riconduce all'integrale fondamentale in forma generale

\int(f(x))^{\alpha}f'(x)dx=\frac{(f(x))^{\alpha+1}}{\alpha+1}+c \ \ \ \mbox{con }\alpha\ne -1

infatti, in virtù della definizione di potenza con esponente fratto:

\int\frac{\cos(x)}{\sqrt{\sin(x)}}dx=\int\cos(x)\cdot(\sin(x))^{-\frac{1}{2}}dx

Come puoi notare, non è affatto immediato determinare una funzione maggiorante con integrale associato convergente: bisogna acquisire molta malizia matematica e occhio clinico.
Ringraziano: CarFaby, math.h

Re: Calcolo di un integrale improprio con seno, coseno e radice #98040

avt
math.h
Punto
Grazie mille Ifrit! Quello che infatti voglio ottenere è proprio un occhio ''matematico'', in questo modo posso giocare con le varie definizioni.
Chiaramente in sede d'esame sarebbe meglio utilizzare un metodo più veloce.emt
Ti ringrazio ancora, buon proseguimento emt
Ringraziano: Ifrit

Re: Calcolo di un integrale improprio con seno, coseno e radice #98041

avt
math.h
Punto
Scusami Ifrit, riguardando bene il post mi sono ricordato di un'altra domanda da fare riguardante i criteri di convergenza (sempre se posso ed è consentito emt ).
Eventualmente, come mi dovrei comporare per discutere la convergenza in generale nel caso di funzioni trigonometriche e un intevrallo di integrazione a +infinito?
Chiaramente una funzione trigonometrica come il seno o coseno è oscillante a +infinito tra +1 e -1, quali supposizioni posso fare riguardante questo particolare caso?
Grazie mille e scusami ancora per l'ulteriore domanda emt

Re: Calcolo di un integrale improprio con seno, coseno e radice #98048

avt
Ifrit
Amministratore
In realtà la domanda che poni è off-topic, oltre a essere troppo generica per fornire una risposta adeguata in un topic one-shot. emt

Re: Calcolo di un integrale improprio con seno, coseno e radice #98049

avt
math.h
Punto
Ho capito. Eventualmente dove potrei domandare questo fatto? Effettivamente la mia domanda è troppo generica, avevo comunque visto che si può applicare l'assoluta integrabilità. Grazie mille Ifrit in ogni caso

Re: Calcolo di un integrale improprio con seno, coseno e radice #98050

avt
Ifrit
Amministratore
Attenzione emt

Non ti stavo consigliando di aprire un altro topic: la tua domanda è comunque troppo generica. Tra l'altro, forniremmo esclusivamente dei consigli e non una strategia generale che valga per ogni singolo caso.

Bene o male, sì il criterio di convergenza assoluta, in combo con il criterio del confronto/confronto asintotico, consentono di risolvere buona parte degli esercizi dati a un corso di Analisi Matematica standard.
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