Determinare orientazione curva parametrizzata

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#98010
avt
ricted
Punto
Sto preparando l'esame di Analisi 2 e mi sono trovato di fronte alla seguente difficoltà: come determinare il verso di percorrenza di una curva parametrizzata?

Nel caso di semplici curve (ad esempio, una circonferenza) non ho particolari problemi, ma nel seguente esercizio non so proprio come procedere poiché non sono pratico della figura in questione. C'è un metodo "generale" per affrontare la questione?

Calcolare l'area della regione di R^(2) delimitata dall'arco di strofoide

φ (t) = (t^(3)-t,t^(2)-1), con -1 ≤ t ≤ 1.

In particolare, viene richiesto che il calcolo sia eseguito mediante l'applicazione del teorema di Green.

Grazie mille in anticipo!
#98017
avt
Ifrit
Amministratore
Ciao Ricted,

possiamo affrontare il problema in due maniere distinte che però conducono al medesimo risultato. Il nostro intento consiste nel determinare l'area della regione di R^2 delimitata dall'arco di strofoide

φ(t) = (t^3-t, t^2-1)

dove il parametro t varia nell'intervallo [-1,1].

Prima di sviluppare i vari passaggi, è opportuno effettuare alcune considerazioni generali, di stampo qualitativo.

Il testo del problema suggerisce la strategia da seguire: dobbiamo avvalerci del teorema di Green il quale consente di passare da un integrale doppio a un integrale di linea di seconda specie.

Osserviamo che la curva φ è chiusa, infatti

φ(-1) = (0,0) = φ(1)

inoltre essa è regolare giacché non esiste alcun valore di t∈ (-1,1) tale che la norma del vettore velocità

φ'(t) = (3t^2-1,2t)

sia nulla, ossia

||φ'(t)|| ne 0 ∀ t∈ (-1,1)

Per capire qualitativamente l'orientazione indotta dalla parametrizzazione è sufficiente determinare esplicitamente le coordinate fornite da φ al variare di t.

Ad esempio:

- a t = -1 associamo φ(-1) = (0,0);

- a t = -(1)/(2) associamo φ(-(1)/(2)) = ((-(1)/(2))^3-(-(1)/(2)), (-(1)/(2))^2-1) = ((3)/(8),-(3)/(4))

- a t = 0 associamo infine φ(0) = (0,-1)

Rappresentando i punti sul piano cartesiano ci accorgiamo che all'aumentare di t ci muoviamo in senso orario: purtroppo non è l'orientazione di cui ha bisogno Il teorema di Green.

È proprio qui che si aprono due strade: la prima consiste nel riparametrizzare la curva in modo che l'orientazione sia antioraria, la seconda consiste invece nell'avvalersi delle proprietà degli integrali di linea.

Riparametrizzazione della curva

La parametrizzazione iniziale è

φ(t) = (t^3-t,t^2-1) con -1 ≤ t ≤ 1

Per invertire l'orientazione è sufficiente porre t = -u e sostituire impunemente sia nell'espressione della parametrizzazione, sia nei vincoli che limitano t e considerare:

ψ(u) = φ(-u) = ((-u)^3-(-u),(-u)^2-1) con -1 ≤ -u ≤ 1

da cui

ψ(u) = (-u^3+u,u^2-1) con -1 ≤ u ≤ 1

Osservazione: la doppia disuguaglianza

-1 ≤ -u ≤ 1

è equivalente a

-1 ≤ u ≤ 1

infatti è sufficiente invertire sia il segno dei membri che i versi.

La parametrizzazione

ψ(u) = (-u^3+u,u^2-1) con u∈[-1,1]

individua la medesima curva individuata da φ(t), però φ e ψ non condividono l'orientazione (in gergo, ψ e φ sono parametrizzazioni anti-equivalenti).

Per poter calcolare l'area della superficie piana limitata dalla curva orientata positivamente possiamo usare il teorema di Green, il quale garantisce la seguente uguaglianza

Area(Ω) = iint_(Ω)dxdy = (1)/(2) oint_(ψ)-ydx+xdy

dove Ω è la regione di piano limitata dalla curva chiusa ψ orientata positivamente.

Invece di calcolare l'integrale doppio

iint_(Ω)dxdy

ci dedicheremo al calcolo dell'integrale di linea (più propriamente detto circuitazione perché la linea è chiusa)

(1)/(2) oint_(ψ)-ydx+x dy =

In accordo con la definizione, detto

F(x,y) = (-y,x)

il campo vettoriale associato alla forma differenziale, scriviamo

= (1)/(2)∫_(-1)^(1)F(ψ(u))·ψ'(u)du

dove all'interno dell'integrale compare il prodotto scalare.

Esplicitiamo separatamente i termini che intervengono all'interno dell'integrale:

F(ψ(u)) = (1-u^2, u-u^3)

mentre ψ'(u) è il vettore derivata di ψ(u)

ψ'(u) = (1-3u^2, 2u)

Con gli elementi calcolati, siamo in grado di determinare il prodotto scalare e esplicitare la funzione integranda

F(ψ(u))·ψ'(u) = (1-u^2, u-u^3)·(1-3u^2,2u) = 1-2u^2+u^4

In definitiva l'integrale con cui calcolare l'area di nostro interesse è

Area(Ω) = (1)/(2)∫_(-1)^(1)(1-2u^2+u^4)du = (8)/(15)

Il calcolo dell'integrale è abbastanza agevole, possiamo infatti avvalerci delle regole di integrazione elementari e scrivere il risultato dopo qualche semplice passaggio.

Risoluzione mediante proprietà degli integrali di linea

Il metodo alternativo consiste nell'applicare l'identità

∫_(γ^(-))ω = -∫_(γ^(+))ω

In termini più espliciti, gli integrali di una forma differenziale (o se vuoi di un campo vettoriale) su curve anti-equivalenti sono uno l'opposto dell'altro.

Nel nostro caso quindi, potremmo pensare di scrivere

(1)/(2) oint_(φ^(+))-ydx+xdy (antiorario) = -(1)/(2) oint_(φ^(-))-ydx+xdy (orario) =

ossia, lavoreremo con la parametrizzazione fornita dalla traccia, effettueremo i passaggi e infine cambieremo il segno al risultato.

(1)/(2) oint-ydx+xdy = (1)/(2)∫_(-1)^(1)F(φ(t))·φ'(t)dt = (•)

dove

F(φ(t)) = (1-t^2,t^3-t)

e

φ'(t) = (3t^2-1,2t)

di conseguenza l'integrale diventa

(•) = (1)/(2)∫_(-1)^(1)(-1+2t^2-t^4)dt = -(8)/(15)

In definitiva possiamo concludere che l'area della regione Ω coincide con l'opposto del valore ottenuto

Area(Ω) = -(1)/(2) oint_(φ)ω = (8)/(15)

Abbiamo finito.
Ringraziano: Omega, CarFaby, ricted
#98022
avt
ricted
Punto
Grazie mille! Spiegazione precisa e puntuale come sempre! emt
Ringraziano: Ifrit
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