Determinare orientazione curva parametrizzata

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Determinare orientazione curva parametrizzata #98010

avt
ricted
Punto
Sto preparando l'esame di Analisi 2 e mi sono trovato di fronte alla seguente difficoltà: come determinare il verso di percorrenza di una curva parametrizzata?

Nel caso di semplici curve (ad esempio, una circonferenza) non ho particolari problemi, ma nel seguente esercizio non so proprio come procedere poiché non sono pratico della figura in questione. C'è un metodo "generale" per affrontare la questione?

Calcolare l'area della regione di \mathbb{R}^{2} delimitata dall'arco di strofoide

\phi \left ( t \right )= \left ( t^{3}-t,t^{2}-1 \right ), con -1\leq t\leq 1.

In particolare, viene richiesto che il calcolo sia eseguito mediante l'applicazione del teorema di Green.

Grazie mille in anticipo!
 
 

Re: Determinare orientazione curva parametrizzata #98017

avt
Ifrit
Amministratore
Ciao Ricted,

possiamo affrontare il problema in due maniere distinte che però conducono al medesimo risultato. Il nostro intento consiste nel determinare l'area della regione di \mathbb{R}^2 delimitata dall'arco di strofoide

\phi(t)=(t^3-t, t^2-1)

dove il parametro t varia nell'intervallo [-1,1].

Prima di sviluppare i vari passaggi, è opportuno effettuare alcune considerazioni generali, di stampo qualitativo.

Il testo del problema suggerisce la strategia da seguire: dobbiamo avvalerci del teorema di Green il quale consente di passare da un integrale doppio a un integrale di linea di seconda specie.

Osserviamo che la curva \phi è chiusa, infatti

\phi(-1)=(0,0)=\phi(1)

inoltre essa è regolare giacché non esiste alcun valore di t\in (-1,1) tale che la norma del vettore velocità

\phi'(t)=(3t^2-1,2t)

sia nulla, ossia

||\phi'(t)||\ne 0 \ \ \ \forall t\in (-1,1)

Per capire qualitativamente l'orientazione indotta dalla parametrizzazione è sufficiente determinare esplicitamente le coordinate fornite da \phi al variare di t.

Ad esempio:

- a t=-1 associamo