Studio di una funzione definita a tratti con INF

Devo effettuare lo studio di una funzione a tratti in cui un ramo è definito mediante l'estremo inferiore (INF).

Data una funzione definita su dalla formula



L'esercizio chiede di determinare l'insieme dove la funzione è continua, l'insieme dove è derivabile, i punti di massimo e minimo locali di e l'area del sottografico nell'intervallo ;

Ora,il dubbio principale sta proprio in quel . Non capisco come è fatta la funzione in quel punto perché quando mi sono trovata davanti ad un era sempre su intervalli specifici e al massimo una successione.

Come dovrei procedere? Grazie in anticipo.

Ciao Elliewood,

prima di procedere con lo studio della funzione



effettuiamo alcune considerazioni preliminari, partendo proprio da come si presenta la funzione da studiare.

Osservandola attentamente, si capisce che è una funzione definita per casi e, come se non bastasse, interviene l'estremo inferiore di un insieme.

Fissato , siamo in grado di costruire l'insieme



ossia un intervallo di numeri reali di cui un estremo dipende da ed è definito mediante la funzione



Proprio perché è un intervallo, il suo estremo inferiore coincide con il più piccolo tra .

Per esplicitare l'espressione analitica della funzione è sufficiente determinare per quali valori di è verificata la disequazione fratta



Risolviamola esprimendo la disequazione fratta in forma normale



da cui



Dalla definizione della funzione sappiamo che , di conseguenza il segno della frazione algebrica dipende esclusivamente da quello del numeratore:



Da qui deduciamo che se allora è minore di 5, pertanto l'estremo inferiore dell'intervallo coincide con



Se , d'altro canto, 5 è minore o al più uguale dell'estremo di conseguenza



In definitiva, la funzione da studiare è



L'analisi preliminare ci ha permesso di eliminare dall'espressione analitica l'inf e ciò ci faciliterà nei passaggi successivi.

Studio della continuità

Lo studio della continuità della funzione è praticamente immediato, infatti è sufficiente notare che:

- se è una funzione costante e dunque necessariamente continua nell'intervallo considerato.

- se è rapporto di funzioni continue in cui il denominatore è diverso da zero e in quanto tale è continua.

(per approfondire: come stabilire se una funzione è continua)

L'unico valore in cui vi sono dubbi sulla continuità è quello che prende il nome di punto di raccordo, vale a dire quel punto in cui la funzione cambia la sua espressione analitica.

Nel caso specifico, il punto da analizzare a parte è



e per studiare la continuità nel punto in esame bisogna avvalersi della definizione di funzione continua: calcoleremo limite destro e limite sinistro per e verificheremo che coincidono con il valore che la funzione assume per .

Per la funzione vale



infatti soddisfa il vincolo per cui dobbiamo utilizzare la prima legge nella definizione per casi.

Calcoliamo il limite destro



Poiché tende a per valori più grandi, rientriamo nella condizione , soddisfatta la quale coincide con , pertanto il limite destro diventa



Nota: il limite si risolve agilmente sostituendo al posto della il valore .

Calcoliamo il limite sinistro



In questo caso tende a per valori più piccoli, ossia per e sotto tale condizione, l'espressione della funzione è , dunque il limite diventa



Il limite destro e il limite sinistro coincidono con il valore che la funzione assume nel punto, pertanto possiamo affermare che è continua nell'insieme dei numeri reali non negativi.

Studio della derivabilità.

Per analizzare la derivabilità della funzione bisogna osservare che:

- è costante nell'intervallo , di conseguenza è continua.

- è rapporto di funzioni derivabili nell'intervallo e in accordo con la teoria è ivi derivabile.


]L'unico punto che si candida come punto di non derivabilità è il punto di raccordo:



Per studiarne la natura impostiamo il limite destro e il limite sinistro del rapporto incrementale



e in base ai risultati, saremo in grado di classificare il punto .

Calcoliamo il limite destro, vale a dire quello per cui tende a zero per valori più gradi di zero.

In tale situazione sarà certamente maggiore di di conseguenza dobbiamo utilizzare la prima legge per esplicitare il termine :



da cui esprimendo in forma normale la frazione di frazioni



Il limite destro diventa pertanto



dopo aver semplificato e averla fatta tendere a zero ricaviamo:



Calcoliamo adesso il limite sinistro del rapporto incrementale e osserviamo che nel momento in cui si ha che è minore di e in tal caso utilizzeremo la seconda legge che definisce



Poiché i limiti destro e sinistro del rapporto incrementale centrato in sono finiti e distinti, concludiamo che



è un punto di non derivabilità e in particolare è un punto angoloso.

Massimi e minimi locali

Analizziamo i massimi e minimi relativi con la derivata della funzione. Chiaramente abbiamo bisogni innanzitutto dell'espressione analitica di che possiamo ricavare derivando semplicemente i due rami di definiti sui rispettivi insiemi (dobbiamo necessariamente escludere il punto di raccordo perché la funzione non è ivi derivabile.)

Ricordando che la derivata di una costante è zero e che la derivata di si calcola mediante la regola di derivazione di una potenza:



Ribadiamo che in la funzione non è derivabile.

A questo punto studiamo gli zeri e il segno della derivata.



Tale equazione va studiata sui due insiemi di riferimento:

- se , l'equazione diventa



che chiaramente non ammette soluzioni (ciò vuol dire che nell'intervallo non vi sono né massimi né minimi relativi).

- Se , l'equazione diventa



in buona sostanza è un'identità soddisfatta per ogni elemento dell'intervallo .

Consideriamo il segno della derivata analizzando la disequazione



così da determinare gli eventuali intervalli in cui la funzione è strettamente crescente.

Chiaramente la disequazione non può essere soddisfatta sull'intervallo sul quale la derivata è nulla e dunque la disequazione diventerebbe



ed è pertanto impossibile.

Per quanto concerne l'intervallo , la disequazione si traduce in



Anche in questo caso è impossibile perché al primo membro si manifesta un rapporto di quantità positive e in quanto tale non può essere minore di zero per alcun valore reale.

In definitiva possiamo asserire che è:

- nulla sull'intervallo ;

- negativa sull'intervallo

dunque è:

- costante su ;

- strettamente decrescente su .

Attenzione: la stretta decrescenza di per congiuntamente al fatto che garantiscono che 5 è massimo assoluto della funzione e poiché per ogni possiamo affermare che ammette infiniti punti di massimo assoluti e sono tutti i valori di compresi tra inclusi.

Area del sottografico.

Per calcolare l'area del sottografico riferita all'intervallo è sufficiente fare affidamento all'interpretazione geometrica di integrale e considerare:



La natura della funzione complica leggermente le cose, fortunatamente le proprietà degli integrali definiti metteranno il tutto al loro posto.

Possiamo pensare di spezzare l'intervallo di integrazione in due sottointervalli:



La suddivisione non è casuale, bensì è dettata dall'espressione analitica di . In virtù dell'additività dell'operatore integrale, ricaviamo l'area con la somma



Sull'intervallo la funzione coincide con 5, mentre sull'intervallo l'espressione analitica coincide con , pertanto possiamo scrivere



Entrambi sono praticamente integrali immediati



da cui facendo intervenire le proprietà dei logaritmi scriviamo



Ecco fatto.


Note: in realtà per come è definita la funzione, lo studio poteva essere ridotto all'osso perché dovrebbe essere noto il grafico di per : coincide con il ramo di iperbole passante per il punto e con asintoti coincidenti con gli assi coordinati.

Noto questo, il grafico di è immediato e da esso possiamo dedurre tutte le informazioni che ci servono per rispondere correttamente alle richieste del problema senza nemmeno fare un calcolo (a parte l'area del sottografico).