Studio di una funzione definita a tratti con INF

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Studio di una funzione definita a tratti con INF #97993

avt
elliewood
Punto
Devo effettuare lo studio di una funzione a tratti in cui un ramo è definito mediante l'estremo inferiore (INF).

Data una funzione definita su \mathbb{R}^+\cup\{0\} dalla formula

f(x)=\begin{cases}\inf\left(5,\frac{1}{x}\right)&\mbox{se} \ x>0\\ \\ 5&\mbox{se} \ x=0\end{cases}

L'esercizio chiede di determinare l'insieme dove la funzione è continua, l'insieme dove è derivabile, i punti di massimo e minimo locali di f(x) e l'area del sottografico nell'intervallo [0,3];

Ora,il dubbio principale sta proprio in quel \inf\left(5,\frac{1}{x}\right). Non capisco come è fatta la funzione in quel punto perché quando mi sono trovata davanti ad un \inf era sempre su intervalli specifici e al massimo una successione.

Come dovrei procedere? Grazie in anticipo.
 
 

Studio di una funzione definita a tratti con INF #97994

avt
Ifrit
Amministratore
Ciao Elliewood,

prima di procedere con lo studio della funzione

f(x)=\begin{cases}\inf\left(5,\frac{1}{x}\right)&\mbox{se} \ x>0\\ \\ 5&\mbox{se} \ x=0\end{cases}

effettuiamo alcune considerazioni preliminari, partendo proprio da come si presenta la funzione da studiare.

Osservandola attentamente, si capisce che è una funzione definita per casi e, come se non bastasse, interviene l'estremo inferiore di un insieme.

Fissato x\in\mathbb{R}^{+}\cup\{0\}, siamo in grado di costruire l'insieme

\left(5,\frac{1}{x}\right)

ossia un intervallo di numeri reali di cui un estremo dipende da x ed è definito mediante la funzione

g(x)=\frac{1}{x}\ \ \ \mbox{con} \ x>0

Proprio perché \left(5,\frac{1}{x}\right) è un intervallo, il suo estremo inferiore coincide con il più piccolo tra 5\ \mbox{e} \ \frac{1}{x}.

Per esplicitare l'espressione analitica della funzione f(x) è sufficiente determinare per quali valori di x\ge 0 è verificata la disequazione fratta

\frac{1}{x}<5

Risolviamola esprimendo la disequazione fratta in forma normale

\frac{1}{x}-5<0

da cui

\frac{1-5x}{x}<0

Dalla definizione della funzione sappiamo che x>0, di conseguenza il segno della frazione algebrica dipende esclusivamente da quello del numeratore:

1-5x<0 \ \ \ \to \ \ \ x>\frac{1}{5}

Da qui deduciamo che se x>\frac{1}{5} allora \frac{1}{x} è minore di 5, pertanto l'estremo inferiore dell'intervallo coincide con \frac{1}{x}

f(x)=\frac{1}{x}\ \ \ \mbox{con}\ x>\frac{1}{5}

Se 0\le x\le \frac{1}{5}, d'altro canto, 5 è minore o al più uguale dell'estremo \frac{1}{x} di conseguenza

f(x)=5 \ \ \ \mbox{con} \ 0\le x\le\frac{1}{5}

In definitiva, la funzione da studiare è

f(x)=\begin{cases}\frac{1}{x}&\mbox{se} \ x>\frac{1}{5}\\ \\ 5&\mbox{se} \ 0\le x\le \frac{1}{5}\end{cases}

L'analisi preliminare ci ha permesso di eliminare dall'espressione analitica l'inf e ciò ci faciliterà nei passaggi successivi.

Studio della continuità

Lo studio della continuità della funzione è praticamente immediato, infatti è sufficiente notare che:

- se 0\le x<\frac{1}{5} \ \ \ f(x) è una funzione costante e dunque necessariamente continua nell'intervallo considerato.

- se x>\frac{1}{5} \ \ \ f(x)=\frac{1}{x} è rapporto di funzioni continue in cui il denominatore è diverso da zero e in quanto tale è continua.

(per approfondire: come stabilire se una funzione è continua)

L'unico valore in cui vi sono dubbi sulla continuità è quello che prende il nome di punto di raccordo, vale a dire quel punto in cui la funzione cambia la sua espressione analitica.

Nel caso specifico, il punto da analizzare a parte è

x=\frac{1}{5}

e per studiare la continuità f(x) nel punto in esame bisogna avvalersi della definizione di funzione continua: calcoleremo limite destro e limite sinistro per x\to \frac{1}{5} e verificheremo che coincidono con il valore che la funzione assume per x=\frac{1}{5}.

Per x=\frac{1}{5} la funzione vale

f\left(\frac{1}{5}\right)=5

infatti x=\frac{1}{5} soddisfa il vincolo 0\le x\le\frac{1}{5} per cui dobbiamo utilizzare la prima legge nella definizione per casi.

Calcoliamo il limite destro

\lim_{x\to\left(\frac{1}{5}\right)^+}f(x)=

Poiché x tende a \frac{1}{5} per valori più grandi, rientriamo nella condizione x>\frac{1}{5}, soddisfatta la quale f(x) coincide con \frac{1}{x}, pertanto il limite destro diventa

=\lim_{x\to\left(\frac{1}{5}\right)^{+}}\frac{1}{x}=5

Nota: il limite si risolve agilmente sostituendo al posto della x il valore \frac{1}{5}.

Calcoliamo il limite sinistro

\lim_{x\to \left(\frac{1}{5}\right)^{-}}f(x)=

In questo caso x tende a \frac{1}{5} per valori più piccoli, ossia per x<\frac{1}{5} e sotto tale condizione, l'espressione della funzione è f(x)=5, dunque il limite diventa

=\lim_{x\to\left(\frac{1}{5}\right)^{-}}5=5

Il limite destro e il limite sinistro coincidono con il valore che la funzione assume nel punto, pertanto possiamo affermare che f(x) è continua nell'insieme dei numeri reali non negativi.

Studio della derivabilità.

Per analizzare la derivabilità della funzione bisogna osservare che:

- f(x) è costante nell'intervallo \left[0, \frac{1}{5}\right), di conseguenza è continua.

- f(x) è rapporto di funzioni derivabili nell'intervallo \left(\frac{1}{5},+\infty\right) e in accordo con la teoria è ivi derivabile.


]L'unico punto che si candida come punto di non derivabilità è il punto di raccordo:

x=\frac{1}{5}

Per studiarne la natura impostiamo il limite destro e il limite sinistro del rapporto incrementale

\\ \lim_{h\to 0^{+}}\frac{f\left(\frac{1}{5}+h\right)-f\left(\frac{1}{5}\right)}{h} \\ \\ \\ \lim_{h\to 0^{-}}\frac{f\left(\frac{1}{5}+h\right)-f\left(\frac{1}{5}\right)}{h}

e in base ai risultati, saremo in grado di classificare il punto x=\frac{1}{5}.

Calcoliamo il limite destro, vale a dire quello per cui h tende a zero per valori più gradi di zero.

In tale situazione \frac{1}{5}+h sarà certamente maggiore di \frac{1}{5} di conseguenza dobbiamo utilizzare la prima legge per esplicitare il termine f\left(\frac{1}{5}+h\right):

f\left(\frac{1}{5}+h\right)=\frac{1}{\frac{1}{5}+h}=

da cui esprimendo in forma normale la frazione di frazioni

=\frac{5}{1+5h}

Il limite destro diventa pertanto

\\ \lim_{h\to 0^{+}}\frac{f\left(\frac{1}{5}+h\right)-f\left(\frac{1}{5}\right)}{h}= \\ \\ \\ =\lim_{h\to 0^{+}}\frac{\frac{5}{1+5h}-5}{h}=\lim_{h\to 0^{+}}\frac{-\frac{25h}{1+5h}}{h}=

dopo aver semplificato h e averla fatta tendere a zero ricaviamo:

=\lim_{h\to 0^{+}}-\frac{25}{1+5h}=-25

Calcoliamo adesso il limite sinistro del rapporto incrementale e osserviamo che nel momento in cui h<0 si ha che \frac{1}{5}+h è minore di \frac{1}{5} e in tal caso utilizzeremo la seconda legge che definisce f(x)

=\lim_{h\to 0^{-}}\frac{f\left(\frac{1}{5}+h\right)-f\left(\frac{1}{5}\right)}{h}=\lim_{h\to 0}\frac{5-5}{h}=0

Poiché i limiti destro e sinistro del rapporto incrementale centrato in \frac{1}{5} sono finiti e distinti, concludiamo che

x=\frac{1}{5}

è un punto di non derivabilità e in particolare è un punto angoloso.

Massimi e minimi locali

Analizziamo i massimi e minimi relativi con la derivata della funzione. Chiaramente abbiamo bisogni innanzitutto dell'espressione analitica di f'(x) che possiamo ricavare derivando semplicemente i due rami di f(x) definiti sui rispettivi insiemi (dobbiamo necessariamente escludere il punto di raccordo perché la funzione non è ivi derivabile.)

Ricordando che la derivata di una costante è zero e che la derivata di \frac{1}{x} si calcola mediante la regola di derivazione di una potenza:

f'(x)=\begin{cases}-\frac{1}{x^2}&\mbox{se}\ x>\frac{1}{5}\\ \\ 0&\mbox{se}\ 0\le x<\frac{1}{5} \end{cases}

Ribadiamo che in x=\frac{1}{5} la funzione non è derivabile.

A questo punto studiamo gli zeri e il segno della derivata.

f'(x)=0

Tale equazione va studiata sui due insiemi di riferimento:

- se x>\frac{1}{5}, l'equazione diventa

-\frac{1}{x^2}=0

che chiaramente non ammette soluzioni (ciò vuol dire che nell'intervallo \left(\frac{1}{5}, +\infty\right) non vi sono né massimi né minimi relativi).

- Se 0\le x<\frac{1}{5}, l'equazione diventa

0=0

in buona sostanza è un'identità soddisfatta per ogni elemento dell'intervallo \left[0,\frac{1}{5}\right).

Consideriamo il segno della derivata analizzando la disequazione

f'(x)>0

così da determinare gli eventuali intervalli in cui la funzione è strettamente crescente.

Chiaramente la disequazione non può essere soddisfatta sull'intervallo 0\le x<\frac{1}{5} sul quale la derivata è nulla e dunque la disequazione diventerebbe

0 > 0

ed è pertanto impossibile.

Per quanto concerne l'intervallo x>\frac{1}{5}, la disequazione f'(x)>0 si traduce in

-\frac{1}{x^2}>0 \ \ \ \to \ \ \ \frac{1}{x^2}<0

Anche in questo caso è impossibile perché al primo membro si manifesta un rapporto di quantità positive e in quanto tale non può essere minore di zero per alcun valore reale.

In definitiva possiamo asserire che f'(x) è:

- nulla sull'intervallo 0\le x<\frac{1}{5};

- negativa sull'intervallo x>\fra{1}{5}

dunque f(x) è:

- costante su 0\le x<\frac{1}{5};

- strettamente decrescente su x>\frac{1}{5}.

Attenzione: la stretta decrescenza di f(x) per x>\frac{1}{5} congiuntamente al fatto che f\left(\frac{1}{5}\right)=5 garantiscono che 5 è massimo assoluto della funzione e poiché f(x)=5 per ogni 0\le x\le\frac{1}{5} possiamo affermare che f(x) ammette infiniti punti di massimo assoluti e sono tutti i valori di x compresi tra 0\ \mbox{e} \ \frac{1}{5} inclusi.

Area del sottografico.

Per calcolare l'area del sottografico riferita all'intervallo [0,3] è sufficiente fare affidamento all'interpretazione geometrica di integrale e considerare:

\mbox{Area}=\int_{0}^{3}f(x)dx=

La natura della funzione complica leggermente le cose, fortunatamente le proprietà degli integrali definiti metteranno il tutto al loro posto.

Possiamo pensare di spezzare l'intervallo di integrazione [0,3] in due sottointervalli:

\left[0,\frac{1}{5}\right]\ \ \ \mbox{e} \ \ \ \left[\frac{1}{5},3\right]

La suddivisione non è casuale, bensì è dettata dall'espressione analitica di f(x). In virtù dell'additività dell'operatore integrale, ricaviamo l'area con la somma

=\int_{0}^{\frac{1}{5}}f(x)dx+\int_{\frac{1}{5}}^{3}f(x)dx

Sull'intervallo \left[0, \frac{1}{5}\right] la funzione coincide con 5, mentre sull'intervallo \left[\frac{1}{5},3\right] l'espressione analitica coincide con \frac{1}{x}, pertanto possiamo scrivere

=\int_{0}^{\frac{1}{5}}5dx+\int_{\frac{1}{5}}^{3}\frac{1}{x}dx=

Entrambi sono praticamente integrali immediati

\\ =5\left[x\right]_{0}^{\frac{1}{5}}+[\ln|x|]_{\frac{1}{5}}^3=5\cdot\frac{1}{5}+\ln\left(3\right)-\ln\left(\frac{1}{5}\right)=

da cui facendo intervenire le proprietà dei logaritmi scriviamo

=1+\ln(3)+\ln(5)=1+\ln(15)

Ecco fatto.


Note: in realtà per come è definita la funzione, lo studio poteva essere ridotto all'osso perché dovrebbe essere noto il grafico di y=\frac{1}{x} per x>0: coincide con il ramo di iperbole passante per il punto P(1,1) e con asintoti coincidenti con gli assi coordinati.

Noto questo, il grafico di f(x) è immediato e da esso possiamo dedurre tutte le informazioni che ci servono per rispondere correttamente alle richieste del problema senza nemmeno fare un calcolo (a parte l'area del sottografico).
Ringraziano: Omega, Galois, CarFaby, elliewood
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