Problema su volume e peso specifico di un solido di rotazione

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Problema su volume e peso specifico di un solido di rotazione #97764

avt
Leondrago
Punto
Vorrei capire come risolvere questo problema sul volume e sul peso specifico di un solido di rotazione, in cui bisogna calcolare perimetro, area e diagonale di un rettangolo, per poi determinare volume, area totale e peso specifico del solido ottenuto dalla rotazione del rettangolo.

In un rettangolo la somma della base e dell'altezza misura 20 cm e la base è i 2/3 dell'altezza. Calcola l'area, il perimetro e la diagonale del rettangolo.

Fai ruotare di 360° il rettangolo sul lato maggiore e calcola l'area totale, il volume, il peso specifico del materiale di cui è fatto il solido ottenuto sapendo che pesa 3617,28 g.

Non ci sono i risultati.
Grazie mille, ciao!
 
 

Problema su volume e peso specifico di un solido di rotazione #97766

avt
Galois
Amministratore
Indichiamo con b la base e con h l'altezza del rettangolo.

Dai dati forniti dal testo del problema sappiamo che:

- la somma tra le misure di base e altezza è 20 centimetri

b+h = 20 cm

- la base è i 2/3 dell'altezza del rettangolo

b = (2)/(3)·h

Per ricavare le misure di base e altezza poniamo la misura dell'altezza uguale a x

h = x

Sostituiamo nella seconda relazione ottenendo la misura della base in funzione di x

b = (2)/(3)·h = (2)/(3)·x = (2)/(3)x

Dopodiché sostituiamo il tutto nella prima relazione

b+h = 20 cm

ottenendo la seguente equazione di primo grado

(2)/(3)x+x = 20 cm

Calcoliamo il minimo comun denominatore e svolgiamo i conti

(2x+3x)/(3) = (3·(20 cm))/(3) ; (5x)/(3) = (60 cm)/(3) ; 5x = 60 cm

Dividiamo ambo i membri per 5 così da ricavare il valore della x

x = (60)/(5) = 12 cm

Avendo posto

h = x ; b = (2)/(3)x

possiamo ora risalire alle misure di altezza e base del rettangolo

h = x = 12 cm ; b = (2)/(3)x = (2)/(3)·(12 cm) = 8 cm

Abbiamo tutto quello che ci occorre per calcolare:

- l'area del rettangolo, che è data dal prodotto tra le due dimensioni

A = b·h = (8 cm)·(12 cm) = 96 cm^2

- il perimetro del rettangolo, che si ottiene moltiplicando per 2 la somma di base e altezza

2p = 2·(b+h) = 2·(20 cm) = 40 cm

- la misura della diagonale del rettangolo ricorrendo al teorema di Pitagora

d = √(b^2+h^2) = √((8 cm)^2+(12 cm)^2) = √(64 cm^2+144 cm^2) = √(208 cm^2) = 4√(13) cm ≃ 14,42 cm

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Passiamo ora alla seconda parte dell'esercizio, concentrandoci dapprima sul calcolo di area totale e volume del solido di rotazione ottenuto facendo ruotare il rettangolo attorno al suo lato maggiore.

Il lato maggiore del rettangolo è la sua altezza, che misura 12 cm.

Dalla rotazione di un rettangolo attorno a un suo lato si ottiene un cilindro.

Cilindro


Come risulta evidente dalla precedente immagine:

- la lunghezza dell'altezza del cilindro coincide con la misura del lato attorno cui è avvenuta la rotazione;

- il raggio del cerchio di base ha la stessa misura della base del rettangolo.

In definitiva dobbiamo calcolare il volume e l'area della superficie totale del cilindro conoscendo la sua altezza

h = 12 cm

e il raggio del cerchio di base

r = 8 cm

- Il volume del cilindro è dato dal prodotto tra area di base e altezza

V = S_b·h

L'area di base è l'area di un cerchio avente il raggio di 8 cm, quindi

S_(b) = π r^2 = π·(8 cm)^2 = π·(64 cm^2) = 64π cm^2 ≃ 200,96 cm^2

Nell'ultimo passaggio abbiamo sostituito la costante Pi Greco col suo valore approssimato (π ≃ 3,14)

Possiamo ora trovare il volume

V = S_b·h = (200,96 cm^2)·(8 cm) = 1607,68 cm^3

- L'area della superficie totale del cilindro è la somma tra l'area della superficie totale e il doppio dell'area di base

S_(tot) = S_(lat)+2S_(b)

Ci manca l'area della superficie laterale, che si calcola moltiplicando il perimetro del cerchio di base per la misura dell'altezza

S_(lat) = 2π r h = 2π·(8 cm)·(12 cm) = 192π cm^2 ≃ 602,88 cm^2

Di conseguenza

S_(tot) = S_(lat)+2S_(b) = 602,88 cm^2+2·(200,96 cm^2) = 602,88 cm^2+401,92 cm^2 = 1004,8 cm^2

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Concludiamo l'esercizio determinando il peso specifico del materiale di cui è fatto il solido.

In generale, il peso specifico è dato dal rapporto tra peso e volume

Ps = (Peso)/(Volume)

Il peso è fornito dal testo del problema

P = 3617,28 g

il volume l'abbiamo calcolato poco fa

V = 1607,68 cm^3

Pertanto

Ps = (P)/(V) = (3617,28 g)/(1607,68 cm^3) = 2,25 (g)/(cm^3)

È tutto! emt
Ringraziano: Omega, CarFaby, Leondrago

Problema su volume e peso specifico di un solido di rotazione #97767

avt
Leondrago
Punto
Grazie!

Non avendo ancora affrontato le equazioni, per conoscere le misure di base e altezza devo applicare l'unità frazionaria?

Problema su volume e peso specifico di un solido di rotazione #97768

avt
Galois
Amministratore
Sì, esatto.

Se non hai ancora affrontato lo studio delle equazioni di primo grado (argomento solitamente noto in terza media), puoi determinare le misure di base e altezza del rettangolo procedendo come nei problemi sui segmenti con somma e rapporto.

Nello specifico, sapendo che

b = (2)/(3)·h

si disegna un segmento che rappresenta l'altezza e lo si divide in 3 parti uguali (tante quante sono le parti indicate dal denominatore). Ciascuna di queste parti è quella che viene detta unità frazionaria.

Poiché la base è 2/3 dell'altezza, il segmento che rappresenta la base sarà formato da due parti, ciascuna di esse uguale all'unità frazionaria.

h: |-|-|-| ; b: |-|-|


In totale i due segmenti sono divisi in 5 parti congruenti (3+2). Poiché la loro somma è 20 cm possiamo determinare il valore u dell'unità frazionaria dividendo 20 cm per 5

u = (20 cm) : 5 = 4 cm

Di conseguenza

h = 3u = 3·(4 cm) = 12 cm ; h = 2u = 2·(4 cm) = 8 cm
Ringraziano: Omega, CarFaby
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Os