Problema su volume e peso specifico di un solido di rotazione

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Problema su volume e peso specifico di un solido di rotazione #97764

avt
Leondrago
Punto
Vorrei capire come risolvere questo problema sul volume e sul peso specifico di un solido di rotazione, in cui bisogna calcolare perimetro, area e diagonale di un rettangolo, per poi determinare volume, area totale e peso specifico del solido ottenuto dalla rotazione del rettangolo.

In un rettangolo la somma della base e dell'altezza misura 20 cm e la base è i 2/3 dell'altezza. Calcola l'area, il perimetro e la diagonale del rettangolo.

Fai ruotare di 360° il rettangolo sul lato maggiore e calcola l'area totale, il volume, il peso specifico del materiale di cui è fatto il solido ottenuto sapendo che pesa 3617,28 g.

Non ci sono i risultati.
Grazie mille, ciao!
 
 

Problema su volume e peso specifico di un solido di rotazione #97766

avt
Galois
Amministratore
Indichiamo con b la base e con h l'altezza del rettangolo.

Dai dati forniti dal testo del problema sappiamo che:

- la somma tra le misure di base e altezza è 20 centimetri

b+h= 20 \mbox{ cm}

- la base è i 2/3 dell'altezza del rettangolo

b=\frac{2}{3} \cdot h

Per ricavare le misure di base e altezza poniamo la misura dell'altezza uguale a x

h=x

Sostituiamo nella seconda relazione ottenendo la misura della base in funzione di x

b=\frac{2}{3} \cdot h = \frac{2}{3} \cdot x = \frac{2}{3}x

Dopodiché sostituiamo il tutto nella prima relazione

\\ b + h = 20 \mbox{ cm}

ottenendo la seguente equazione di primo grado

\frac{2}{3}x + x = 20 \mbox{ cm}

Calcoliamo il minimo comun denominatore e svolgiamo i conti

\\ \frac{2x+3x}{3}=\frac{3 \cdot (20 \mbox{ cm})}{3} \\ \\ \\ \frac{5x}{3}=\frac{60 \mbox{ cm}}{3} \\ \\ \\ 5x=60 \mbox{ cm}

Dividiamo ambo i membri per 5 così da ricavare il valore della x

x=\frac{60}{5} = 12 \mbox{ cm}

Avendo posto

\\ h=x \\ \\ b=\frac{2}{3}x

possiamo ora risalire alle misure di altezza e base del rettangolo

h=x=12 \mbox{ cm} \\ \\ b=\frac{2}{3}x = \frac{2}{3} \cdot (12 \mbox{ cm}) = 8 \mbox{ cm}

Abbiamo tutto quello che ci occorre per calcolare:

- l'area del rettangolo, che è data dal prodotto tra le due dimensioni

A= b \cdot h = (8\mbox{ cm}) \cdot (12 \mbox{ cm}) = 96 \mbox{ cm}^2

- il perimetro del rettangolo, che si ottiene moltiplicando per 2 la somma di base e altezza

2p=2\cdot (b+h) = 2 \cdot (20 \mbox{ cm}) = 40 \mbox{ cm}

- la misura della diagonale del rettangolo ricorrendo al teorema di Pitagora

\\ d=\sqrt{b^2+h^2}=\sqrt{(8 \mbox{ cm})^2+(12 \mbox{ cm})^2} = \\ \\ = \sqrt{64 \mbox{ cm}^2 + 144 \mbox{ cm}^2} = \sqrt{208 \mbox{ cm}^2} = 4\sqrt{13} \mbox{ cm} \simeq 14,42 \mbox{ cm}

---------------

Passiamo ora alla seconda parte dell'esercizio, concentrandoci dapprima sul calcolo di area totale e volume del solido di rotazione ottenuto facendo ruotare il rettangolo attorno al suo lato maggiore.

Il lato maggiore del rettangolo è la sua altezza, che misura 12 cm.

Dalla rotazione di un rettangolo attorno a un suo lato si ottiene un cilindro.

Cilindro


Come risulta evidente dalla precedente immagine:

- la lunghezza dell'altezza del cilindro coincide con la misura del lato attorno cui è avvenuta la rotazione;

- il raggio del cerchio di base ha la stessa misura della base del rettangolo.

In definitiva dobbiamo calcolare il volume e l'area della superficie totale del cilindro conoscendo la sua altezza

h=12 \mbox{ cm}

e il raggio del cerchio di base

r=8 \mbox{ cm}

- Il volume del cilindro è dato dal prodotto tra area di base e altezza

V=S_b \cdot h

L'area di base è l'area di un cerchio avente il raggio di 8 cm, quindi

S_{b}=\pi r^2 = \pi \cdot (8 \mbox{ cm})^2 = \pi \cdot (64 \mbox{ cm}^2) = 64\pi \mbox{ cm}^2 \simeq 200,96 \mbox{ cm}^2

Nell'ultimo passaggio abbiamo sostituito la costante Pi Greco col suo valore approssimato (\pi \simeq 3,14)

Possiamo ora trovare il volume

V=S_b \cdot h = (200,96 \mbox{ cm}^2) \cdot (8 \mbox{ cm}) = 1607,68 \mbox{ cm}^3

- L'area della superficie totale del cilindro è la somma tra l'area della superficie totale e il doppio dell'area di base

S_{tot}=S_{lat} + 2S_{b}

Ci manca l'area della superficie laterale, che si calcola moltiplicando il perimetro del cerchio di base per la misura dell'altezza

S_{lat} = 2\pi r h = 2\pi \cdot (8 \mbox{ cm}) \cdot (12 \mbox{ cm}) = 192\pi \mbox{ cm}^2 \simeq 602,88 \mbox{ cm}^2

Di conseguenza

\\ S_{tot}=S_{lat} + 2S_{b} = 602,88 \mbox{ cm}^2 + 2\cdot (200,96 \mbox{ cm}^2) = \\ \\ = 602,88 \mbox{ cm}^2 + 401,92 \mbox{ cm}^2 = 1004,8 \mbox{ cm}^2

---------------

Concludiamo l'esercizio determinando il peso specifico del materiale di cui è fatto il solido.

In generale, il peso specifico è dato dal rapporto tra peso e volume

Ps=\frac{\mbox{Peso}}{\mbox{Volume}}

Il peso è fornito dal testo del problema

P=3617,28 \mbox{ g}

il volume l'abbiamo calcolato poco fa

V=1607,68 \mbox{ cm}^3

Pertanto

Ps=\frac{P}{V}=\frac{3617,28 \mbox{ g}}{1607,68 \mbox{ cm}^3} = 2,25 \ \frac{\mbox{g}}{\mbox{cm}^3}

È tutto! emt
Ringraziano: Omega, CarFaby, Leondrago

Problema su volume e peso specifico di un solido di rotazione #97767

avt
Leondrago
Punto
Grazie!

Non avendo ancora affrontato le equazioni, per conoscere le misure di base e altezza devo applicare l'unità frazionaria?

Problema su volume e peso specifico di un solido di rotazione #97768

avt
Galois
Amministratore
Sì, esatto.

Se non hai ancora affrontato lo studio delle equazioni di primo grado (argomento solitamente noto in terza media), puoi determinare le misure di base e altezza del rettangolo procedendo come nei problemi sui segmenti con somma e rapporto.

Nello specifico, sapendo che

b=\frac{2}{3} \cdot h

si disegna un segmento che rappresenta l'altezza e lo si divide in 3 parti uguali (tante quante sono le parti indicate dal denominatore). Ciascuna di queste parti è quella che viene detta unità frazionaria.

Poiché la base è 2/3 dell'altezza, il segmento che rappresenta la base sarà formato da due parti, ciascuna di esse uguale all'unità frazionaria.

\\ h: \ |-|-|-| \\ \\ b: \ |-|-|


In totale i due segmenti sono divisi in 5 parti congruenti (3+2). Poiché la loro somma è 20 cm possiamo determinare il valore u dell'unità frazionaria dividendo 20 cm per 5

u=(20 \mbox{ cm}) : 5 = 4 \mbox{ cm}

Di conseguenza

\\ h=3u = 3 \cdot (4 \mbox{ cm}) = 12 \mbox{ cm} \\ \\ h=2u = 2 \cdot (4 \mbox{ cm}) = 8 \mbox{ cm}
Ringraziano: Omega, CarFaby
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Os