Esercizio sui prodotto notevoli per terza media

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Esercizio sui prodotto notevoli per terza media #97743

avt
Leondrago
Punto
Ho un po' di confusione nel calcolo di un prodotto notevole, è un esercizio sul quadrato del monomio. Le difficoltà riguardano il quadrato della somma per la differenza e il quadrato di un binomio.

Non riesco a capire perché in questo caso:

(4a^3-6b^2) (4a^3+6b^2)= 16a^6-36b^4

il quadrato del primo monomio non è 16a^9, dato che 3x3=9, mentre nell'esempio del quadrato del binomio:

\left(\frac{3}{5}a^3b^2+\frac{1}{7}a^4b\right)^2

il quadrato del primo monomio è \frac{9}{25}a^{9}b^{4}. Perché il quadrato di a^3 in un caso fa 6 e nell'altro fa 9?

E come faccio soprattutto a distinguerli e a non sbagliarmi nello svolgimento delle espressioni?

Vi ringrazio!
 
 

Esercizio sui prodotto notevoli per terza media #97749

avt
Ifrit
Amministratore
Ciao Leondrago,

in buona sostanza, dobbiamo calcolare il seguente prodotto

(4a^3-6b^2)(4a^3+6b^2)

il quale non è altro che il prodotto tra la differenza e la somma dei monomi 4a^3 \ \mbox{e} \ 6b^2.

Esso è dunque un particolare prodotto notevole che può essere espresso come la differenza dei quadrati dei monomi che lo compongono, vale a dire:

(4a^3-6b^2)(4a^3+6b^2)=(4a^3)^2-(6b^2)^2=

Il prossimo passaggio consiste nell'usare le corrette proprietà delle potenze: interverranno in particolare la regola sulla potenza di un prodotto e la regola relativa alla potenza di una potenza.

La potenza di un prodotto ci permette di distribuire l'esponente a ciascun fattore che compone la base, vale a dire:

=4^2(a^3)^2-6^2(b^2)^2=16(a^3)^2-36(b^2)^2

Per scrivere nella forma più semplice possibile (a^3)^2 \ \mbox{e} \ (b^2)^2 usiamo la regola relativa alla potenza di una potenza che possiamo ricordare in questo modo:

la potenza di una potenza è una nuova potenza che ha per base la stessa base e per esponente il prodotto degli esponenti

(a^3)^2=a^{3\cdot 2}=a^6

ecco perché ci ritroviamo a^{6} e non a^9. Allo stesso modo

(b^2)^{2}=b^{2\cdot 2}=b^4

In buona sostanza, possiamo scrivere i seguenti passaggi algebrici

\\ (4a^3-6b^2)(4a^3+6b^2)=(4a^3)^2-(6b^2)^2= \\ \\ =16a^6-36b^4

Analizziamo ora il quadrato di binomio

\left(\frac{3}{5}a^3b^2+\frac{1}{7}a^4b\right)^2

e riportiamo la regola: il quadrato di un binomio coincide con il quadrato del primo termine più il doppio prodotto tra il primo e il secondo termine a cui va aggiunto il quadrato del secondo termine.

Nel caso considerato, il primo termine è \frac{3}{5}a^3b^2 mentre il secondo è \frac{1}{7}a^4b, pertanto scriviamo:

\\ \left(\frac{3}{5}a^3b^2+\frac{1}{7}a^4b\right)^2= \\ \\ \\ =\left(\frac{3}{5}a^3b^2\right)^2+2\left(\frac{3}{5}a^3b^2\right)\left(\frac{1}{7}a^4b\right)+\left(\frac{1}{7}a^4b\right)^2

Ora la parte più delicata dell'esercizio: bisogna applicare correttamente le proprietà delle potenze per poter semplificare il più possibile l'espressione.

Ragioniamo sui singoli addendi, partendo dal primo quadrato

\left(\frac{3}{5}a^3b^2\right)^2=

Distribuiamo l'esponente a ciascun fattore

=\left(\frac{3}{5}\right)^2(a^3)^2(b^2)^2=

sfruttiamo la regola sulla potenza di una frazione, attribuendo l'esponente sia al numeratore che al denominatore

=\frac{3^2}{5^2}(a^3)^2(b^2)^2=\frac{9}{25}(a^3)^2(b^2)^2=

Per quanto concerne la parte letterale dobbiamo utilizzare nuovamente la proprietà relativa a una potenza di una potenza e scrivere

=\frac{9}{25}a^{3\cdot2}b^{2\cdot2}=\frac{9}{25}a^6b^4

Occupiamoci del secondo addendo, ossia del prodotto tra monomi:

2\left(\frac{3}{5}a^3b^2\right)\left(\frac{1}{7}a^4b\right)=

Il trucco consiste nel moltiplicare tra loro le parti numeriche e letterali, prestando la massima attenzione alle proprietà delle potenze (ebbene sì, ritornano sempre!).

In questa circostanza ci tornerà utile la proprietà relativa al prodotto di due potenze con la stessa base che equivale a una potenza che ha per base la stessa base e per esponente la somma degli esponenti

\\ =2\cdot\frac{3}{5}\cdot\frac{1}{7}a^{3}\cdot a^{4}\cdot b^{2}\cdot b=\frac{6}{35}a^{3+4}b^{2+1}= \\ \\ \\=\frac{6}{35}a^{7}b^3

Occupiamoci dell'ultimo addendo, ossia:

\left(\frac{1}{7}a^4b\right)^2=

Come prima, utilizziamo le proprietà delle potenze

\\ =\frac{1}{7^2}(a^4)^2b^2=\frac{1}{49}a^{4\cdot 2}b^2=\\ \\ \\ =\frac{1}{49}a^8b^2

Ora abbiamo tutte le informazioni necessarie per concludere

\\ \left(\frac{3}{5}a^3b^2+\frac{1}{7}a^4b\right)^2= \\ \\ \\ =\left(\frac{3}{5}a^3b^2\right)^2+2\left(\frac{3}{5}a^3b^2\right)\left(\frac{1}{7}a^4b\right)+\left(\frac{1}{7}a^4b\right)^2=\\ \\ \\ = \frac{9}{25}a^6b^4+\frac{6}{35}a^7b^3+\frac{1}{49}a^8b^2

In questa tipologia di esercizi diventano fondamentali le proprietà delle potenze che ti invito a imparare veramente bene: ti torneranno utili fino all'università, promesso!

Esercitandoti molto, poi, riuscirai a meccanizzare i processi e sarai in grado di saltare molti passaggi.

Nota importante: le proprietà delle potenze che abbiamo applicato sono le medesime sia per il calcolo della differenza di quadrati, sia per il calcolo del quadrato di binomio.

Il problema di fondo è che non è vero che il quadrato di \frac{3}{5}a^3b^2 è \frac{9}{25}a^9b^4. Se il libro propone questa soluzione, probabilmente sarà un typo, cioè un errore di digitazione: sono molto frequenti sui testi di matematica.
Ringraziano: Omega, Pi Greco, Galois, CarFaby, Leondrago
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