Integrale definito radici e logaritmo

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Integrale definito radici e logaritmo #97709

avt
M.J.
Punto
Devo calcolare un integrale definito con il prodotto tra una radice e un logaritmo che mi dà molti problemi, perché quando arrivo all'arcotangente non ho angoli noti.

\int_{\frac{3}{2}}^{6}\sqrt{2x-3}\log(x)dx

Il risultato è 9\log(6)-\frac{2\pi}{\sqrt{3}}.

Grazie.
 
 

Re: Integrale definito radici e logaritmo #97720

avt
Ifrit
Ambasciatore
Ciao M.J.

dobbiamo calcolare l'integrale definito

\int_{\frac{3}{2}}^{6}\sqrt{2x-3}\log(x)dx

Esso è un integrale davvero particolare perché richiede praticamente tutte le tecniche di integrazione "più celebri".

Per il momento lasciamo da parte gli estremi di integrazione e calcoliamo l'integrale indefinito associato alla funzione integranda, ossia

\int\sqrt{2x-3}\log(x)dx

La presenza del logaritmo ci suggerisce di procedere con il metodo di integrazione per parti, grazie al quale risolveremmo brillantemente il problema, se non fosse per la radice \sqrt{2x-3} che rende tremendamente più complicati i calcoli.

La migliore strategia risolutiva consiste nell'utilizzare preventivamente una variabile ausiliaria e affrontare l'integrale per sostituzione.

Una scelta azzeccata è

t=\sqrt{2x-3}

da cui possiamo esprimere x in funzione t invertendo l'espressione:

t=\sqrt{2x-3} \ \ \to \ \ t^2=2x-3

da cui

x=\frac{t^2+3}{2}

A questo punto calcoliamo il differenziale associato, derivando i due membri per le rispettive variabili

dx=\frac{2t}{2}dt \ \ \to \ \ dx=tdt

In virtù della sostituzione, l'integrale da risolvere diventa

\\ \int\sqrt{2x-3}\log(x)dx=\int t\cdot\log\left(\frac{t^2+3}{2}\right)\cdot tdt= \\ \\ \\ =\int t^2\log\left(\frac{t^2+3}{2}\right)dt

A conti fatti, la sostituzione non è stata risolutiva, ma almeno ha fatto sì che sparisse il termine irrazionale.

Ora integriamo per parti, scegliendo come fattore finito (facile da derivare) il logaritmo

f(t)=\log\left(\frac{t^2+3}{2}\right)

la cui derivata è

\\ f'(t)=\frac{1}{\frac{t^2+3}{2}}\cdot\frac{2t}{2}=\\ \\ \\ = \frac{2t}{t^2+3}

Nota: nell'ultimo passaggio abbiamo espresso in forma normale la frazione di frazioni.

Scegliamo invece come fattore differenziale (facile da integrare) la potenza

g'(t)=t^2

Necessitiamo di una qualsiasi primitiva associata a g'(t), una di esse è:

g(t)=\frac{t^3}{3}

Abbiamo tutte le informazioni necessarie per sfruttare la formula di integrazione per parti

\int f(t)g'(t)dt=f(t)g(t)-\int f'(t)g(t)dt

che ci autorizza a scrivere l'uguaglianza

\\ \int t^2\log\left(\frac{t^2+3}{2}\right)dt= \\ \\ \\ =\frac{t^3}{3}\log\left(\frac{t^2+3}{2}\right)-\int\frac{2t}{t^2+3}\cdot\frac{t^3}{3}dt=

Eseguiamo la moltiplicazione tra le frazioni algebriche ottenendo:

=\frac{t^3}{3}\log\left(\frac{t^2+3}{2}\right)-\int\frac{2t^4}{3(t^2+3)}dt=

Sfruttiamo la linearità dell'integrale per trasportare fuori dal simbolo la costante moltiplicativa

=\frac{t^3}{3}\log\left(\frac{t^2+3}{2}\right)-\frac{2}{3}\int\frac{t^4}{t^2+3}dt

Lasciamo da parte tutto quanto e concentriamoci su

\int\frac{t^4}{t^2+3}dt

che è un integrale di una funzione razionale fratta in cui il grado del polinomio a numeratore è maggiore del grado del polinomio a denominatore.

In tali circostanze, dobbiamo dividere il polinomio a numeratore per il polinomio a denominatore.

Eseguendo la divisione polinomiale tra t^4 e il polinomio t^2+3 ricaviamo che il polinomio quoziente è:

Q(t)=t^2-3

mentre il polinomio resto risulta:

R(t)=9

conseguentemente l'integrale si esprime come

\int\frac{t^4}{t^2+3}dt=\int\left(t^2-3+\frac{9}{t^2+3}\right)dt=

Utilizziamo di nuovo la linearità, mediante la quale spezziamo l'integrale della somma come somma di integrali

=\int t^2dt-3\int dt+9\int\frac{1}{t^2+3}dt=

Il primo integrale è immediato, così come il secondo. Sono infatti integrali di potenze

=\frac{t^3}{3}-3t+9\int\frac{1}{t^2+3}dt

Studiamo a parte l'integrale

\int\frac{1}{t^2+3}

Esso richiede qualche trucco algebrico così che si possa ricondurre a un integrale del tipo

\int\frac{h'(t)}{1+[h(t)]^2}dt=\arctan(h(t))+c

il cui risultato è un'arcotangente a meno di costanti additive.

Per prima cosa osserviamo che al denominatore deve comparire una somma tra 1 e il quadrato di una funzione e al numeratore la derivata di tale funzione.

Nel nostro caso, al denominatore compare un 3. Poco male, è sufficiente metterlo in evidenza

\int\frac{1}{t^2+3}dt=\int\frac{1}{3\left(\frac{t^2}{3}+1\right)}dt=

In base alla definizione di potenza possiamo scrivere 3 come (\sqrt{3})^2 e sfruttando a dovere le proprietà delle potenze ricaviamo

=\int\frac{1}{3\left(\frac{t^2}{(\sqrt{3})^2}+1\right)}dt=

da cui

=\frac{1}{3}\int\frac{1}{\left(\frac{t}{\sqrt{3}}\right)^2+1}dt=

Purtroppo non abbiamo ancora finito: al numeratore dell'integrale deve apparire la derivata di \frac{t}{\sqrt{3}}, ossia \frac{1}{\sqrt{3}}.

Idea! Moltiplichiamo e dividiamo per il termine che ci serve

=\frac{1}{3}\cdot\sqrt{3}\int\frac{\frac{1}{\sqrt{3}}}{\left(\frac{t}{\sqrt{3}}\right)^2+1}dt=

Siamo felici perché l'integrale si presenta esattamente nella forma voluta

=\frac{\sqrt{3}}{3}\arctan\left(\frac{t}{\sqrt{3}}\right)+c

Con molta calma, procediamo all'indietro e scriviamo

\int\frac{t^4}{t^2+3}dt=\frac{t^3}{3}-3t+3\sqrt{3}\arctan\left(\frac{t}{\sqrt{3}}\right)+c

di conseguenza

\\ \int t^2\log\left(\frac{t^2+3}{2}\right)dt= \\ \\ \\ =\frac{t^3}{3}\log\left(\frac{t^2+3}{2}\right)-\frac{2t^3}{9}+2t-2\sqrt{3}\arctan\left(\frac{t}{\sqrt{3}}\right)+c

A questo punto non ci resta che tornare nell'incognita x tenendo conto della sostituzione fatta

=2\sqrt{2x-3}-\frac{2(\sqrt{2x-3})^3}{9}-2\sqrt{3}\arctan\left(\frac{\sqrt{2x-3}}{\sqrt{3}}\right)+\frac{(\sqrt{2x-3})^3\ln(x)}{3}+c

Chiamiamo s(x) la primitiva che si ottiene per c=0, vale a dire

s(x)=2\sqrt{2x-3}-\frac{2(\sqrt{2x-3})^3}{9}-2\sqrt{3}\arctan\left(\frac{\sqrt{2x-3}}{\sqrt{3}}\right)+\frac{(\sqrt{2x-3})^3\ln(x)}{3}

In base al teorema fondamentale del calcolo integrale, l'integrale definito dato si calcola come segue:

\int_{\frac{3}{2}}^{6}\sqrt{2x-3}\log(x)dx=s(6)-s\left(\frac{3}{2}\right)

In altri termini è sufficiente valutare la primitiva scelta agli estremi di integrazione e calcolare in seguito una semplice differenza.

Valutiamo la primitiva nell'estremo superiore

\\ s(6)=2\sqrt{9}-\frac{2(\sqrt{9})^3}{9}-2\sqrt{3}\arctan\left(\frac{\sqrt{9}}{\sqrt{3}}\right)+\frac{(\sqrt{9})^3\ln(6)}{3}=\\ \\ \\ = 6-6-2\sqrt{3}\arctan\left(\sqrt{3}\right)+9\log(6)=

Ricordando che \arctan(\sqrt{3})=\frac{\pi}{3} possiamo scrivere il risultato come segue

=-\frac{2\sqrt{3}\pi}{3}+9\log(6)=

Infine possiamo razionalizzare il numeratore del primo addendo moltiplicando e dividendo per \sqrt{3}

\\ =-\frac{2\cdot 3\pi}{3\sqrt{3}}+9\log(6)= \\ \\ \\ =-\frac{2\pi}{\sqrt{3}}+9\log(6)

Il calcolo di s\left(\frac{3}{2}\right) è facile. È sufficiente notare che si annullano tutti gli addendi e scrivere:

s\left(\frac{3}{2}\right)=0

In definitiva

\int_{\frac{3}{2}}^{6}\sqrt{2x-3}\log(x)dx=s(6)-s\left(\frac{3}{2}\right)=-\frac{2\pi}{\sqrt{3}}+9\log(6)

come richiesto.

Osservazione importante

Avremmo potuto fare a meno di ritornare nella variabile x, trasformando gli estremi di integrazione avvalendosi della sostituzione t=\sqrt{2x-3}.

Per x_1=\frac{3}{2} ricaviamo l'estremo t_1=0, mentre per x_2=6, la sostituzione restituisce

t_2=\sqrt{12-3}=\sqrt{9}=3

In questo modo possiamo calcolare il valore dell'integrale utilizzando direttamente l'espressione in t

S(t)=\frac{t^3}{3}\log\left(\frac{t^2+3}{2}\right)-\frac{2t^3}{9}+2t-2\sqrt{3}\arctan\left(\frac{t}{\sqrt{3}}\right)

Basta valutare S(3)-S(0) e ottenere il medesimo risultato.

Integrale noiosetto, ma che dà soddisfazioni.
Ringraziano: Omega, CarFaby

Re: Integrale definito radici e logaritmo #97785

avt
M.J.
Punto
Ciao,

mi ricollego solo ora, scusa. Sì, è lungo da fare.

Grazie tante
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Os