Studio di funzione con esponenziale senza derivata seconda
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Studio di funzione con esponenziale senza derivata seconda #97684
![]() M.J. Punto | Vi scrivo per uno studio di funzione in cui non è richiesto lo studio della derivata seconda, e in cui in particolare ho difficoltà con massimi e minimi ![]() Grazie mille |
Re: Studio di funzione con esponenziale senza derivata seconda #97688
![]() Ifrit Amministratore | Sia ![]() Il nostro compito consiste nell'effettuare lo studio della funzione Per prima cosa iniziamo dal dominio della funzione: l'unica condizione da imporre è per via del denominatore presente all'esponente dell'esponenziale, dunque il dominio è semplicemente ![]() che possiamo esprimere equivalentemente come unione di intervalli: Segno della funzione Per studiare il segno della funzione è sufficiente impostare la disequazione ![]() che possiamo risolvere analizzando il segno di ciascun fattore che compone il membro di sinistra. Iniziamo dalla potenza con esponente fratto ![]() La disequazione è vera per ogni numero reale ![]() che è soddisfatta per ogni Per quanto concerne l'altro fattore, dobbiamo imporre la disequazione esponenziale ![]() Essa è verificata per ogni Con l'ausilio della tabella dei segni ricaviamo che la funzione è positiva per ogni Parità/disparità della funzione. Analizziamo la parità/disparità della funzione, valutandola in ![]() L'espressione ottenuta non coincide né con la funzione di partenza (dunque La funzione non presenta pertanto simmetrie notevoli. Limiti e asintoti Calcoliamo i limiti agli estremi dell'insieme di definizione: ![]() Il limite non è finito, dunque la funzione non ammette asintoto orizzontale sinistro, ma potrebbe avere asintoto obliquo sinistro. Impostiamo il limite che definisce il coefficiente angolare dell'asintoto obliquo ![]() esso dev'essere finito e non nullo. Ancora una volta intervengono le proprietà delle potenze, con cui possiamo esprimere il limite nella forma equivalente ![]() Il limite presenta una forma di indecisione del tipo Questo permette di concludere che la funzione non possiede asintoto obliquo sinistro. Occupiamoci del limite sinistro per ![]() Poiché ![]() ![]() Osserviamo che Occupiamoci del limite destro per ![]() Il limite non presenta alcuna forma di indecisione: osserviamo infatti che la potenza tende a zero, l'esponente dell'esponenziale tende a Ultimo limite da analizzare è ![]() Siamo in presenza di una forma di indecisione del tipo Ciò ci permette di concludere che la funzione ha un asintoto orizzontale destro di equazione Abbiamo ottenuto tutte le informazioni che potevamo ricavare da ![]() Usiamo la regola per la derivata di un prodotto ![]() Intervengono ora altre regole di derivazione: derivata di una potenza e derivata di una funzione esponenziale in combo con la regola per la derivata di una funzione composta. ![]() Adesso arriva la parte più delicata dell'intero esercizio: dobbiamo migliorare l'estetica della derivata prima così che poi sia più semplice studiarne il segno. Per prima cosa osserviamo che possiamo raccogliere il fattore comune ![]() Eseguiamo la moltiplicazione all'interno delle parentesi quadre, avvalendoci delle ormai onnipresenti proprietà delle potenze, in particolare, presta la massima attenzione al seguente prodotto: ![]() che grazie alla definizione di potenza con esponente negativo diventa ![]() Così facendo l'espressione della derivata prima diventa ![]() Scriviamo il tutto a denominatore comune ![]() Ora la derivata prima è pronta per essere studiata. Analizziamo il segno della stessa, mediante il quale determineremo gli intervalli di monotonia. ![]() Osserviamo che: Essendo tali termini positivi non influenzano il segno della derivata prima che dipende esclusivamente dal fattore Impostiamo dunque la disequazione di secondo grado ![]() il cui insieme soluzione coincide con l'intervallo ![]() a cui va escluso lo zero perché non appartiene al dominio della funzione. In definitiva possiamo affermare che la derivata prima è: - positiva negli intervalli ![]() - nulla per ![]() - negativa negli intervalli ![]() dunque - è strettamente crescente negli intervalli ![]() - ha un punto di minimo relativo per ![]() ![]() - ha un punto di massimo relativo per ![]() - è strettamente decrescente negli intervalli ![]() Lo studio della derivata seconda non è richiesto (e per un buon motivo: i calcoli infatti diventano praticamente impossibili da fare in tempi umanamente accettabili). A ogni modo le informazioni ricavate consentono di rappresentare il grafico qualitativo della funzione a meno di concavità e convessità. |
Ringraziano: Omega, CarFaby |
Re: Studio di funzione con esponenziale senza derivata seconda #97691
![]() M.J. Punto | Grazie mille ho capito il mio errore, spiegazione chiarissima |
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