Studio di funzione con esponenziale senza derivata seconda

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Studio di funzione con esponenziale senza derivata seconda #97684

avt
M.J.
Punto
Vi scrivo per uno studio di funzione in cui non è richiesto lo studio della derivata seconda, e in cui in particolare ho difficoltà con massimi e minimi

f(x)=x^{\frac{2}{3}}e^{\left(-x-\tfrac{1}{3x}\right)}

Grazie mille
 
 

Re: Studio di funzione con esponenziale senza derivata seconda #97688

avt
Ifrit
Ambasciatore
Sia

f(x)=x^{\frac{2}{3}}e^{\left(-x-\frac{1}{3x}\right)}

Il nostro compito consiste nell'effettuare lo studio della funzione f(x), porgendo particolare attenzione alla determinazione degli eventuali massimi e minimi avvalendoci del segno della derivata prima (per approfondire come studiare i massimi e minimi con la derivata).

Per prima cosa iniziamo dal dominio della funzione: l'unica condizione da imporre è

x\ne 0

per via del denominatore presente all'esponente dell'esponenziale, dunque il dominio è semplicemente

Dom(f)=\{x\in\mathbb{R}\ :\ x\ne 0\}=

che possiamo esprimere equivalentemente come unione di intervalli:

=(-\infty, 0)\cup(0,+\infty)

Segno della funzione

Per studiare il segno della funzione è sufficiente impostare la disequazione

f(x)\ge 0 \ \ \to \ \ x^{\frac{2}{3}}e^{\left(-x-\frac{1}{3x}\right)}\ge 0

che possiamo risolvere analizzando il segno di ciascun fattore che compone il membro di sinistra.

Iniziamo dalla potenza con esponente fratto

x^{\frac{2}{3}}\ge 0

La disequazione è vera per ogni numero reale x perché il numeratore dell'esponente della potenza è pari, e in virtù delle proprietà delle potenze siamo autorizzati a scrivere la disequazione equivalente

(x^{\frac{1}{3}})^2\ge 0

che è soddisfatta per ogni x perché un quadrato è sempre positivo o al più nullo.

Per quanto concerne l'altro fattore, dobbiamo imporre la disequazione esponenziale

e^{-x-\frac{1}{3x}}\ge 0

Essa è verificata per ogni x\ne 0 giacché una funzione esponenziale è per definizione positiva. Sottolineiamo che abbiamo escluso lo zero perché altrimenti perderebbe di significato l'esponente.

Con l'ausilio della tabella dei segni ricaviamo che la funzione è positiva per ogni x\ne 0, dunque il suo grafico occuperà necessariamente il primo e il secondo quadrante.

Parità/disparità della funzione.

Analizziamo la parità/disparità della funzione, valutandola in -x:

f(-x)=(-x)^{\frac{2}{3}}e^{\left(-(-x)-\frac{1}{3(-x)}\right)}=x^{\frac{2}{3}}e^{\left(x+\frac{1}{3x}\right)}

L'espressione ottenuta non coincide né con la funzione di partenza (dunque f(x) non è una funzione pari) né con -f(x) (dunque la funzione non è dispari).

La funzione non presenta pertanto simmetrie notevoli.

Limiti e asintoti

Calcoliamo i limiti agli estremi dell'insieme di definizione:

\lim_{x\to-\infty}x^{\frac{2}{3}}e^{\left(-x-\frac{1}{3x}\right)}=[+\infty\cdot(+\infty)]=+\infty

Il limite non è finito, dunque la funzione non ammette asintoto orizzontale sinistro, ma potrebbe avere asintoto obliquo sinistro. Impostiamo il limite che definisce il coefficiente angolare dell'asintoto obliquo

\lim_{x\to-\infty}\frac{f(x)}{x}=\lim_{x\to-\infty}\frac{x^{\frac{2}{3}}e^{\left(-x-\frac{1}{3x}\right)}}{x}=

esso dev'essere finito e non nullo. Ancora una volta intervengono le proprietà delle potenze, con cui possiamo esprimere il limite nella forma equivalente

=\lim_{x\to-\infty}\frac{e^{\left(-x-\frac{1}{3x}\right)}}{x^{\frac{1}{3}}}

Il limite presenta una forma di indecisione del tipo \left[\frac{\infty}{\infty}\right] che possiamo risolvere affermando che l'esponenziale è un infinito di ordine superiore rispetto a qualsiasi potenza, ecco perché il limite diverge (negativamente).

Questo permette di concludere che la funzione non possiede asintoto obliquo sinistro.

Occupiamoci del limite sinistro per x\to 0

\lim_{x\to 0^{-}}f(x)=\lim_{x\to 0^{-}}x^{\frac{2}{3}}e^{\left(-x-\frac{1}{x}\right)}

Poiché -x-\frac{1}{x} tende a +\infty per x\to 0^{-}, l'esponenziale è un infinito e vince contro l'infinitesimo x^{\frac{2}{3}} pertanto scriveremo

\lim_{x\to 0^{-}}x^{\frac{2}{3}}e^{\left(-x-\frac{1}{x}\right)}=+\infty

Osserviamo che x=0 è dunque l'equazione dell'asintoto verticale (sinistro) per la funzione.

Occupiamoci del limite destro per x\to 0

\lim_{x\to 0^{+}}f(x)=\lim_{x\to 0^{+}}x^{\frac{2}{3}}e^{\left(-x-\frac{1}{3x}\right)}=0

Il limite non presenta alcuna forma di indecisione: osserviamo infatti che la potenza tende a zero, l'esponente dell'esponenziale tende a -\infty e dunque l'esponenziale tende a 0.

Ultimo limite da analizzare è

\lim_{x\to +\infty}f(x)=\lim_{x\to+\infty}x^{\frac{2}{3}}e^{\left(-x-\frac{1}{3x}\right)}

Siamo in presenza di una forma di indecisione del tipo [+\infty\cdot 0] che possiamo risolvere notando ancora una volta che l'esponenziale batte la potenza ecco perché il limite è 0.

Ciò ci permette di concludere che la funzione ha un asintoto orizzontale destro di equazione y=0.

Abbiamo ottenuto tutte le informazioni che potevamo ricavare da f(x): ora passeremo al calcolo della derivata

f'(x)=\frac{d}{dx}\left[x^{\frac{2}{3}}e^{\left(-x-\frac{1}{3x}\right)}\right]=

Usiamo la regola per la derivata di un prodotto

=\frac{d}{dx}[x^{\frac{2}{3}}]e^{\left(-x-\frac{1}{3x}\right)}+x^{\frac{2}{3}}\frac{d}{dx}\left[e^{\left(-x-\frac{1}{3x}\right)}\right]

Intervengono ora altre regole di derivazione: derivata di una potenza e derivata di una funzione esponenziale in combo con la regola per la derivata di una funzione composta.

\\ =\frac{2}{3}x^{-\frac{1}{3}}e^{\left(-x-\frac{1}{3x}\right)}+x^{\frac{2}{3}}e^{\left(-x-\frac{1}{3x}\right)}\cdot\frac{d}{dx}\left[-x-\frac{1}{3x}\right]=\\ \\ \\ =\frac{2}{3x^{\frac{1}{3}}}e^{\left(-x-\frac{1}{3x}\right)}+x^{\frac{2}{3}}e^{\left(-x-\frac{1}{3x}\right)}\left(-1+\frac{1}{3x^2}\right)=

Adesso arriva la parte più delicata dell'intero esercizio: dobbiamo migliorare l'estetica della derivata prima così che poi sia più semplice studiarne il segno.

Per prima cosa osserviamo che possiamo raccogliere il fattore comune e^{-x-\frac{1}{3x}}, ricavando:

=e^{\left(-x-\frac{1}{3x}\right)}\left[\frac{2}{3x^{\frac{1}{3}}}+x^{\frac{2}{3}}\left(-1+\frac{1}{3x^2}\right)\right]=(\bullet)

Eseguiamo la moltiplicazione all'interno delle parentesi quadre, avvalendoci delle ormai onnipresenti proprietà delle potenze, in particolare, presta la massima attenzione al seguente prodotto:

x^{\frac{2}{3}}\cdot\frac{1}{3x^2}=\frac{x^{\frac{2}{3}-2}}{3}=\frac{x^{-\frac{4}{3}}}{3}=

che grazie alla definizione di potenza con esponente negativo diventa

=\frac{1}{3x^{\frac{4}{3}}}

Così facendo l'espressione della derivata prima diventa

(\bullet)=e^{\left(-x-\frac{1}{3x}\right)}\left[\frac{2}{3x^{\frac{1}{3}}}-x^{\frac{2}{3}}+\frac{1}{3x^{\frac{4}{3}}}\right]=

Scriviamo il tutto a denominatore comune

\\ =e^{\left(-x-\frac{1}{3x}\right)}\left[\frac{2x-3x^2+1}{3x^{\frac{4}{3}}}\right]

Ora la derivata prima è pronta per essere studiata. Analizziamo il segno della stessa, mediante il quale determineremo gli intervalli di monotonia.

f'(x)\ge 0 \ \ \to \ \ e^{\left(-x-\frac{1}{3x}\right)}\left[\frac{2x-3x^2+1}{3x^{\frac{4}{3}}}\right]\ge 0

Osserviamo che:

e^{-x-\frac{1}{3x}}>0 per ogni x\ne 0;

3x^{\frac{4}{3}}>0 per ogni x\ne 0 (osserva infatti che il numeratore dell'esponente è pari).

Essendo tali termini positivi non influenzano il segno della derivata prima che dipende esclusivamente dal fattore 2x-3x^2+1.

Impostiamo dunque la disequazione di secondo grado

2x-3x^2+1\ge 0 \ \ \to \ \ -3x^2+2x+1\ge 0

il cui insieme soluzione coincide con l'intervallo

-\frac{1}{3}\le x\le 1

a cui va escluso lo zero perché non appartiene al dominio della funzione.

In definitiva possiamo affermare che la derivata prima è:

- positiva negli intervalli \left(-\frac{1}{3}, 0\right)\ \mbox{e} \ \left(0, 1\right)

- nulla per x=-\frac{1}{3} \ \mbox{e per} \ x=1

- negativa negli intervalli \left(-\infty, -\frac{1}{3}\right)\ \mbox{e} \ \left(1,+\infty\right)

dunque f(x):

- è strettamente crescente negli intervalli \left(-\frac{1}{3}, 0\right)\ \mbox{e} \ \left(0, 1\right)

- ha un punto di minimo relativo per x=-\frac{1}{3}, il minimo vale

\mbox{min}=f\left(-\frac{1}{3}\right)=\frac{e^{\frac{4}{3}}}{3^{\frac{2}{3}}}

- ha un punto di massimo relativo per x=1 e il massimo associato è

\mbox{Max}=f(1)=\frac{1}{e^{\frac{4}{3}}}

- è strettamente decrescente negli intervalli \left(-\infty, -\frac{1}{3}\right)\ \mbox{e} \ \left(1, +\infty\right)

Lo studio della derivata seconda non è richiesto (e per un buon motivo: i calcoli infatti diventano praticamente impossibili da fare in tempi umanamente accettabili).

A ogni modo le informazioni ricavate consentono di rappresentare il grafico qualitativo della funzione a meno di concavità e convessità.
Ringraziano: Omega, CarFaby

Re: Studio di funzione con esponenziale senza derivata seconda #97691

avt
M.J.
Punto
Grazie mille ho capito il mio errore, spiegazione chiarissima
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Os