Studio di funzione con esponenziale senza derivata seconda

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#97684
avt
M.J.
Punto

Vi scrivo per uno studio di funzione in cui non è richiesto lo studio della derivata seconda, e in cui in particolare ho difficoltà con massimi e minimi

f(x) = x^((2)/(3))e^((−x−(1)/(3x)))

Grazie mille

#97688
avt
Amministratore

Sia

f(x) = x^((2)/(3))e^((−x−(1)/(3x)))

Il nostro compito consiste nell'effettuare lo studio della funzione f(x), porgendo particolare attenzione alla determinazione degli eventuali massimi e minimi avvalendoci del segno della derivata prima (per approfondire come studiare i massimi e minimi con la derivata).

Per prima cosa iniziamo dal dominio della funzione: l'unica condizione da imporre è

x ne 0

per via del denominatore presente all'esponente dell'esponenziale, dunque il dominio è semplicemente

Dom(f) = x∈R : x ne 0 =

che possiamo esprimere equivalentemente come unione di intervalli:

= (−∞, 0) U (0,+∞)

Segno della funzione

Per studiare il segno della funzione è sufficiente impostare la disequazione

f(x) ≥ 0 → x^((2)/(3))e^((−x−(1)/(3x))) ≥ 0

che possiamo risolvere analizzando il segno di ciascun fattore che compone il membro di sinistra.

Iniziamo dalla potenza con esponente fratto

x^((2)/(3)) ≥ 0

La disequazione è vera per ogni numero reale x perché il numeratore dell'esponente della potenza è pari, e in virtù delle proprietà delle potenze siamo autorizzati a scrivere la disequazione equivalente

(x^((1)/(3)))^2 ≥ 0

che è soddisfatta per ogni x perché un quadrato è sempre positivo o al più nullo.

Per quanto concerne l'altro fattore, dobbiamo imporre la disequazione esponenziale

e^(−x−(1)/(3x)) ≥ 0

Essa è verificata per ogni x ne 0 giacché una funzione esponenziale è per definizione positiva. Sottolineiamo che abbiamo escluso lo zero perché altrimenti perderebbe di significato l'esponente.

Con l'ausilio della tabella dei segni ricaviamo che la funzione è positiva per ogni x ne 0, dunque il suo grafico occuperà necessariamente il primo e il secondo quadrante.

Parità/disparità della funzione.

Analizziamo la parità/disparità della funzione, valutandola in −x:

f(−x) = (−x)^((2)/(3))e^((−(−x)−(1)/(3(−x)))) = x^((2)/(3))e^((x+(1)/(3x)))

L'espressione ottenuta non coincide né con la funzione di partenza (dunque f(x) non è una funzione pari) né con −f(x) (dunque la funzione non è dispari).

La funzione non presenta pertanto simmetrie notevoli.

Limiti e asintoti

Calcoliamo i limiti agli estremi dell'insieme di definizione:

lim_(x → −∞)x^((2)/(3))e^((−x−(1)/(3x))) = [+∞·(+∞)] = +∞

Il limite non è finito, dunque la funzione non ammette asintoto orizzontale sinistro, ma potrebbe avere asintoto obliquo sinistro. Impostiamo il limite che definisce il coefficiente angolare dell'asintoto obliquo

lim_(x → −∞)(f(x))/(x) = lim_(x → −∞)(x^((2)/(3))e^((−x−(1)/(3x))))/(x) =

esso dev'essere finito e non nullo. Ancora una volta intervengono le proprietà delle potenze, con cui possiamo esprimere il limite nella forma equivalente

= lim_(x → −∞)(e^((−x−(1)/(3x))))/(x^((1)/(3)))

Il limite presenta una forma di indecisione del tipo [(∞)/(∞)] che possiamo risolvere affermando che l'esponenziale è un infinito di ordine superiore rispetto a qualsiasi potenza, ecco perché il limite diverge (negativamente).

Questo permette di concludere che la funzione non possiede asintoto obliquo sinistro.

Occupiamoci del limite sinistro per x → 0

lim_(x → 0^(−))f(x) = lim_(x → 0^(−))x^((2)/(3))e^((−x−(1)/(x)))

Poiché −x−(1)/(x) tende a +∞ per x → 0^(−), l'esponenziale è un infinito e vince contro l'infinitesimo x^((2)/(3)) pertanto scriveremo

lim_(x → 0^(−))x^((2)/(3))e^((−x−(1)/(x))) = +∞

Osserviamo che x = 0 è dunque l'equazione dell'asintoto verticale (sinistro) per la funzione.

Occupiamoci del limite destro per x → 0

lim_(x → 0^(+))f(x) = lim_(x → 0^(+))x^((2)/(3))e^((−x−(1)/(3x))) = 0

Il limite non presenta alcuna forma di indecisione: osserviamo infatti che la potenza tende a zero, l'esponente dell'esponenziale tende a −∞ e dunque l'esponenziale tende a 0.

Ultimo limite da analizzare è

lim_(x → +∞)f(x) = lim_(x → +∞)x^((2)/(3))e^((−x−(1)/(3x)))

Siamo in presenza di una forma di indecisione del tipo [+∞·0] che possiamo risolvere notando ancora una volta che l'esponenziale batte la potenza ecco perché il limite è 0.

Ciò ci permette di concludere che la funzione ha un asintoto orizzontale destro di equazione y = 0.

Abbiamo ottenuto tutte le informazioni che potevamo ricavare da f(x): ora passeremo al calcolo della derivata

f'(x) = (d)/(dx)[x^((2)/(3))e^((−x−(1)/(3x)))] =

Usiamo la regola per la derivata di un prodotto

= (d)/(dx)[x^((2)/(3))]e^((−x−(1)/(3x)))+x^((2)/(3))(d)/(dx)[e^((−x−(1)/(3x)))]

Intervengono ora altre regole di derivazione: derivata di una potenza e derivata di una funzione esponenziale in combo con la regola per la derivata di una funzione composta.

 = (2)/(3)x^(−(1)/(3))e^((−x−(1)/(3x)))+x^((2)/(3))e^((−x−(1)/(3x)))·(d)/(dx)[−x−(1)/(3x)] = (2)/(3x^((1)/(3)))e^((−x−(1)/(3x)))+x^((2)/(3))e^((−x−(1)/(3x)))(−1+(1)/(3x^2)) =

Adesso arriva la parte più delicata dell'intero esercizio: dobbiamo migliorare l'estetica della derivata prima così che poi sia più semplice studiarne il segno.

Per prima cosa osserviamo che possiamo raccogliere il fattore comune e^(−x−(1)/(3x)), ricavando:

= e^((−x−(1)/(3x)))[(2)/(3x^((1)/(3)))+x^((2)/(3))(−1+(1)/(3x^2))] = (•)

Eseguiamo la moltiplicazione all'interno delle parentesi quadre, avvalendoci delle ormai onnipresenti proprietà delle potenze, in particolare, presta la massima attenzione al seguente prodotto:

x^((2)/(3))·(1)/(3x^2) = (x^((2)/(3)−2))/(3) = (x^(−(4)/(3)))/(3) =

che grazie alla definizione di potenza con esponente negativo diventa

= (1)/(3x^((4)/(3)))

Così facendo l'espressione della derivata prima diventa

(•) = e^((−x−(1)/(3x)))[(2)/(3x^((1)/(3)))−x^((2)/(3))+(1)/(3x^((4)/(3)))] =

Scriviamo il tutto a denominatore comune

 = e^((−x−(1)/(3x)))[(2x−3x^2+1)/(3x^((4)/(3)))]

Ora la derivata prima è pronta per essere studiata. Analizziamo il segno della stessa, mediante il quale determineremo gli intervalli di monotonia.

f'(x) ≥ 0 → e^((−x−(1)/(3x)))[(2x−3x^2+1)/(3x^((4)/(3)))] ≥ 0

Osserviamo che:

e^(−x−(1)/(3x)) > 0 per ogni x ne 0;

3x^((4)/(3)) > 0 per ogni x ne 0 (osserva infatti che il numeratore dell'esponente è pari).

Essendo tali termini positivi non influenzano il segno della derivata prima che dipende esclusivamente dal fattore 2x−3x^2+1.

Impostiamo dunque la disequazione di secondo grado

2x−3x^2+1 ≥ 0 → −3x^2+2x+1 ≥ 0

il cui insieme soluzione coincide con l'intervallo

−(1)/(3) ≤ x ≤ 1

a cui va escluso lo zero perché non appartiene al dominio della funzione.

In definitiva possiamo affermare che la derivata prima è:

- positiva negli intervalli (−(1)/(3), 0) e (0, 1)

- nulla per x = −(1)/(3) e per x = 1

- negativa negli intervalli (−∞,−(1)/(3)) e (1,+∞)

dunque f(x):

- è strettamente crescente negli intervalli (−(1)/(3), 0) e (0, 1)

- ha un punto di minimo relativo per x = −(1)/(3), il minimo vale

min = f(−(1)/(3)) = (e^((4)/(3)))/(3^((2)/(3)))

- ha un punto di massimo relativo per x = 1 e il massimo associato è

Max = f(1) = (1)/(e^((4)/(3)))

- è strettamente decrescente negli intervalli (−∞,−(1)/(3)) e (1,+∞)

Lo studio della derivata seconda non è richiesto (e per un buon motivo: i calcoli infatti diventano praticamente impossibili da fare in tempi umanamente accettabili).

A ogni modo le informazioni ricavate consentono di rappresentare il grafico qualitativo della funzione a meno di concavità e convessità.

Ringraziano: Omega, CarFaby
#97691
avt
M.J.
Punto

Grazie mille ho capito il mio errore, spiegazione chiarissima

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