Studio di funzione con esponenziale senza derivata seconda

Vi scrivo per uno studio di funzione in cui non è richiesto lo studio della derivata seconda, e in cui in particolare ho difficoltà con massimi e minimi

Grazie mille

Sia

Il nostro compito consiste nell'effettuare lo studio della funzione , porgendo particolare attenzione alla determinazione degli eventuali massimi e minimi avvalendoci del segno della derivata prima (per approfondire come studiare i massimi e minimi con la derivata).

Per prima cosa iniziamo dal dominio della funzione: l'unica condizione da imporre è

per via del denominatore presente all'esponente dell'esponenziale, dunque il dominio è semplicemente

che possiamo esprimere equivalentemente come unione di intervalli:

Segno della funzione

Per studiare il segno della funzione è sufficiente impostare la disequazione

che possiamo risolvere analizzando il segno di ciascun fattore che compone il membro di sinistra.

Iniziamo dalla potenza con esponente fratto

La disequazione è vera per ogni numero reale perché il numeratore dell'esponente della potenza è pari, e in virtù delle proprietà delle potenze siamo autorizzati a scrivere la disequazione equivalente

che è soddisfatta per ogni perché un quadrato è sempre positivo o al più nullo.

Per quanto concerne l'altro fattore, dobbiamo imporre la disequazione esponenziale

Essa è verificata per ogni giacché una funzione esponenziale è per definizione positiva. Sottolineiamo che abbiamo escluso lo zero perché altrimenti perderebbe di significato l'esponente.

Con l'ausilio della tabella dei segni ricaviamo che la funzione è positiva per ogni , dunque il suo grafico occuperà necessariamente il primo e il secondo quadrante.

Parità/disparità della funzione.

Analizziamo la parità/disparità della funzione, valutandola in :

L'espressione ottenuta non coincide né con la funzione di partenza (dunque non è una funzione pari) né con (dunque la funzione non è dispari).

La funzione non presenta pertanto simmetrie notevoli.

Limiti e asintoti

Calcoliamo i limiti agli estremi dell'insieme di definizione:

Il limite non è finito, dunque la funzione non ammette asintoto orizzontale sinistro, ma potrebbe avere asintoto obliquo sinistro. Impostiamo il limite che definisce il coefficiente angolare dell'asintoto obliquo

esso dev'essere finito e non nullo. Ancora una volta intervengono le proprietà delle potenze, con cui possiamo esprimere il limite nella forma equivalente

Il limite presenta una forma di indecisione del tipo che possiamo risolvere affermando che l'esponenziale è un infinito di ordine superiore rispetto a qualsiasi potenza, ecco perché il limite diverge (negativamente).

Questo permette di concludere che la funzione non possiede asintoto obliquo sinistro.

Occupiamoci del limite sinistro per

Poiché tende a per , l'esponenziale è un infinito e vince contro l'infinitesimo pertanto scriveremo

Osserviamo che è dunque l'equazione dell'asintoto verticale (sinistro) per la funzione.

Occupiamoci del limite destro per

Il limite non presenta alcuna forma di indecisione: osserviamo infatti che la potenza tende a zero, l'esponente dell'esponenziale tende a e dunque l'esponenziale tende a 0.

Ultimo limite da analizzare è

Siamo in presenza di una forma di indecisione del tipo che possiamo risolvere notando ancora una volta che l'esponenziale batte la potenza ecco perché il limite è 0.

Ciò ci permette di concludere che la funzione ha un asintoto orizzontale destro di equazione .

Abbiamo ottenuto tutte le informazioni che potevamo ricavare da : ora passeremo al calcolo della derivata

Usiamo la regola per la derivata di un prodotto

Intervengono ora altre regole di derivazione: derivata di una potenza e derivata di una funzione esponenziale in combo con la regola per la derivata di una funzione composta.

Adesso arriva la parte più delicata dell'intero esercizio: dobbiamo migliorare l'estetica della derivata prima così che poi sia più semplice studiarne il segno.

Per prima cosa osserviamo che possiamo raccogliere il fattore comune , ricavando:

Eseguiamo la moltiplicazione all'interno delle parentesi quadre, avvalendoci delle ormai onnipresenti proprietà delle potenze, in particolare, presta la massima attenzione al seguente prodotto:

che grazie alla definizione di potenza con esponente negativo diventa

Così facendo l'espressione della derivata prima diventa

Scriviamo il tutto a denominatore comune

Ora la derivata prima è pronta per essere studiata. Analizziamo il segno della stessa, mediante il quale determineremo gli intervalli di monotonia.

Osserviamo che:

per ogni ;

per ogni (osserva infatti che il numeratore dell'esponente è pari).

Essendo tali termini positivi non influenzano il segno della derivata prima che dipende esclusivamente dal fattore .

Impostiamo dunque la disequazione di secondo grado

il cui insieme soluzione coincide con l'intervallo

a cui va escluso lo zero perché non appartiene al dominio della funzione.

In definitiva possiamo affermare che la derivata prima è:

- positiva negli intervalli

- nulla per

- negativa negli intervalli

dunque :

- è strettamente crescente negli intervalli

- ha un punto di minimo relativo per , il minimo vale

- ha un punto di massimo relativo per e il massimo associato è

- è strettamente decrescente negli intervalli

Lo studio della derivata seconda non è richiesto (e per un buon motivo: i calcoli infatti diventano praticamente impossibili da fare in tempi umanamente accettabili).

A ogni modo le informazioni ricavate consentono di rappresentare il grafico qualitativo della funzione a meno di concavità e convessità.

Grazie mille ho capito il mio errore, spiegazione chiarissima