Il limite da risolvere è
Dall'analisi preliminare comprendiamo immediatamente che siamo di fronte a una
forma di indecisione ![[+\infty-\infty]](data:image/gif;base64,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)
. Osserviamo infatti che il primo addendo va a più infinito, mentre il secondo va a meno infinito.
Ad occhio, sembra proprio che gli
sviluppi di Taylor notevoli saranno quelli che risolveranno il problema.
Per prima cosa sviluppiamo l'
esponenziale, osservando che quando

l'esponente è
infinitesimo ecco perché siamo autorizzati all'uso dello sviluppo notevole
valido a patto che

.
Rimpiazzando a ogni occorrenza di

l'espressione

ricaviamo
dove

è l'
o-piccolo di

per

.
Moltiplichiamo i due membri dello sviluppo per

ricavando
dove nel secondo passaggio è intervenuta una delle proprietà degli o-piccolo.
Ora procediamo con lo sviluppo del termine irrazionale
che però richiede alcuni accorgimenti di tipo algebrico. Per prima cosa mettiamo in evidenza il termine che diverge più velocemente (che coincide con il monomio di grado più grande)
e utilizziamo la
proprietà dei radicali che consente di scrivere la radice di un prodotto come prodotto di radici
Il primo fattore coincide con il
valore assoluto di

, che può essere tranquillamente sottinteso giacché l'argomento

è positivo in un intorno di

.
Questi passaggi algebrici ci consentono di utilizzare lo sviluppo notevole
valido a patto che il radicando tenda a 1 per

.
Rimpiazziamo

al posto di

, in questo modo otteniamo lo sviluppo di
Moltiplichiamo per

sia a destra che a sinistra dell'uguale
Quello ottenuto è lo sviluppo associato al

. Se moltiplichiamo nuovamente i due membri per

, ricaviamo lo sviluppo associato a

che è
A questo punto sostituiamo ai due addendi gli sviluppi trovati così che il limite diventi
Ricordiamo che per definizione

è infinitesimo per

ecco perché sparisce dal risultato.
Ti consiglio di leggere due lezioni:
simboli di Landau e come si risolvono i
limiti con Taylor.