Limite con differenza tra radice e esponenziale

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Limite con differenza tra radice e esponenziale #97672

avt
M.J.
Punto
Ho provato a risolvere questo limite in cui c'è una differenza tra una radice e un'esponenziale, probabilmente da risolvere con gli sviluppi in serie:

\lim_{x\to+\infty}[x\sqrt{x^2+4x}-x^2 e^{\frac{2}{x}}]

Il risultato è -4, ma non mi viene in nessun modo. Potete aiutarmi?
Grazie mille.
 
 

Limite con differenza tra radice e esponenziale #97679

avt
Ifrit
Ambasciatore
Il limite da risolvere è

\lim_{x\to+\infty}[x\sqrt{x^2+4x}-x^2 e^{\frac{2}{x}}]

Dall'analisi preliminare comprendiamo immediatamente che siamo di fronte a una forma di indecisione [+\infty-\infty]. Osserviamo infatti che il primo addendo va a più infinito, mentre il secondo va a meno infinito.

Ad occhio, sembra proprio che gli sviluppi di Taylor notevoli saranno quelli che risolveranno il problema.

Per prima cosa sviluppiamo l'esponenziale, osservando che quando x\to +\infty l'esponente è infinitesimo ecco perché siamo autorizzati all'uso dello sviluppo notevole

e^{t}=1+t+\frac{t^2}{2}+o(t^2)

valido a patto che t\to 0.

Rimpiazzando a ogni occorrenza di t l'espressione \frac{2}{x} ricaviamo

e^{\frac{2}{x}}=1+\frac{2}{x}+\frac{2}{x^2}+o\left(\frac{1}{x^2}\right)

dove o\left(\frac{1}{x^2}\right) è l'o-piccolo di \frac{1}{x^2} per x\to +\infty.

Moltiplichiamo i due membri dello sviluppo per x^2 ricavando

\\ x^2e^{\frac{2}{x}}=\\ \\=x^2\left(1+\frac{2}{x}+\frac{2}{x^2}+o\left(\frac{1}{x^2}\right)\right)=\\ \\ =x^2+2x+2+o\left(x^2\cdot\frac{1}{x^2}\right)= \\ \\ =x^2+2x+2+o(1)

dove nel secondo passaggio è intervenuta una delle proprietà degli o-piccolo.

Ora procediamo con lo sviluppo del termine irrazionale

\sqrt{x^2+4x}=

che però richiede alcuni accorgimenti di tipo algebrico. Per prima cosa mettiamo in evidenza il termine che diverge più velocemente (che coincide con il monomio di grado più grande)

=\sqrt{x^2\left(1+\frac{4}{x}\right)}=

e utilizziamo la proprietà dei radicali che consente di scrivere la radice di un prodotto come prodotto di radici

=\sqrt{x^2}\sqrt{1+\frac{4}{x}}=

Il primo fattore coincide con il valore assoluto di x, che può essere tranquillamente sottinteso giacché l'argomento x è positivo in un intorno di +\infty.

=|x|\sqrt{1+\frac{4}{x}}=x\sqrt{1+\frac{4}{x}}

Questi passaggi algebrici ci consentono di utilizzare lo sviluppo notevole

\sqrt{1+t}=1+\frac{t}{2}-\frac{t^2}{8}+o(t^2)

valido a patto che il radicando tenda a 1 per t\to 0.

Rimpiazziamo \frac{4}{x} al posto di t, in questo modo otteniamo lo sviluppo di \sqrt{1+\frac{4}{x}}

\sqrt{1+\frac{4}{x}}=1+\frac{2}{x}-\frac{2}{x^2}+o\left(\frac{1}{x^2}\right)

Moltiplichiamo per x sia a destra che a sinistra dell'uguale

x\sqrt{1+\frac{4}{x}}=x+2-\frac{2}{x}+o\left(\frac{1}{x}\right)

Quello ottenuto è lo sviluppo associato al \sqrt{x^2+4x}. Se moltiplichiamo nuovamente i due membri per x, ricaviamo lo sviluppo associato a x\sqrt{x^2+4x} che è

\\ x\sqrt{x^2+4x}=x^2\sqrt{1+\frac{4}{x}}= \\ \\ \\= x\left(x+2-\frac{2}{x}+o\left(\frac{1}{x}\right)\right)=x^2+2x-2+o(1)

A questo punto sostituiamo ai due addendi gli sviluppi trovati così che il limite diventi

\\ \lim_{x\to+\infty}\left[x^2+2x-2+o(1)-\left(x^2+2x+2+o(1)\right)\right]= \\ \\ =\lim_{x\to+\infty}[x^2+2x-2-x^2-2x-2+o(1)]= \\ \\ =\lim_{x\to+\infty}[-4+o(1)]=-4

Ricordiamo che per definizione o(1) è infinitesimo per x\to +\infty ecco perché sparisce dal risultato.

Ti consiglio di leggere due lezioni: simboli di Landau e come si risolvono i limiti con Taylor.
Ringraziano: Omega, CarFaby

Limite con differenza tra radice e esponenziale #97680

avt
M.J.
Punto
Grazie mille, mi riguardero i link postati perchè ero arrivato abbastanza vicino alla soluzione...di nuovo grazie.
Ringraziano: Ifrit
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Os