Limite con differenza tra radice e esponenziale

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Limite con differenza tra radice e esponenziale #97672

M.J. Punto	Ho provato a risolvere questo limite in cui c'è una differenza tra una radice e un'esponenziale, probabilmente da risolvere con gli sviluppi in serie: $\lim_{x\to+\infty}[x\sqrt{x^2+4x}-x^2 e^{\frac{2}{x}}]$ Il risultato è -4, ma non mi viene in nessun modo. Potete aiutarmi? Grazie mille.

Limite con differenza tra radice e esponenziale #97679

Ifrit

Amministratore

Il limite da risolvere è

$\lim_{x\to+\infty}[x\sqrt{x^2+4x}-x^2 e^{\frac{2}{x}}]$

Dall'analisi preliminare comprendiamo immediatamente che siamo di fronte a una forma di indecisione $[+\infty-\infty]$ . Osserviamo infatti che il primo addendo va a più infinito, mentre il secondo va a meno infinito.

Ad occhio, sembra proprio che gli sviluppi di Taylor notevoli saranno quelli che risolveranno il problema.

Per prima cosa sviluppiamo l'esponenziale, osservando che quando $x\to +\infty$ l'esponente è infinitesimo ecco perché siamo autorizzati all'uso dello sviluppo notevole

$e^{t}=1+t+\frac{t^2}{2}+o(t^2)$

valido a patto che $t\to 0$ .

Rimpiazzando a ogni occorrenza di

l'espressione $\frac{2}{x}$ ricaviamo

$e^{\frac{2}{x}}=1+\frac{2}{x}+\frac{2}{x^2}+o\left(\frac{1}{x^2}\right)$

dove $o\left(\frac{1}{x^2}\right)$ è l'o-piccolo di $\frac{1}{x^2}$ per $x\to +\infty$ .

Moltiplichiamo i due membri dello sviluppo per

ricavando

$\\ x^2e^{\frac{2}{x}}=\\ \\=x^2\left(1+\frac{2}{x}+\frac{2}{x^2}+o\left(\frac{1}{x^2}\right)\right)=\\ \\ =x^2+2x+2+o\left(x^2\cdot\frac{1}{x^2}\right)= \\ \\ =x^2+2x+2+o(1)$

dove nel secondo passaggio è intervenuta una delle proprietà degli o-piccolo.

Ora procediamo con lo sviluppo del termine irrazionale

$\sqrt{x^2+4x}=$

che però richiede alcuni accorgimenti di tipo algebrico. Per prima cosa mettiamo in evidenza il termine che diverge più velocemente (che coincide con il monomio di grado più grande)

$=\sqrt{x^2\left(1+\frac{4}{x}\right)}=$

e utilizziamo la proprietà dei radicali che consente di scrivere la radice di un prodotto come prodotto di radici

$=\sqrt{x^2}\sqrt{1+\frac{4}{x}}=$

Il primo fattore coincide con il valore assoluto di

, che può essere tranquillamente sottinteso giacché l'argomento

è positivo in un intorno di $+\infty$ .

$=|x|\sqrt{1+\frac{4}{x}}=x\sqrt{1+\frac{4}{x}}$

Questi passaggi algebrici ci consentono di utilizzare lo sviluppo notevole

$\sqrt{1+t}=1+\frac{t}{2}-\frac{t^2}{8}+o(t^2)$

valido a patto che il radicando tenda a 1 per $t\to 0$ .

Rimpiazziamo $\frac{4}{x}$ al posto di

, in questo modo otteniamo lo sviluppo di $\sqrt{1+\frac{4}{x}}$

$\sqrt{1+\frac{4}{x}}=1+\frac{2}{x}-\frac{2}{x^2}+o\left(\frac{1}{x^2}\right)$

Moltiplichiamo per

sia a destra che a sinistra dell'uguale

$x\sqrt{1+\frac{4}{x}}=x+2-\frac{2}{x}+o\left(\frac{1}{x}\right)$

Quello ottenuto è lo sviluppo associato al $\sqrt{x^2+4x}$ . Se moltiplichiamo nuovamente i due membri per

, ricaviamo lo sviluppo associato a $x\sqrt{x^2+4x}$ che è

$\\ x\sqrt{x^2+4x}=x^2\sqrt{1+\frac{4}{x}}= \\ \\ \\= x\left(x+2-\frac{2}{x}+o\left(\frac{1}{x}\right)\right)=x^2+2x-2+o(1)$

A questo punto sostituiamo ai due addendi gli sviluppi trovati così che il limite diventi

$\\ \lim_{x\to+\infty}\left[x^2+2x-2+o(1)-\left(x^2+2x+2+o(1)\right)\right]= \\ \\ =\lim_{x\to+\infty}[x^2+2x-2-x^2-2x-2+o(1)]= \\ \\ =\lim_{x\to+\infty}[-4+o(1)]=-4$

Ricordiamo che per definizione

è infinitesimo per $x\to +\infty$ ecco perché sparisce dal risultato.

Ti consiglio di leggere due lezioni: simboli di Landau e come si risolvono i limiti con Taylor.

Ringraziano: Omega, CarFaby

Limite con differenza tra radice e esponenziale #97680

M.J. Punto	Grazie mille, mi riguardero i link postati perchè ero arrivato abbastanza vicino alla soluzione...di nuovo grazie.
	Ringraziano: Ifrit

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