Sviluppo di una funzione fratta con O grande

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Sviluppo di una funzione fratta con O grande #97612

avt
Christian1988
Cerchio
Potreste spiegarmi come risolvere questo tipo di esercizio sullo sviluppo di una funzione fratta con gli O-grande?

La mia idea era quella di separare la frazione in modo da avere due sviluppi distinti, ma non saprei poi come procedere

Sviluppare la funzione

f(x) = \frac{\sqrt{1+x^2}}{1+x}

per x\to+\infty e con una precisione O\left(\frac{1}{x^5}\right).
 
 

Re: Sviluppo di una funzione fratta con O grande #97618

avt
Ifrit
Ambasciatore
Ciao Christian,

l'idea che proponi funziona ed è quella che seguirò per risolvere il problema.

Il nostro intento consiste nel determinare lo sviluppo asintotico associato alla funzione

f(x)=\frac{\sqrt{1+x^2}}{1+x}

quando x\to +\infty e con una precisione data da O\left(\frac{1}{x^5}\right), dove O è il simbolo di Landau che indica l'O-grande.

L'idea di fondo si basa essenzialmente sull'uso degli sviluppi di Taylor-Mc Laurin, ossia gli sviluppi di Taylor centrati in zero.

Attenzione! L'esercizio chiede di determinare lo sviluppo per x\to +\infty e non per x\to 0, dunque non possiamo avvalerci immediatamente degli sviluppi notevoli: abbiamo bisogno di uno stratagemma, una sostituzione furba che consenta di passare dal centro +\infty al centro zero.

Cominciamo con qualche trucchetto algebrico: raccogliamo x^2 all'interno della radice quadrata.

f(x)=\frac{\sqrt{x^2\left(1+\frac{1}{x^2}\right)}}{1+x}=

dopodiché usiamo le proprietà dei radicali e in particolare la proprietà relativa alla radice di un prodotto, mediante la quale otteniamo

=\frac{\sqrt{x^2}\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}}{1+x}=

Il fattore \sqrt{x^2} può essere espresso mediante il valore assoluto, infatti sussiste l'identità \sqrt{x^2}=|x| per ogni x reale, di conseguenza la funzione si esprime come:

=\frac{|x|\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}}{1+x}=

Poiché x\to+\infty, prima o poi la variabile x sarà positiva, ecco perché il valore assoluto può essere cancellato

=\frac{x\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}}{1+x}=

A questo punto raccogliamo x al denominatore

=\frac{x\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}}{x\left(\frac{1}{x}+1\right)}=

e semplifichiamo

=\frac{\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}}{1+\frac{1}{x}}

I passaggi effettuati hanno fatto sì che per x\to+\infty i termini \frac{1}{x^2} \ \mbox{e} \frac{1}{x} siano infinitesimi: ciò dovrebbe suggerirci che la sostituzione da effettuare è effettivamente

t=\frac{1}{x}

infatti per x\to+\infty, \ t\to 0.

Grazie alla sostituzione, la funzione si tramuta in

g(t)=\frac{\sqrt{1+t^2}}{1+t}=\frac{1}{1+t}\cdot\sqrt{1+t^2}

Il nostro intento ora diventa quello di determinare lo sviluppo di Taylor Mc Laurin associato alla funzione g(t) o più precisamente a ciascun fattore che la compone, trascurando le potenze superiori a 5.

In questa circostanza possiamo avvalerci di due sviluppi notevoli per s\to 0

\\ (a) \ \ \ \sqrt{1+s}=1+\frac{s}{2}-\frac{s^2}{8}+\frac{s^3}{16}-\frac{5 s^4}{128}+O(s^5) \\ \\ \\ (b) \ \ \ \frac{1}{1-s}=1+s+s^2+s^3+s^4+O(s^5)

Grazie ai due sviluppi, possiamo determinare quelli che ci servono rimpiazzando a ogni occorrenza di s il termine che ci serve, avendo la premura di inglobare nell'o-grande i termini che superano la quinta potenza. Più precisamente:

- a ogni occorrenza di s dello sviluppo (a) sostituiamo t^2

\sqrt{1+t^2}=1+\frac{t^2}{2}-\frac{t^4}{8}+O(t^5)

(Osserva che le potenze di grado superiore o uguale a 5 sono state inglobate dall'o-grande, sono inoltre intervenute le proprietà delle potenze)

- a ogni occorrenza di s dello sviluppo (b) sostituiamo -t

\\ \frac{1}{1+t}=\frac{1}{1-(-t)}= \\ \\ \\ = 1-t+t^2-t^3+t^4+O(t^5)

A questo punto, possiamo considerare il prodotto degli sviluppi, moltiplicando i due polinomi e inglobando negli o-grande tutte le potenze di t maggiori o uguali a 5.

\\ g(t)=\sqrt{1+t^2}\cdot\frac{1}{1+t}= \\ \\ \\ =\left[1+\frac{t^2}{2}-\frac{t^4}{8}+O(t^5)\right]\cdot\left[1-t+t^2-t^3+t^4+O(t^5)\right]=\\ \\ \\ =1-t+\frac{3t^2}{2}-\frac{3t^3}{2}+\frac{11t^4}{8}+O(t^5)

Non abbiamo ancora finito: dobbiamo ripristinare la variabile x tenendo conto della sostituzione

t=\frac{1}{x}

Concludiamo pertanto che lo sviluppo asintotico associato alla funzione f(x) per x\to +\infty e con precisione O\left(\frac{1}{x^5}\right) è

f(x)=1-\frac{1}{x}+\frac{3}{2x^2}-\frac{3}{2x^3}+\frac{11}{8x^4}+O\left(\frac{1}{x^5}\right)

Abbiamo terminato.
Ringraziano: CarFaby, Christian1988

Re: Sviluppo di una funzione fratta con O grande #97645

avt
Christian1988
Cerchio
Grazie Ifrit,
non mi è ben chiaro come sei arrivato a questa:

\sqrt{1+t^2}=1+\frac{t^2}{2}-\frac{t^4}{8}+O(t^5)

come mai hai sostituito con t^2?

Re: Sviluppo di una funzione fratta con O grande #97681

avt
Ifrit
Ambasciatore
Ciao Christian1988,

sono partito dallo sviluppo notevole

\sqrt{1+s}=1+\frac{s}{2}-\frac{s^2}{8}+\frac{s^3}{16}-\frac{5s^4}{128}+O(s^5)=

A questo punto rimpiazzo t^2 a s e trascuro tutte le potenze con esponente maggiore o al più uguale a 5

\sqrt{1+t^2}=1+\frac{t^2}{2}-\frac{(t^2)^2}{8}+\frac{(t^2)^3}{16}-\frac{5(t^2)^4}{128}+O(t^5)

In virtù delle proprietà delle potenze, scriviamo:

\\ =1+\frac{t^2}{2}-\frac{t^4}{8}+\mbox{potenze con esponente}\ge 5= \\ \\ \\ = 1+\frac{t^2}{2}-\frac{t^4}{8}+O(t^5)

Ai fini del calcolo, le potenze di grado superiore o uguale a cinque non ci servono, quindi possiamo bellamente trascurarle. emt
Ringraziano: CarFaby, Christian1988
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