Limite di successione con logaritmo e coseno

Vorrei chiedere qualche chiarimento per un esercizio su un limite di successione che proprio non mi viene, ed eventuali delucidazioni su come risolvere gli esercizi sui limiti di successione/funzione.



dove .

Ho un'altra domanda: ho letto le vostre lezioni sui limiti di successioni/funzioni con annessi esercizi ma ho sempre il dubbio sul tipo di risoluzione da prendere! Schematizzo qui le tecniche che conosco così possiamo capirci meglio.

- Utilizzo concettuale del teorema ponte per il collegamento tra risoluzione dei limiti di successioni e funzioni.

- Calcolo con polinomi e messa in evidenza del termine preponderante ad e zero con l'uso dell'infinito/infinitesimo campione.

- Equivalenze asintotiche se però i termini sviluppati al primo ordine di sviluppo non nullo non si annullano a vicenda.

- Sviluppo di Taylor-McLaurin di ordine superiore al primo.

- Utilizzo di trucchi algebrici e delle proprietà dei logaritmi e delle potenze per ricondurci ad un limite notevole sbloccando la forma indeterminata.

- Utilizzo del teorema di sostituzione per semplificare il calcolo del limite.

Queste sono le tecniche che conosco, purtroppo a volte mi portano ad un risultato diverso rispetto a quello del libro anche se applico correttamente, per esempio, gli sviluppi composti oppure le equivalenze asintotiche. Sinceramente non saprei come fare a questo punto...

Grazie a chi mi risponderà!

Perfetto!

Consideriamo



dove . Esso è il limite di una successione che dipende dal parametro .

Iniziamo subito osservando che per la successione



diventa costante, perché ogni numero diverso da zero elevato a zero dà uno. Scriveremo quindi:

Se allora e il limite si riduce a



Se , possiamo avvalerci della proprietà delle potenze relativa a una potenza di una potenza mediante la quale il limite



diventa



Procediamo con l'analisi preliminare. Per :

- l'esponente tende a più infinito perché è certamente una quantità positiva (vale 1,2,3);

- il logaritmo tende a 2 perché . Scriviamo quindi:



(nota che qui abbiamo usato la definizione di logaritmo naturale).

- Il coseno tende a 1 perché il suo argomento è una successione infinitesima



Dall'indagine preliminare comprendiamo che il limite si presenta nella forma di indecisione .

Per agevolare la risoluzione, conviene applicare una relazione notevole che consente di esprimere i termini esponenziali a base variabile come dei termini esponenziali in base . In generale infatti sussiste l'identità



Nel caso considerato, la successione si esprime quindi nella forma equivalente come



e il limite da risolvere diventa




Per il momento, lasciamo da parte la base e concentriamoci sul limite dell'esponente, ossia consideriamo il limite



Il nostro intento ora consiste nel ricondurci a qualcosa di notevole, così da poter applicare i limiti notevoli per le successioni, o ancora meglio le successioni asintotiche.

Spinti da ciò, utilizzeremo diversi trucchi algebrici e le proprietà dei logaritmi.

La presenza di dà molto fastidio all'interno dell'argomento del logaritmo, dobbiamo manipolare algebricamente l'espressione così che possa abbandonare quella posizione. Il trucco consiste nel mettere in evidenza all'interno dell'argomento del logaritmo



e invocare la proprietà del logaritmo di un prodotto mediante la quale il limite si esprime nella forma



e, in accordo con la definizione di logaritmo, di conseguenza ricaviamo



Osserviamo che l'argomento del logaritmo esterno tende a 1, infatti, per



di conseguenza siamo autorizzati a usare la successione asintotica



a patto che riusciamo a determinare la successione infinitesima . Ecco che interviene un ulteriore trucco algebrico: scriviamo 2 come somma tra due "uni" 1+1, così che il termine logaritmico diventi



Così facendo comprendiamo chi svolge il ruolo di :



essa è infatti una successione infinitesima. In virtù della teoria delle successioni asintotiche scopriamo che



Osserviamo inoltre che sussistono le seguenti relazioni asintotiche:



che deriva dalla relazione notevole



ed è valida a patto che l'argomento del coseno sia infinitesimo.

Per quanto concerne il termine logaritmico scriviamo:



In definitiva, abbiamo dimostrato che sussiste la seguente catena di relazioni asintotiche



A questo punto interviene il principio di sostituzione degli infinitesimi equivalenti, grazie al quale possiamo sostituire nel limite il termine logaritmico con il suo equivalente asintotico:



Una volta semplificato con otteniamo



Il risultato è zero perché, indipendentemente dal valore assunto da , il numeratore è un numero, mentre il denominatore esplode a più infinito quando .

Non abbiamo ancora finito, dobbiamo ripristinare la base



Conclusioni: il limite di partenza è 1 per . Osserviamo comunque che non modifica il risultato del limite.

Nota.

Per quanto concerne le tecniche che conosci, sono sufficienti a risolvere un numero molto grande di limiti: manca all'appello il sempre verde teorema del confronto per successioni. Da quello che hai scritto però, mi pare che il problema sia di natura algebrica. È probabile che tu commetta semplicemente degli errori di distrazione.

Dal limite che hai proposto, inoltre, comprendo che il tuo insegnante non dia limiti classici, tutt'altro! Sono limiti che richiedono molta fantasia e soprattutto malizia matematica. Con il tempo riuscirai a entrare nell'ottica giusta!

Grazie mille!