Passaggio in dimostrazione prodotto dei limiti

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Passaggio in dimostrazione prodotto dei limiti #97496

avt
RichardMaths
Punto
Buongiorno,

studiando la dimostrazione della proprietà elementare dei limiti ho trovato un passaggio

f(x)g(x)-\ell_1\ell_2 = (f(x)-\ell_1)g(x)+\ell_1(g(x)-\ell_2)

non capisco con quali passaggi posso arrivare, ho provato on tutti i raccoglimenti (so che il prodotto è commutativo ecc.) ma continuo a perdere pezzi.

Grazie Anticipatamente.

Riccardo
 
 

Passaggio in dimostrazione prodotto dei limiti #97497

avt
Ifrit
Ambasciatore
Ciao RichardMaths,

ti dirò la verità: è complicato rispondere alla tua domanda senza avere un po' di contesto. emt

Fortunatamente conosco la dimostrazione del teorema sul limite di un prodotto di due funzioni (a chi servisse, può trovare una formulazione del teorema nella lezione sull' algebra dei limiti). Ad ogni modo... iniziamo! emt

Il nostro intento consiste nel passare dall'espressione

f(x)g(x)-\ell_1\ell_2

all'espressione

(f(x)-\ell_1)g(x)+\ell_1(g(x)-\ell_2)

In altri termini dobbiamo dimostrare l'uguaglianza

f(x)g(x)-\ell_1\ell_2=(f(x)-\ell_1)g(x)+\ell_1(g(x)-\ell_2)

e per farlo ci avvarremo di un trucco matematico usato moltissimo sia nella teoria che nelle applicazioni pratiche e che consiste nel sommare e sottrarre una stessa quantità.

Il trucco chiaramente non modifica l'espressione iniziale giacché è come se sommassimo 0 (che per inciso è l'elemento neutro dell'addizione).

Partendo dall'espressione

f(x)g(x)-\ell_1\ell_2=

sommiamo e sottraiamo \ell_1 g(x) così da ricavare quella equivalente

=f(x)g(x)-\ell_1\ell_2 +\overbrace{\ell_1 g(x)-\ell_1 g(x)}^{=0}=

In virtù della proprietà commutativa, possiamo riordinare i termini a nostro piacimento: la somma algebrica rimarrà invariata

=f(x)g(x)-\ell_1 g(x)+\ell_1 g(x)-\ell_1\ell_2=

Procediamo con un doppio raccoglimento parziale: raccogliamo g(x) tra i primi due addendi e \ell_1 tra gli ultimi due

=(f(x)-\ell_1)g(x)+\ell_1 (g(x)-\ell_2)

ottenendo esattamente l'espressione che volevamo.

In definitiva, abbiamo mostrato che:

f(x)g(x)-\ell_1\ell_2=(f(x)-\ell_1)g(x)+\ell_1 (g(x)-\ell_2)

Fatto.
Ringraziano: Omega, Galois, CarFaby

Passaggio in dimostrazione prodotto dei limiti #97498

avt
RichardMaths
Punto
Grazie Lfrit! Come al solito sempre spiegazioni efficaci!
Ringraziano: Ifrit
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Os