Disequazione esponenziale con basi diverse e logaritmi

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Disequazione esponenziale con basi diverse e logaritmi #97452

avt
xxautod
Punto
Ho difficoltà con una disequazione esponenziale con basi diverse che richiede l'uso dei logaritmi. In realtà questo tipo di disequazioni mi crea sempre qualche difficoltà:

3\cdot 5^{2-x}-6^{1+x}<8\cdot 5^{2-x}-2\cdot 6^{1+x}

Grazie e saluti.
 
 

Disequazione esponenziale con basi diverse e logaritmi #97458

avt
Ifrit
Amministratore
Ciao xxautod,

dobbiamo risolvere la disequazione esponenziale

3\cdot 5^{2-x}-6^{1+x}<8\cdot 5^{2-x}-2\cdot 6^{1+x}

Osserviamo innanzitutto che nella disequazione compaiono esponenziali con basi differenti, pertanto dobbiamo fare in modo di ricondurci a una disequazione in forma normale del tipo

a^{f(x)}<b^{g(x)}

(terzo caso nella lezione sulle disequazioni esponenziali)

dove sia il primo che il secondo membro sono esponenziali con basi diverse. Per tale casistica esiste una ben precisa strategia risolutiva che consiste nell'applicare ai due membri il logaritmo e nello sfruttare a dovere le proprietà dei logaritmi, così da ricavare una disequazione più semplice da risolvere.

Dopo questo piccolo preambolo, consideriamo la disequazione iniziale

3\cdot 5^{2-x}-6^{1+x}<8\cdot 5^{2-x}-2\cdot 6^{1+x}

Il nostro obiettivo consiste nel separare i termini esponenziali, trasportando ad esempio al primo membro tutti i termini con base 5 e al secondo tutti i termini con base 6

3\cdot 5^{2-x}-8\cdot 5^{2-x}<6^{1+x}-2\cdot 6^{1+x}

Notiamo che gli esponenziali in base 5 sono simili tra loro - oltre a condividere la base, hanno anche lo stesso esponente - di conseguenza possiamo sommarli algebricamente, eseguendo semplicemente la somma tra i loro coefficienti.

\\ (3-8)\cdot 5^{2-x}<6^{1+x}-2\cdot 6^{1+x} \\ \\ -5\cdot 5^{2-x}<6^{1+x}-2\cdot 6^{1+x}

Procediamo allo stesso modo al secondo membro

\\ -5\cdot 5^{2-x}<(1-2)\cdot 6^{1+x} \\ \\ -5\cdot 5^{2-x}<-6^{1+x}

Cambiamo i segni ai due membri ricordandoci che questa operazione inverte il verso della disequazione

5\cdot 5^{2-x}>6^{1+x}

Avvaliamoci inoltre della proprietà delle potenze che ci permettono di esprimere il prodotto 5\cdot 5^{2-x} come 5^{3-x} ottenendo così la disequazione in forma normale

5^{3-x}>6^{1+x}

A questo punto applichiamo ai due membri il logaritmo naturale che non inverte il verso della relazione perché la base è e>1 (in realtà va bene qualsiasi base, purché si porga la dovuta attenzione al verso della disequazione se si sceglie di utilizzare un logaritmo con base compresa tra 0 e 1)

\ln(5^{3-x})>\ln(6^{1+x})

In virtù della proprietà logaritmica

\ln(a^{b})=b\ln(a) \ \ \ \mbox{per ogni}\ a>0

la disequazione si riscrive come

(3-x)\ln(5)>(1+x)\ln(6)

Eseguiamo a questo punto le moltiplicazioni

3\ln(5)-x\ln(5)>\ln(6)+x\ln(6)

e trasportiamo al primo membro tutti i termini con l'incognita, al secondo i termini noti

-x\ln(5)-x\ln(6)>\ln(6)-3\ln(5)

Raccogliamo totalmente -x al primo membro

-x(\ln(5)+\ln(6))>\ln(6)-3\ln(5)

e cambiamo segni e verso

x(\ln(5)+\ln(6))<-\ln(6)+3\ln(5)

Sebbene si manifestino diversi logaritmi, la disequazione è di tipo lineare, o detto in altri termini è una disequazione di primo grado a coefficienti logaritmici.

Proprio per questo motivo, è opportuno tenere sott'occhio il coefficiente di x, vale a dire \ln(5)+\ln(6), e preoccuparsi del suo segno: è fondamentale comprendere se è positivo o negativo e comportarsi di conseguenza.

Notiamo che \ln(5)+\ln(6) è un numero reale positivo (se non fosse chiaro, possiamo utilizzare una calcolatrice), pertanto quando dividiamo i due membri della disequazione per tale quantità non dobbiamo cambiare il verso.

x(\ln(5)+\ln(6))<-\ln(6)+3\ln(5) \ \ \ \to \ \ \ x<\frac{-\ln(6)+3\ln(5)}{\ln(5)+\ln(6)}

In definitiva l'insieme delle soluzioni è

S: x<\frac{-\ln(6)+3\ln(5)}{\ln(5)+\ln(6)}

Abbiamo finito. emt
Ringraziano: Omega, Galois, CarFaby, xxautod
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Os