Limite fratto con limiti notevoli, esponenziale e radice

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Limite fratto con limiti notevoli, esponenziale e radice #97336

avt
RichardMaths
Punto
Volevo chiedervi di farmi vedere lo svolgimento dettagliato del limite numero 7 di questa scheda: esercizi sui limiti notevoli intermediate.

\lim_{x\to 1}\frac{e^{x}-e}{\sqrt{1+(1-x)}-1}

Grazie anticipatamente per il vostro aiuto
 
 

Limite fratto con limiti notevoli, esponenziale e radice #97345

avt
Ifrit
Amministratore
Ciao RichardMaths,

purtroppo il procedimento che hai riportato non è chiarissimo. Ti propongo quindi la strategia risolutiva del limite

\lim_{x\to 1}\frac{e^{x}-e}{\sqrt{1+(1-x)}-1}

Il limite si presenta nella forma indeterminata \left[\frac{0}{0}\right] che possiamo risolvere avvalendoci dei limiti notevoli, in particolare utilizzeremo:

- il limite notevole dell'esponenziale

\lim_{x\to x_0}\frac{e^{f(x)}-1}{f(x)}=1


- il limite notevole della potenza con differenza

\lim_{f(x)\to 0}\frac{(1+f(x))^{\alpha}-1}{f(x)}=\alpha


A questo punto si aprono due strade: possiamo risolvere il limite con le opportune accortezze algebriche, oppure possiamo costruire le stime asintotiche associate ai limiti notevoli e applicare in seguito quello che prende il nome di principio di sostituzione degli infinitesimi equivalenti - per approfondire limiti notevoli: come si usano.

In particolare dal limite notevole dell'esponenziale segue la relazione asintotica

e^{f(x)}-1\sim_{f(x)\to 0} f(x)

applicabile nel momento in cui l'esponente dell'esponenziale è infinitesimo; mentre dal limite notevole della potenza con differenza segue la relazione

(1+f(x))^{\alpha}-1 \sim_{f(x)\to 0}\alpha f(x)

utilizzabile nel momento in cui la base della potenza tende a 1.

Dopo questo preambolo, riprendiamo il limite iniziale.

\lim_{x\to 1}\frac{e^{x}-e}{\sqrt{1+(1-x)}-1}=

Raccogliamo una e al numeratore e esprimiamo la radice quadrata come potenza con esponente fratto

=\lim_{x\to 1}\frac{e(e^{x-1}-1)}{(1+(1-x))^{\frac{1}{2}}-1}=(\bullet)

Ora analizziamo separatamente numeratore e denominatore e cerchiamo di comprendere il comportamento dell'esponente dell'esponenziale e della base della potenza.

Per x\to 1, l'esponente dell'esponenziale tende a 0, dunque siamo autorizzati a scrivere la relazione asintotica

e(e^{x-1}-1)\sim_{x\to 1}e(x-1)

Per quanto concerne il denominatore, osserviamo che quando x\to 1, la base della potenza tende a 1 e in accordo con il limite notevole scriviamo:

(1+(1-x))^{\frac{1}{2}}-1\sim_{x\to 1}\frac{1-x}{2}

In virtù del principio di sostituzione degli infinitesimi equivalenti ci riconduciamo al limite

(\bullet)=\lim_{x\to 1}\frac{e(x-1)}{\frac{1-x}{2}}=

Possiamo scrivere il binomio 1-x come -(x-1), basta infatti raccogliere il segno meno. Così facendo il limite diventa

=\lim_{x\to 1}\frac{e(x-1)}{-\frac{x-1}{2}}=

Una volta espressa in forma normale la frazione di frazioni otteniamo

=\lim_{x\to 1}-\frac{2e(x-1)}{x-1}=-2e

dove nell'ultimo passaggio abbiamo semplificato x-1.

È tutto. emt
Ringraziano: Omega, CarFaby

Re: Limite fratto con limiti notevoli, esponenziale e radice #97349

avt
RichardMaths
Punto
Grazie mille! emt
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Os