Equazioni parabole passanti per due punti e tangenti una retta

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Equazioni parabole passanti per due punti e tangenti una retta #97333

avt
Enriko
Punto
Devo trovare le equazioni delle parabole passanti per due punti e tangenti a una retta. Potreste spiegarmi come procedere?

Ecco il testo del problema: trovare le equazioni delle parabole aventi asse di simmetria parallelo all'asse y, tangenti alla retta di equazione y = 2x e passanti per A(0,1) e B(-2,5).
 
 

Equazioni parabole passanti per due punti e tangenti una retta #97342

avt
Galois
Amministratore
Una parabola con asse di simmetria parallelo all'asse y ha equazione della forma

y = ax^2+bx+c, con a ≠ 0

Il testo del problema ci fornisce tre condizioni, e tre sono i coefficienti incogniti, quindi abbiamo tutto quello che ci serve per determinare l'equazione della parabola.

1) Imponiamo il passaggio per il punto A(0,1), ossia sostituiamo le coordinate cartesiane del punto A nell'equazione generale della parabola.

y_A = a(x_A)^2+bx_A+c ; 1 = a·0^2+b·0+c ; 1 = c ; c = 1

Abbiamo così trovato uno dei tre coefficienti incogniti (c = 1), cosicché al momento possiamo dire che l'equazione della parabola è

y = ax^2+bx+1, con a ≠ 0

2) In quest'ultima equazione imponiamo il passaggio per il punto B(-2,5)

y_B = a(x_B)^2+bx_B+1 ; 5 = a·(-2)^2+b·(-2)+1 ; 5 = 4a-2b+1 ; 2b = 4a-5+1 ; 2b = 4a-4 ; b = 2a-2

3) Arrivati a questo punto, l'equazione della parabola è

y = ax^2+(2a-2)x+1, con a ≠ 0

e sappiamo che deve essere tangente la retta y = 2x

Mettiamo a sistema retta e parabola

y = 2x ; y = ax^2+(2a-2)x+1

e procediamo per sostituzione, sostituendo y con 2x nella seconda equazione

y = 2x ; 2x = ax^2+(2a-2)x+1

Otteniamo così un'equazione di secondo grado

2x = ax^2+(2a-2)x+1

Scriviamola in forma normale portando 2x a secondo membro e raccogliendo opportunamente

2x = ax^2+(2a-2)x+1 ; ax^2+(2a-2)x-2x+1 = 0 ; ax^2+(2a-2-2)x+1 = 0 ; ax^2+(2a-4)x+1 = 0

Dallo studio delle posizioni reciproche tra retta parabola sappiamo che la condizione di tangenza si esprime mediante l'annullamento del discriminante dell'equazione di secondo grado appena ricavata.

ax^2+(2a-4)x+1 = 0 ; Δ = (2a-4)^2-4·a·1 = 4a^2-16a+16-4a = 4a^2-20a+16

Poniamo il delta uguale a zero

Δ = 0 ⇔ 4a^2-20a+16 = 0

e risolviamo l'equazione di secondo grado nell'incognita a così ottenuta, ricavando le soluzioni

a = 1 ; a = 4

- Per a = 1 i coefficienti che individuano la parabola sono:

c = 1 ; b = 2a-2 ; a = 1 → c = 1 ; b = 0 ; a = 1

- Per a = 4:

c = 1 ; b = 2a-2 ; a = 4 → c = 1 ; b = 6 ; a = 4

Sostituendoli nell'equazione generale della parabola

y = ax^2+bx+c, con a ≠ 0

scopriamo che le equazioni cercate sono:

y = x^2+1

e

y = 4x^2+6x+1

Se vuoi vedere una rappresentazione nel piano cartesiano delle parabole ottenute puoi usare il nostro tool per disegnare luoghi geometrici online. emt
Ringraziano: Omega, CarFaby
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