Equazioni parabole passanti per due punti e tangenti una retta

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Equazioni parabole passanti per due punti e tangenti una retta #97333

avt
Enriko
Punto
Devo trovare le equazioni delle parabole passanti per due punti e tangenti a una retta. Potreste spiegarmi come procedere?

Ecco il testo del problema: trovare le equazioni delle parabole aventi asse di simmetria parallelo all'asse y, tangenti alla retta di equazione y=2x e passanti per A(0,1) e B(-2,5).
 
 

Equazioni parabole passanti per due punti e tangenti una retta #97342

avt
Galois
Amministratore
Una parabola con asse di simmetria parallelo all'asse y ha equazione della forma

y=ax^2+bx+c, \mbox{ con } a\neq 0

Il testo del problema ci fornisce tre condizioni, e tre sono i coefficienti incogniti, quindi abbiamo tutto quello che ci serve per determinare l'equazione della parabola.

1) Imponiamo il passaggio per il punto A(0,1), ossia sostituiamo le coordinate cartesiane del punto A nell'equazione generale della parabola.

\\ y_A=a\left(x_A\right)^2+bx_A+c \\ \\ 1 = a \cdot 0^2 + b \cdot 0 + c \\ \\ 1=c \\ \\ c=1

Abbiamo così trovato uno dei tre coefficienti incogniti (c=1), cosicché al momento possiamo dire che l'equazione della parabola è

y=ax^2+bx+1, \mbox{ con } a\neq 0

2) In quest'ultima equazione imponiamo il passaggio per il punto B(-2,5)

\\ y_B=a\left(x_B\right)^2+bx_B+1 \\ \\ 5 = a \cdot (-2)^2 + b \cdot (-2) + 1 \\ \\ 5=4a-2b+1 \\ \\ 2b = 4a-5+1 \\ \\ 2b=4a-4 \\ \\ b=2a-2

3) Arrivati a questo punto, l'equazione della parabola è

y=ax^2+(2a-2)x+1, \mbox{ con } a\neq 0

e sappiamo che deve essere tangente la retta y=2x

Mettiamo a sistema retta e parabola

\begin{cases}y=2x \\ y=ax^2+(2a-2)x+1\end{cases}

e procediamo per sostituzione, sostituendo y con 2x nella seconda equazione

\begin{cases}y=2x \\ 2x=ax^2+(2a-2)x+1\end{cases}

Otteniamo così un'equazione di secondo grado

2x=ax^2+(2a-2)x+1

Scriviamola in forma normale portando 2x a secondo membro e raccogliendo opportunamente

\\ 2x=ax^2+(2a-2)x+1 \\ \\ ax^2+(2a-2)x-2x+1=0 \\ \\ ax^2 + (2a-2-2)x + 1 = 0 \\ \\ ax^2+(2a-4)x+1=0

Dallo studio delle posizioni reciproche tra retta parabola sappiamo che la condizione di tangenza si esprime mediante l'annullamento del discriminante dell'equazione di secondo grado appena ricavata.

\\ ax^2+(2a-4)x+1=0 \\ \\ \Delta = (2a-4)^2 - 4 \cdot a \cdot 1 = 4a^2-16a+16-4a = 4a^2-20a+16

Poniamo il delta uguale a zero

\Delta=0 \iff 4a^2-20a+16=0

e risolviamo l'equazione di secondo grado nell'incognita a così ottenuta, ricavando le soluzioni

\\ a=1 \\ \\ a=4

- Per a=1 i coefficienti che individuano la parabola sono:

\begin{cases}c=1 \\ b=2a-2 \\ a=1\end{cases} \to \begin{cases}c=1 \\ b=0 \\ a=1\end{cases}

- Per a=4:

\begin{cases}c=1 \\ b=2a-2 \\ a=4\end{cases} \to \begin{cases}c=1 \\ b=6 \\ a=4\end{cases}

Sostituendoli nell'equazione generale della parabola

y=ax^2+bx+c, \mbox{ con } a\neq 0

scopriamo che le equazioni cercate sono:

y=x^2+1

e

y=4x^2+6x+1

Se vuoi vedere una rappresentazione nel piano cartesiano delle parabole ottenute puoi usare il nostro tool per disegnare luoghi geometrici online. emt
Ringraziano: Omega, CarFaby
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