Prisma triangolare con base un triangolo rettangolo isoscele

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Prisma triangolare con base un triangolo rettangolo isoscele #97041

avt
Leondrago
Punto
Potreste aiutarmi a risolvere questo problema sulla superficie totale di un prisma triangolare con base data da un triangolo rettangolo isoscele?

Un prisma ha per base un triangolo con i lati obliqui ciascuno di 7 cm. Sapendo che l'altezza del prisma misura 20 cm, calcola l'area della superficie totale del prisma.

[Risultato: 527 cm^2]
 
 

Prisma triangolare con base un triangolo rettangolo isoscele #97042

avt
Ifrit
Amministratore
Ciao Leondrago,

ti chiedo il favore di ricontrollare la traccia. Mi pare di capire che il triangolo sia isoscele, sebbene questa informazione non sia esplicitamente scritta nel problema.

Potresti controllare per favore? Grazie emt

Prisma triangolare con base un triangolo rettangolo isoscele #97045

avt
Leondrago
Punto
Si, non riesco a postare l' immagine, ma i lati sono uguali mentre la base è leggermente più grande.

Prisma triangolare con base un triangolo rettangolo isoscele #97046

avt
Ifrit
Amministratore
Se puoi, invia l'immagine all'indirizzo

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come allegato. Grazie mille. emt

Prisma triangolare con base un triangolo rettangolo isoscele #97047

avt
Leondrago
Punto
Ecco, sono riuscito a postare l'immagine sul mio avatar...

Prisma triangolare con base un triangolo rettangolo isoscele #97048

avt
Ifrit
Amministratore
Ok, ho visto, il tempo di scrivere la risposta! emt
Ringraziano: Leondrago

Re: Prisma triangolare con base un triangolo rettangolo isoscele #97052

avt
Ifrit
Amministratore
Il nostro compito consiste nel determinare la misura della superficie totale di un prisma di cui conosciamo la forma della superficie di base, ossia un triangolo rettangolo isoscele i cui lati obliqui misurano 7\ \mbox{cm}.

Il problema ci informa inoltre che l'altezza del prisma misura 20 \ \mbox{cm}.

Occupiamoci per un momento del triangolo alla base del prisma:

triangolo rettangolo isoscele


Attribuiamo le lettere A, \ B \ \mbox{e} \ C ai vertici di modo che \overline{AB} \ \mbox{e} \ \overline{BC} siano i lati obliqui e \overline{AC} la base del triangolo, di conseguenza:

\\ \overline{AB}=7 \ \mbox{cm} \ \ \ \mbox{e} \ \ \ \overline{BC}=7 \ \mbox{cm}

Oltre a essere un triangolo isoscele, esso è allo stesso tempo un triangolo rettangolo, retto in B, avente per cateti \overline{AB}\ \mbox{e}\ \overline{BC} e per ipotenusa \overline{AC}.

Grazie al teorema di Pitagora possiamo calcolare \overline{AC}

\\ \overline{AC}=\sqrt{\overline{AB}^2+\overline{BC}^2}=\sqrt{7^2+7^2}= \\ \\ =\sqrt{49+49}=\sqrt{98}\ \mbox{cm}\simeq 9.90 \ \mbox{cm}

(Osservazione: 9.90 è un'approssimazione per eccesso di \sqrt{98}).

Nota la lunghezza del lato \overline{AC}, possiamo calcolare sia l'area di base (vale a dire, l'area del triangolo) sia la superficie laterale del prisma.

L'area del triangolo rettangolo (e dunque dell'area di base) è data dal semiprodotto dei cateti, cioè

\\ A_{base}=\frac{\overline{AB}\times\overline{BC}}{2}=\frac{7 \ \mbox{cm}\times 7\mbox{cm}}{2}= \\ \\ =\frac{49}{2}\ \mbox{cm}^2=24.5 \ \mbox{cm}^2

Chiaramente l'area è espressa in centimetri quadrati.

Ora non ci resta che determinare la superficie laterale del prisma che si ricava mediante la formula

S_{lat}=2p\times h

dove 2p è il perimetro del triangolo di base e vale

\\ 2p=\overline{AB}+\overline{BC}+\overline{CA}= \\ \\ =7\ \mbox{cm}+7\ \mbox{cm}+9.90 \ \mbox{cm}=23.90 \ \mbox{cm}

mentre il simbolo h indica l'altezza del prisma che misura 20 \ \mbox{cm}.

Con queste informazioni possiamo affermare che la superficie laterale misura

S_{lat}=2p\times h=23.90 \ \mbox{cm}\times 20 \ \mbox{cm}=478 \ \mbox{cm}^2

Ora disponiamo di tutti gli ingredienti per calcolare la superficie totale del prisma: è sufficiente usare la formula

\\ S_{tot}=S_{lat}+2\times A_{base} =478 \ \mbox{cm}^2+2\times 24.5 \ \mbox{cm}^2= \\ \\ =478 \ \mbox{cm}^2+49\ \mbox{cm}^2=527 \ \mbox{cm}^2

L'esercizio è concluso.

Mi scuso per il ritardo nella risposta, ho avuto problemi con il pc.
Ringraziano: CarFaby, Leondrago

Re: Prisma triangolare con base un triangolo rettangolo isoscele #97053

avt
Leondrago
Punto
Ora ho capito, grazie mille!emt
Ringraziano: Ifrit
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Os