Classificazione di una forma quadratica in base al segno

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Classificazione di una forma quadratica in base al segno #97015

avt
ikar
Punto
Devo svolgere un esercizio sulle forme quadratiche in cui mi chiede di classificare una forma quadratica in base al segno e di scrivere la matrice associata a una forma quadratica.

Nel primo punto mi viene chiesto di classificare in base al segno la forma quadratica

Q(x,y)=-x^2+4xy-2y^2

Nel secondo punto mi viene chiesto di scrivere la matrice simmetrica associata alla forma quadratica

Q(x_1,x_2,x_3)=x_1^2+2x_1x_3+x_2^2-x_2x_3

Vi ringrazio per l'aiuto.
 
 

Classificazione di una forma quadratica in base al segno #97017

avt
Galois
Coamministratore
Classificare una forma quadratica in base al segno vuol dire stabilire se la forma quadratica in esame è definita positiva, definita negativa, semidefinita positiva, semidefinita negativa o indefinita.

Per effettuare questo studio esistono vari metodi, ma qualsiasi sia quello da noi preferito la prima cosa da fare è scrivere la matrice associata alla forma quadratica rispetto alla base canonica.

Riportiamo la forma quadratica da classificare

Q(x,y)=-x^2+4xy-2y^2

Se non sai come si scrive la matrice associata a una forma quadratica ti spiego un piccolo trucco.

- Riportiamo uno schemino come quello che segue, dove abbiamo indicato le variabili che definiscono la forma quadratica.

\begin{array}{c | c c c} & x & & y \\ \cline{1-4} x & & \\ \\ y   \end{array}


Dopodiché andiamo a completare lo schemino procedendo per incroci.

Il prodotto tra x e x è x^2, quindi nel punto d'incrocio tra questi due elementi riportiamo il coefficiente di x^2 dell'equazione della forma quadratica, che è -1

\begin{array}{c | c c c} & x & & y \\ \cline{1-4} x & -1 & \\ \\ y   \end{array}


Il prodotto tra x e y è xy, quindi nel punto d'incrocio tra x e y riportiamo il coefficiente di xy, che è 4

\begin{array}{c | c c c} & x & & y \\ \cline{1-4} x & -1 & & 4 \\ \\ y   \end{array}


Il prodotto tra y e x è yx = xy, quindi scriviamo il coefficiente 4 nel loro punto di incrocio.

\begin{array}{c | c c c} & x & & y \\ \cline{1-4} x & -1 & & 4 \\ \\ y & 4   \end{array}


Infine, il prodotto tra y e y è y^2, il cui coefficiente nell'equazione della forma quadratica è -2.

Abbiamo così completato lo schemino:

\begin{array}{c | c c c} & x & & y \\ \cline{1-4} x & -1 & & 4 \\ \\ y & 4 & & -2 \end{array}


Attenzione e concentrazione: la matrice associata alla forma quadratica si ottiene riportando in una matrice i numeri che si trovano nel precedente schema, ma dimezzando tutti i termini che non si trovano sulla diagonale principale.

Quindi la matrice associata alla forma quadratica

Q(x,y)=-x^2+4xy-2y^2

è

A=\begin{pmatrix}-1 & 2 \\ 2 & -2\end{pmatrix}

che, come possiamo notare, è una matrice simmetrica.

Classificare una forma quadratica in base al segno equivale a stabilire se la matrice simmetrica a essa associata è una matrice definita positiva, negativa, semidefinita, indefinita. A tal proposito ti invito a leggere la lezione del link, dove abbiamo spiegato e mostrato un esempio di tutti dei principali metodi esistenti.

Nell'esercizio in esame, poiché abbiamo a che fare con una matrice quadrata di ordine 2, il metodo più veloce è procedere col criterio di Sylvester.

Tale criterio permette di studiare la definitezza di una matrice (e quindi di una forma quadratica) tramite lo studio del segno del determinante dei minori principali della matrice.

Una matrice di ordine 2 ha solo due minori principali:

- la matrice formata dal solo elemento a_{11}

- l'intera matrice.

Nel nostro caso

\\ A_1=(-1) \\ \\ A=\begin{pmatrix}-1 & 2 \\ 2 & -2\end{pmatrix}

Ovviamente:

\mbox{det}(A_1) = -1 < 0

mentre

\mbox{det}(A)= \mbox{det}\begin{pmatrix}-1 & 2 \\ 2 & -2\end{pmatrix} = 2-4=-2 < 0

Poiché il determinante di entrambi i minori è minore di zero, la matrice (e quindi la forma quadratica) è indefinita.

-------

Passiamo ora alla seconda parte dell'esercizio che chiede di scrivere la matrice simmetrica associata alla forma quadratica

Q(x_1,x_2,x_3)=x_1^2+2x_1x_3+x_2^2-x_2x_3

Abbiamo già visto come fare poco sopra. Riportiamo lo schemino con le variabili che compaiono nell'equazione della forma quadratica

\begin{array}{c | c c c c c} & x_1 & & x_2 & & x_3 \\ \cline{1-6} x_1 &  & &  \\ \\ x_2 & & & \\ \\ x_3\end{array}


e completiamolo come abbiamo spiegato

\begin{array}{c | c c c c c} & x_1 & & x_2 & & x_3 \\ \cline{1-6} x_1 & 1 & & 0 & & 2 \\ \\ x_2 & 0 & & 1 & & -1 \\ \\ x_3 & 2 & & -1 & & 0\end{array}


Riportando i vari numeri in una matrice quadrata di ordine 3 e dimezzando i termini che non stanno sulla diagonale principale otteniamo la matrice simmetria associata alla forma quadratica rispetto alla base canonica.

A=\begin{pmatrix}1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & -\frac{1}{2} \\ 1 & -\frac{1}{2} & 0\end{pmatrix}

È tutto! emt
Ringraziano: Omega, CarFaby

Re: Classificazione di una forma quadratica in base al segno #97149

avt
ikar
Punto
Ottimo! Grazie mille per la spiegazione.
Ringraziano: Galois
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Os