Classificazione di una forma quadratica in base al segno

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Classificazione di una forma quadratica in base al segno #97015

avt
ikar
Punto
Come si classifica una forma quadratica in base al segno? Vi propongo un esercizio assegnato dal mio professore e vi chiedo la cortesia di spiegarmi come si risolve.

Classificare, in base al segno, la forma quadratica

Q(x_1,x_2)=-x_1^2+4x_1x_2-2x_2^2
 
 

Classificazione di una forma quadratica in base al segno #97017

avt
Galois
Amministratore
Classificare una forma quadratica Q in base al segno vuol dire stabilire se Q è definita positiva, definita negativa, semidefinita (positiva o negativa) o indefinita.

Per risolvere gli esercizi come quello proposto, in cui si deve calcolare il segno di una forma quadratica possiamo procedere come segue:

- individuare la matrice simmetrica A associata alla forma quadratica Q;

- studiare la definitezza della matrice attraverso il segno dei suoi autovalori.

A tal proposito ricordiamo che una matrice simmetrica è:

- definita positiva se e solo se i suoi autovalori sono positivi;

- definita negativa se e solo se i suoi autovalori sono negativi;

- semidefinita positiva se e solo se i suoi autovalori sono non negativi;

- semidefinita negativa se e solo se i suoi autovalori sono non positivi;

- semidefinita positiva, ma non definita positiva, se e solo se un autovalore è nullo e i restanti sono non negativi;

- semidefinita negativa, ma non definita negativa, se e solo se un autovalore è nullo e i restanti sono non positivi;

- indefinita se e solo se esistono almeno due autovalori di segno discorde.

Alla luce di quanto detto, determiniamo il segno di

Q(x_1,x_2)=-x_1^2+4x_1x_2-2x_2^2

La matrice associata alla forma quadratica Q è una matrice simmetrica di ordine due, A=(a_{ij}), tale che:

a_{11} è il coefficiente di x_1^2, ossia a_{11}=-1;

a_{12}=a_{21} è la metà del coefficiente di x_1x_2, pertanto a_{12}=a_{21}=2;

a_{22} è il coefficiente di x_2^2, dunque a_{22}=-2.

In definitiva

A=\begin{pmatrix}-1 & 2 \\ 2 & -2\end{pmatrix}

Calcoliamo il polinomio caratteristico associato ad A, i cui zeri sono gli autovalori di A.

\\ p_A(\lambda)=\mbox{det}(A-\lambda \mbox{Id}_2) = \\ \\ = \mbox{det}\begin{pmatrix}-1-\lambda & 2 \\ 2 & -2-\lambda\end{pmatrix}= \\ \\ = (-1-\lambda)(-2-\lambda)-4 = \\ \\ = \lambda^2+3\lambda-2

Da uno dei lemmi preliminari al teorema spettrale reale è noto che gli autovalori di una matrice simmetrica sono tutti reali e poiché siamo interessati solo al loro segno, applichiamo la regola di Cartesio.

p_A(\lambda) è un polinomio completo di grado due e tra un coefficiente e il successivo presenta una permanenza e una variazione di segno: di conseguenza A ammette un autovalore negativo e uno positivo, per cui Q è indefinita.

È fatta!
Ringraziano: Omega, CarFaby

Re: Classificazione di una forma quadratica in base al segno #97149

avt
ikar
Punto
Ottimo! Grazie mille per la spiegazione.
Ringraziano: Galois
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Os