Classificazione di una forma quadratica in base al segno

Come si classifica una forma quadratica in base al segno? Vi propongo un esercizio assegnato dal mio professore e vi chiedo la cortesia di spiegarmi come si risolve.

Classificare, in base al segno, la forma quadratica

Classificare una forma quadratica in base al segno vuol dire stabilire se è definita positiva, definita negativa, semidefinita (positiva o negativa) o indefinita.

Per risolvere gli esercizi come quello proposto, in cui si deve calcolare il segno di una forma quadratica possiamo procedere come segue:

- individuare la matrice simmetrica associata alla forma quadratica ;

- studiare la definitezza della matrice attraverso il segno dei suoi autovalori.

A tal proposito ricordiamo che una matrice simmetrica è:

- definita positiva se e solo se i suoi autovalori sono positivi;

- definita negativa se e solo se i suoi autovalori sono negativi;

- semidefinita positiva se e solo se i suoi autovalori sono non negativi;

- semidefinita negativa se e solo se i suoi autovalori sono non positivi;

- semidefinita positiva, ma non definita positiva, se e solo se un autovalore è nullo e i restanti sono non negativi;

- semidefinita negativa, ma non definita negativa, se e solo se un autovalore è nullo e i restanti sono non positivi;

- indefinita se e solo se esistono almeno due autovalori di segno discorde.

Alla luce di quanto detto, determiniamo il segno di



La matrice associata alla forma quadratica è una matrice simmetrica di ordine due, , tale che:

è il coefficiente di , ossia ;

è la metà del coefficiente di , pertanto ;

è il coefficiente di , dunque .

In definitiva



Calcoliamo il polinomio caratteristico associato ad , i cui zeri sono gli autovalori di .



Da uno dei lemmi preliminari al teorema spettrale reale è noto che gli autovalori di una matrice simmetrica sono tutti reali e poiché siamo interessati solo al loro segno, applichiamo la regola di Cartesio.

è un polinomio completo di grado due e tra un coefficiente e il successivo presenta una permanenza e una variazione di segno: di conseguenza ammette un autovalore negativo e uno positivo, per cui è indefinita.

È fatta!

Ottimo! Grazie mille per la spiegazione.